摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，分類討論是數(shù)學(xué)基本思想方法之一，在思維發(fā)展、研究對象的簡化方面發(fā)揮重要作用.文章主要研究分類討論思想方法在等腰三角形問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；等腰三角形；應(yīng)用

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0015-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：高志賢（1995.8—），女，福建省安溪人，碩士研究生，二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要地位，也是歷年中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.分類討論思想不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，且對學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也是有益的.

1 分類討論思想的本質(zhì)

分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中最常用的思想方法之一［1］.當(dāng)題目中給定的數(shù)學(xué)對象無法統(tǒng)一研究時，需利用分類討論思想解決問題，且分類時要確保其結(jié)果不重不漏.分類討論思想要求把研究對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，并將其劃分為幾種不同的情況，再分別對各類不同的情況進(jìn)行討論研究，分類討論思想可以解決受各種因素限制的不確定性問題.分類討論思想實(shí)質(zhì)是化繁為簡，把一個復(fù)雜的問題分解成幾個簡單的問題，再各個擊破，即“化整為零，各個擊破，再積零為整”［2］.

2 分類討論思想的應(yīng)用

等腰三角形是一種特殊的三角形，它具有一般三角形的性質(zhì)，但也有其特殊性質(zhì)．在解決與等腰三角形的邊和角有關(guān)的幾何問題時，由于條件不明確，會出現(xiàn)很多種情況，這時便可利用分類討論思想解決問題．在考查等腰三角形知識點(diǎn)時，往往以綜合性題目出現(xiàn)，學(xué)生在等腰三角形中遇到與分類有關(guān)的問題時，他們可能會因?yàn)榉诸惒划?dāng)或者不知道如何分類，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解或增解的現(xiàn)象．基于此，本文以具體的幾何問題為例，說明分類討論思想在解決等腰三角形問題中的應(yīng)用．

2.1 與等腰三角形的邊有關(guān)的幾何問題

例1 已知等腰三角形的兩邊分別是6 cm和12 cm，那么它的周長是______.

解析 已知條件中并沒有直接給定等腰三角形的腰和底邊的長度，因此需要通過分類討論解答.第一種情況：當(dāng)腰長為6 cm，底邊長為12 cm時，此時三角形的三條邊長分別為6，6，12，因?yàn)?+6=12，這不符合三角形三邊之間的關(guān)系，所以此時不能圍成三角形；第二種情況：當(dāng)腰長為12 cm，底邊長為6 cm時，此時三角形三邊長分別為12，12，6，則等腰三角形的周長為12+12+6=30（cm）.綜上所述，此等腰三角形的周長為30 cm.

例2 若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-3）2+8-y=0，則以x，y為兩邊的等腰三角形的周長為______.

解析 因?yàn)椋▁-3）2≥0，8-y≥0，又（x-3）2+8-y=0，所以（x-3）2=0，8-y=0，即x-3=0，8-y=0，解得x=3，y=8.因?yàn)榈妊切蝺蛇叺拈L分別為x，y，所以需分兩種情況討論.第一種情況：當(dāng)腰長為3，底邊為8時，此時三角形三邊長分別為3，3，8，因?yàn)?+3=6lt;8，所以不能構(gòu)成三角形；第二種情況：當(dāng)腰長為8，底邊為3時，此時三角形三邊長分別為8，8，3，其周長為8+8+3=19.綜上所述，此等腰三角形的周長為19.

變式 若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-a）2+b-y=0，其中a，b都為正數(shù)，且a≥b，求以x，y為兩邊長的等腰三角形的周長.

解析 由（x-a）2+b-y=0可知x=a，y=b.因?yàn)榈妊切蝺蛇叺拈L分別為x，y，所以需分兩種情況考慮.第一種情況：a為腰長，b為底邊長，此時三角形三邊長分別為a，a，b，其周長為a+a+b=2a+b；第二種情況：a為底邊長，b為腰長，此時三角形三邊長分別為a，b，b.分兩種情況：當(dāng)0.5alt;b≤a時，三角形的周長為a+2b；當(dāng)b≤0.5a時，此時不能構(gòu)成三角形.

以上三道題目包含的知識點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、平方的非負(fù)性、算數(shù)平方根的非負(fù)性和三角形三邊之間關(guān)系等，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.通過變式訓(xùn)練可以進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問題的能力.這三道題目的編排遵循從易到難、由淺入深、循序漸進(jìn)的編排原則，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.第一道題是簡單的數(shù)的運(yùn)算；第二道是綜合運(yùn)用，在第一道題的基礎(chǔ)上增加了一定的難度；第三道是拓展延伸，符合因材施教原則，使每個學(xué)生能夠得到不同的發(fā)展.

2.2 與等腰三角形的角有關(guān)的幾何問題

例3 在等腰△ABC中，∠A=80°，則∠B的度數(shù)為______.

