摘要：歸一應(yīng)用問題教學(xué)的難點(diǎn)是分析數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)實(shí)教學(xué)中，歸一應(yīng)用問題數(shù)量關(guān)系分析得不到應(yīng)有的重視，主要體現(xiàn)在分析數(shù)量關(guān)系的方式方法比較單一，設(shè)計(jì)的活動(dòng)和引導(dǎo)問題不夠細(xì)化，造成學(xué)生尤其是基礎(chǔ)薄弱學(xué)生理解比較困難。實(shí)踐表明，采用“題圖結(jié)合，分析關(guān)系；畫出題髓，漸明關(guān)系；數(shù)歸其位，列表入里；細(xì)嚼數(shù)味，萬數(shù)互聯(lián)；句意轉(zhuǎn)換，建聯(lián)溝通；精準(zhǔn)鋪墊，分合溝通”分析方法，對(duì)幫助各層次學(xué)生解決正歸一應(yīng)用問題有較好的效果。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；正歸一問題；買碗問題；數(shù)量關(guān)系

歸一問題，根據(jù)解題的不同步驟，可分為正歸一問題和反歸一問題。先求出單一量，再用乘法求若干個(gè)單一量的歸一問題，叫正歸一問題，或直進(jìn)一次歸一。先求出單一量，再用包含除法求出含有多少個(gè)單一量的歸一問題，叫反歸一問題或返回一次歸一。根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，可以分為一次歸一問題和兩次歸一問題。倍數(shù)問題的一份數(shù)、行程問題的速度、工程問題的工作效率、分配問題的一份數(shù)、分?jǐn)?shù)問題的每一份等問題，都與歸一問題有關(guān)。歸一問題是小學(xué)階段復(fù)雜應(yīng)用題中的一種重要類型，是由一步應(yīng)用問題過渡到三步及以上應(yīng)用問題的重要橋梁。作為典型的乘除整數(shù)應(yīng)用題，是今后學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)和方程應(yīng)用問題的重要基礎(chǔ)。因此歸一應(yīng)用問題的教學(xué)對(duì)學(xué)生小學(xué)、初中乃至高中的應(yīng)用問題學(xué)習(xí)有著重要的影響。

歸一應(yīng)用問題教學(xué)的難點(diǎn)是分析數(shù)量關(guān)系。正歸一應(yīng)用問題是歸一應(yīng)用問題最基本的類型，其數(shù)量關(guān)系分析方法，對(duì)歸一應(yīng)用問題乃至其他應(yīng)用問題有著重要啟示和借鑒作用?，F(xiàn)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》更加關(guān)注對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，問題解決不是一個(gè)簡(jiǎn)單的題型訓(xùn)練，也不僅僅是獲得解題結(jié)果，解決問題≠解題，而是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“怎樣想問題”“怎樣分析數(shù)量關(guān)系解決問題”[1]。下面以現(xiàn)行人教版三年級(jí)上冊(cè)的例8“買碗問題”———買3個(gè)碗18元，照這樣計(jì)算，買8個(gè)碗多少元？為例，談?wù)務(wù)龤w一應(yīng)用問題分析數(shù)量關(guān)系的六個(gè)基本方法。

一、題圖結(jié)合，分析關(guān)系

（一）強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)。即從題意中一步一步地畫圖，一步一步地根據(jù)圖來思考、分析關(guān)系。把解題思路在用圖釋題，表征關(guān)系中辨明思路（見圖1）。

（二）看圖分析。從關(guān)鍵句的圖示中，明晰可求出單一量，從末尾句的圖示中，明晰要求出問題，必須先求單一量。從而從兩圖的解讀中，找到前后的關(guān)聯(lián)（見圖2）。

（三）基本關(guān)系式。用圖畫出題意后，思考每一幅圖所涉及的基本關(guān)系式，或可以寫成怎樣的關(guān)系式。前后兩幅圖所寫出的關(guān)系式，是否有著關(guān)聯(lián)。進(jìn)而理解關(guān)系，得出思路（見圖3）。

引入常見的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用這些數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的重要途徑，小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系有兩個(gè)基本的模型：一種是總體等于部分的和，另一種是乘積模型，總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量和路程=速度×?xí)r間是基本的乘積關(guān)系的模型[2]?？梢姡没緮?shù)量關(guān)系式思考問題對(duì)解決問題的意義。

二、畫出題髓，漸明關(guān)系

面對(duì)一道應(yīng)用問題，讓學(xué)生說一說題目講了一件什么事情、有哪些條件、要求什么等，這僅僅是表層審題。解決問題依靠理解題目條件與問題的關(guān)系，找到重要的等量關(guān)系，這需要進(jìn)行里層審題。而要進(jìn)入題目之“骨髓”“靈魂”，畫圖是一種被廣泛使用的行之有效的方法。人教版配套教師教學(xué)用書在“編寫意圖”中明確指出，“例8：教學(xué)利用畫示意圖分析數(shù)量關(guān)系的解題策略”。

畫圖的目的是為了更好地直觀地表征題意，看出數(shù)量關(guān)系，是分析數(shù)量關(guān)系的重要方式。有的學(xué)生不會(huì)做或無從下手，可以嘗試畫圖進(jìn)行分析，從中尋找解題的突破口。有的學(xué)生能夠直接列式，教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生畫圖解釋算式的含義。

教學(xué)時(shí)，提供學(xué)生的示意圖和線段圖作品（見圖4-7）清晰明了。

畫圖策略的重要要求是畫得明。具體來說包括齊全（條件、問題）、直觀（一眼看明）、正確（符合關(guān)鍵詞）、互譯（據(jù)圖說文、據(jù)文說圖）。但面對(duì)存在差異的學(xué)生，往往表現(xiàn)出不同的水平層次。

水平1：主要畫實(shí)物圖、簡(jiǎn)單的符號(hào)替代圖。做到正確、完整地畫出題意。

水平2：主要畫示意圖、直條圖。做到規(guī)范、完整地畫出題意。

水平3：主要畫線段圖。能完整地有創(chuàng)意地畫出數(shù)量關(guān)系，做到正確且明理。

這三種水平，可能在同一節(jié)課呈現(xiàn)，也可能是不同學(xué)生在不同階段的表現(xiàn)，無論如何，這體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)，由粗到精的學(xué)習(xí)過程。面對(duì)水平層次不一樣的方法，教學(xué)時(shí)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生理解同學(xué)的方法并進(jìn)行優(yōu)化，促使學(xué)生由知一法能知多法，從多元方法習(xí)得優(yōu)化方法。實(shí)際上，這些層次不同的方法，在解決后續(xù)學(xué)習(xí)的不同應(yīng)用問題時(shí)，都各有其價(jià)值，因此，要發(fā)揮好這些課堂上生成的學(xué)生資源。

三、數(shù)歸其位，列表入里

教學(xué)時(shí)，用類似表格法的方法表示，如“3個(gè)18元，8個(gè)？元”，這兩個(gè)信息分兩行呈現(xiàn)，與學(xué)生一起分析數(shù)量關(guān)系。

或用列表法分析（見圖8）。

這是一個(gè)被簡(jiǎn)化的表格，表格中的數(shù)據(jù)之間有著對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)閷W(xué)生沒有親自經(jīng)歷表格簡(jiǎn)化的過程，因此有部分學(xué)生看不懂、弄不明其中的關(guān)系。要讓學(xué)生完全理解表格反映的數(shù)量關(guān)系，找到解題的思路，有必要讓學(xué)生回到最初的問題：這個(gè)簡(jiǎn)化的表格，最開始應(yīng)該是怎樣的呢？

教師可以給出下表，讓學(xué)生根據(jù)題目意思來填，即在3個(gè)碗旁邊填“18元”，在8個(gè)碗旁邊填“？元”。再回答：1個(gè)碗的價(jià)錢和8個(gè)碗的價(jià)錢分別是多少？讓學(xué)生在把數(shù)歸位的過程中，經(jīng)歷抽象的、經(jīng)歷審明關(guān)系的過程。最后再把表格簡(jiǎn)化出來（見表1）。

還可以在表格下面增加欄目，進(jìn)一步提出問題，如，根據(jù)上表，請(qǐng)回答（1）7個(gè)碗的價(jià)錢是（）；（2）20個(gè)碗的價(jià)錢是（）；（3）若x個(gè)碗的價(jià)格是y，那么y=（）。讓學(xué)生感受到無論求多少份單一量，只要知道單一量即可。從變化中滲透函數(shù)思想，看到什么在變，什么始終不變。以上過程，學(xué)生借助完整表格，理解簡(jiǎn)化表格，深入理解對(duì)應(yīng)聯(lián)系，對(duì)學(xué)生解決問題有著重要作用。

四、細(xì)嚼數(shù)味，萬數(shù)互聯(lián)

具體步驟是：第1步，每個(gè)數(shù)字的意義。第2步，審出“照這樣計(jì)算”的意思。第3步，審明關(guān)鍵句。第四步，審出數(shù)量之間的內(nèi)在對(duì)應(yīng)關(guān)系。