解析 題目中并未指明∠A和∠B是頂角還是底角，因此需要對∠A和∠B分類討論.第一種情況：當(dāng)∠A為頂角時，∠B為底角，則∠B=（180°-80°）÷2=50°；第二種情況：當(dāng)∠A為底角時，∠B可能為底角或頂角.若∠B為底角，則∠B=∠A=80°.若∠B為頂角，則∠B=180°-2×80°=20°.綜上所述，∠B的度數(shù)為50°或80°或20°.

變式 在等腰△ABC中，∠A=α，其中0°lt;αlt;180°，則∠B的度數(shù)為______.

解析 題目中并未指明∠A和∠B是頂角還是底角，因此需對∠A和∠B分類討論.根據(jù)題意可分兩種情況，第一種情況：當(dāng)∠A為頂角時，此時∠B只能為底角，即∠B=（180°-α）÷2=90°-12α；第二種情況：當(dāng)∠A為底角時，此時∠B可能為底角或者為頂角.若∠B為底角，則∠B=∠A=α.若∠B為頂角，則∠B=180°-2α.綜上所述，∠B的度數(shù)為90°-12α或α或180°-2α.

2.3 與等腰三角形的高有關(guān)的幾何問題

例4 若等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為20°，求該等腰三角形的底角.

解 等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為20°，分兩種情況討論.

第一情況：如圖1，∠ABD=20°.因?yàn)锽D⊥AC，所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°.因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠C=∠ABC=180°-∠A2=180°-70°2=55°.

第二情況：如圖2，∠ABD=20°.因?yàn)锽D⊥AC，所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°，所以∠BAD=∠ABC+∠C=70°.因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠C=∠ABC=∠BAD2=70°2=35°.

綜上所述，等腰三角形△ABC的底角為55°或35°.

變式 若等腰三角形△ABC邊上的高與另一腰的夾角為α，求該等腰三角形的底角.

2.4 與等腰三角形的中線有關(guān)的幾何問題

例5" 一個等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成9 cm和12 cm兩部分，求該等腰三角形的腰長.

分析 設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為x cm，y cm，根據(jù)題意列二元一次方程組即可解決問題.因題目中沒有具體指明是哪部分的長為9 cm，故應(yīng)該分情況列方程組求解.

解 根據(jù)題意，三角形的周長為9+12=21（cm）.設(shè)等腰三角形的腰長為x cm，底邊長為y cm，則x+12x=9，12x+y=12;或x+12x=12，12x+y=9.解得x=6，y=9;

或x=8，y=5.

故等腰三角形的腰長為6 cm或8 cm.

2.5 與等腰三角形有關(guān)的動態(tài)幾何問題

例6 如圖3，在△ABC中，AB=6 cm，BC=10 cm，∠A=90°，AB=3AD． 點(diǎn)P以2 cm/s的速度沿邊BC-CA運(yùn)動至點(diǎn)A．從運(yùn)動開始，經(jīng)過多長時間，以D、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？

解 因?yàn)锳B=6，BC=10，∠A=90°，所以AC=BC2-AB2=102-62=8.

設(shè)經(jīng)過t s時，△BDP為等腰三角形．因?yàn)辄c(diǎn)P以2 cm/s的速度沿BC-CA運(yùn)動至點(diǎn)A，所以根據(jù)點(diǎn)P的位置分為兩類：點(diǎn)P在BC上和點(diǎn)P在CA上.

第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，可分為三種情形.當(dāng)點(diǎn)B為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時，BD=BP=4 cm，此時t=2 s；當(dāng)點(diǎn)D為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時，BD=DP=4 cm.如圖4，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由△DBE∽△CBA可得BEBA=BDBC，所以BE=2.4 cm.由△DBE≌△DPE可得BP=2BE=4.8 cm，所以t=BP2=2.4 s；當(dāng)點(diǎn)P為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時，PB=PE.如圖5，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)F，由△PBG≌△PDG可得BG=12BD=1 cm.由△PBG∽△CBA可得BGBA=BPBC，所以BP=103 cm，從而t=BP2=53 s.

第二種情況：點(diǎn)P在CA上時，只存在當(dāng)D為等腰三角形的頂角頂點(diǎn)的情況.如圖6，DB=DP=4 cm.由勾股定理可得AP=DP2-AD2=42-22=23 cm，所以CP=8-23 cm，從而t=BC+CP2=10+8-232=9-3 s.

綜上所述，當(dāng)t=2，125，53，9-3s時，D、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形.

點(diǎn)評 本題主要考查等腰三角形的定義、勾股定理及分類討論思想.在求解過程中，需對點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡分類討論.在分類討論的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理分類，按照一定的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行逐級分類，不能越級且要遵循不重不漏的分類原則.

3 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地滲透分類討論思想.通過分類討論思想的學(xué)習(xí)，能夠提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和創(chuàng)造性有良好的促進(jìn)作用.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 高民生.分類討論思想在絕對值問題中的運(yùn)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2022（9）： 50-51.

［2］ 李璐.初中數(shù)學(xué)分類討論思想的教學(xué)研究［D］.揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)， 2022.

［責(zé)任編輯：李 璟］