買3個(gè)碗18元，照這樣計(jì)算，買8個(gè)碗多少元？

①每個(gè)數(shù)字的意義。3個(gè)表示什么，18元表示什么，8個(gè)表示什么，“多少元”表示什么。

②審出“照這樣計(jì)算”的意思。每個(gè)碗的價(jià)錢是一樣的。

③審明關(guān)鍵句。從“買3個(gè)碗18元”，想到什么？

摘要為：3個(gè)，18元，8個(gè)，？元，列出對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

④審出數(shù)量之間的內(nèi)在對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3與18有什么關(guān)系？8與“？”有什么關(guān)系；

3與8有什么關(guān)系？18與“？”有什么關(guān)系（在碗的個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系時(shí)，這樣思考更有意義）。

五、句意轉(zhuǎn)換，建聯(lián)溝通

主要是根據(jù)題意，轉(zhuǎn)換表達(dá)，逐步探尋數(shù)量關(guān)系，建立已知、未知和所求之間的聯(lián)系，從而得出解題思路。

可執(zhí)已知“條件句”這一關(guān)鍵句追溯得到問題答案（見圖9）：

可執(zhí)“問題句”這一關(guān)鍵句用分析法推理（見圖10）：

可同時(shí)執(zhí)“條件句”和“問題句”這兩個(gè)關(guān)鍵句加以分析推理（見圖11）：

還可以是這樣的思路（見圖12）：

或如下思路（見圖13）：

從以上分析，得到一個(gè)啟示：中間問題是怎么逼出來的？

（一）從問題逼出。求8個(gè)碗的價(jià)格，自然想到要先求1個(gè)碗的價(jià)錢。已知條件“買3個(gè)碗18元”能求得1個(gè)碗的價(jià)錢嗎？

（二）從條件逼出。條件“買3個(gè)碗18元”可以求出嗎？（1個(gè)碗的價(jià)錢）這對(duì)解決問題有幫助嗎？

（三）從基本數(shù)量關(guān)系式逼出。題目中的“3個(gè)碗”與“18元”分別是數(shù)量與對(duì)應(yīng)的總價(jià)，“8個(gè)碗”與“多少元”分別是數(shù)量與對(duì)應(yīng)的總價(jià)。由“按照這樣計(jì)算”和“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，可知“1個(gè)碗的價(jià)錢”是前者可求、后者要求的。

六、精準(zhǔn)鋪墊，分合溝通

正歸一應(yīng)用問題，常常由兩個(gè)一步計(jì)算應(yīng)用問題組合而成。因此，教學(xué)時(shí)，可作“一步轉(zhuǎn)化為兩步”（“合”的方法）或“兩步轉(zhuǎn)化為一步”（“分”的方法）的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生對(duì)正歸一應(yīng)用問題的結(jié)構(gòu)、題意和解決方法有更為清晰和深刻的理解，同時(shí)，能夠更好地遷移解決一步計(jì)算應(yīng)用問題的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于新知的探索。

第1類：簡(jiǎn)單一步計(jì)算問題。1.設(shè)置連續(xù)兩個(gè)問題。買3個(gè)碗花了18元。（1）每個(gè)碗多少錢？（2）8個(gè)碗多少錢？2.設(shè)置有關(guān)聯(lián)的兩個(gè)問題。（1）學(xué)校買3個(gè)書架90元，每個(gè)書架多少元？（2）每個(gè)書架30元，買5個(gè)書架要多少元？

第2類：變式。1.變條件（順向）。（1）1個(gè)碗6元，買同樣的8個(gè)碗，需要多少錢？（2）2個(gè)碗（）元，買同樣的8個(gè)碗，需要多少錢？（3）3個(gè)碗（）元，買同樣的8個(gè)碗，需要多少錢？2.變條件（逆向）。（1）3個(gè)碗18元，買同樣的1個(gè)碗，需要多少錢？（2）3個(gè)碗18元，買同樣的2個(gè)碗，需要多少錢？（3）3個(gè)碗18元，買同樣的（）個(gè)碗，需要多少錢？

第3類：補(bǔ)條件、補(bǔ)問題。（1）3個(gè)碗18元，買同樣的8個(gè)碗，需要多少錢？（2）3個(gè)碗18元，買同樣的（）個(gè)碗，需要多少錢？

學(xué)生的學(xué)情存在差異，以上方法，為不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)正歸一應(yīng)用問題提供可操作性的方法。學(xué)生可以根據(jù)自己的情況、教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，靈活地選擇其中的方法開展學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 馬云鵬，吳正憲.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》案例式解讀（小學(xué)）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2022：96.

[2] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：157 158.

編輯 楊馥毓