關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；跨學(xué)科；案例研究

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.56 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1673-4289（2024）12-0056-04

一、課前學(xué)習(xí)任務(wù)

（1）閱讀人教A版必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”章末的“閱讀與思考”，了解音的四要素；

（2）以小組為單位，查閱相關(guān)資料，結(jié)合以下問(wèn)題，設(shè)計(jì)一個(gè)將聲波可視化的實(shí)驗(yàn)方案，并分工合作自制實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，完成?shí)驗(yàn)。

①設(shè)計(jì)怎樣的裝置，能夠觀察到聲波，使聲波能夠看得見(jiàn)？

②選擇什么樣的介質(zhì)可將聲音的振動(dòng)可視化？

③為方便觀察，有沒(méi)有什么方法可放大物體的振動(dòng)？

（3）請(qǐng)各小組組長(zhǎng)將聲波可視化的設(shè)計(jì)方案、實(shí)驗(yàn)過(guò)程錄制成視頻，在課前給同學(xué)們展示。

設(shè)計(jì)意圖：將閱讀與思考延伸到課前，讓學(xué)生有充裕的閱讀與思考時(shí)間和空間；通過(guò)查閱資料以及設(shè)計(jì)的問(wèn)題串啟發(fā)學(xué)生回顧聲音的產(chǎn)生與傳播，思考聲波可視化方案，小組合作自制實(shí)驗(yàn)器材，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力和學(xué)習(xí)興趣，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。

二、課中活動(dòng)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

問(wèn)題1聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波。聲波是什么形態(tài)的呢？它有什么變化規(guī)律？

小組成果展示

實(shí)驗(yàn)一：聲波可視化實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)器材：紙杯、平面鏡、激光筆、氣球膜、橡皮圈，音響。

實(shí)驗(yàn)方案：

（1）將紙杯的底面取下，在一側(cè)底面繃上氣球膜，并用橡皮圈固定好；

（2）將平面鏡用膠水固定在氣球膜上；

（3）用激光筆照射平面鏡，使光反射到光屏上；

（4）對(duì)紙杯的另一端播放音樂(lè)，由于聲波震動(dòng)，帶動(dòng)光屏上的亮點(diǎn)也上下波動(dòng)，即形成波；

（5）改變音樂(lè)聲音的大小，觀察波的變化；改變樂(lè)器，觀察波的變化。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)圖：

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：音樂(lè)聲音變大，振幅越大，波動(dòng)越大；聲音越尖利，振動(dòng)的頻率越高，聲音越低沉，振動(dòng)的頻率越低。

音樂(lè)由很多聲音組成，每一個(gè)音又由多個(gè)純音合成，所以我們可以先從研究純音的波形圖開(kāi)始。

追問(wèn)：?jiǎn)为?dú)敲擊一個(gè)音叉，大家看一下又有什么現(xiàn)象呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組合作完成聲波可視化實(shí)驗(yàn)，初步感受和觀察聲波的形態(tài)，教師與學(xué)生共同探討，幫助學(xué)生完善實(shí)驗(yàn)。音樂(lè)的聲波形態(tài)很復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生研究類(lèi)比簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，從最簡(jiǎn)單的純音開(kāi)始。

環(huán)節(jié)二 建立模型，評(píng)價(jià)模型

問(wèn)題2請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)建立發(fā)聲體振動(dòng)離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)模型的方案。

設(shè)計(jì)意圖：在綜合的情境中，將聲音的振動(dòng)轉(zhuǎn)化為研究物體振動(dòng)離開(kāi)平衡位置的位移與時(shí)間變化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)建模方案，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

實(shí)驗(yàn)二：純音的傳播實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)器材：安裝phyphox軟件、電腦、手機(jī)、音叉、橡皮錘。

問(wèn)題3利用phyphox軟件，收集音叉振動(dòng)離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，完成以下問(wèn)題：

（1）利用Excel軟件或GeoGebra軟件作出散點(diǎn)圖；

（2）選擇一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述音叉振動(dòng)離開(kāi)平衡位置的位移與時(shí)間的關(guān)系，觀察并嘗試求出相應(yīng)的解析式；

（3）如果你選擇的是三角函數(shù)模型，請(qǐng)求出振幅、周期、頻率、相位、初相。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)踐操作，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、初步建模的基本過(guò)程，并通過(guò)Excel軟件和GeoGebra軟件的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的作用。

預(yù)案二 GeoGebra軟件擬合，正弦型函數(shù)模型、多項(xiàng)式函數(shù)模型

追問(wèn)1 正弦型函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)都能很好地?cái)M合這組數(shù)據(jù)，這是為什么呢？他們之間有聯(lián)系嗎？

多項(xiàng)式函數(shù)是三角函數(shù)的泰勒展開(kāi)式

追問(wèn)2隨著數(shù)據(jù)點(diǎn)的增多，哪個(gè)函數(shù)模型擬合的效果相對(duì)更好？

預(yù)案三GeoGebra軟件擬合，不同小組不同的正弦型函數(shù)模型

追問(wèn)3 同樣選擇正弦型函數(shù)來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，不同的小組卻得到了不同的解析式，你認(rèn)為三個(gè)小組建立的模型有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

追問(wèn)4 三個(gè)小組建立的模型中，對(duì)應(yīng)的周期和頻率幾乎是相同的，這是為什么呢？

追問(wèn)5 三個(gè)小組建立的模型中，初相和振幅都不相同，你認(rèn)為這是什么原因造成的呢？

周期和頻率：使用的都是同頻率的音叉。

初相：由起點(diǎn)位置決定，當(dāng)各個(gè)小組計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同時(shí)就會(huì)導(dǎo)致初相不一樣。

振幅：是物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，由于不同小組敲擊的力度不同，所以導(dǎo)致振幅也不同。敲擊的力度越大，振幅越大，聲音的響度也就越大，因此振幅的大小決定了聲音響度的大小。

追問(wèn)6 在幾何畫(huà)板中作出模型的圖象，聽(tīng)聽(tīng)函數(shù)發(fā)出的聲音和音叉發(fā)出的聲音有什么關(guān)聯(lián)。

以物體振動(dòng)的平衡位置且向正方向振動(dòng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，純音的數(shù)學(xué)模型就是三角函數(shù)y=Asin （ωχ），（Agt;0，ωgt;0），函數(shù)是聲音的一種數(shù)學(xué)化的模型。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比不同小組的不同函數(shù)模型，讓學(xué)生體會(huì)模型選擇的多樣性，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)軟件建立模型的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型的確立不能僅僅停留在數(shù)據(jù)分析和擬合上，必須有聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從而增強(qiáng)模型的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比，認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)模型中參數(shù)的意義。

環(huán)節(jié)三應(yīng)用模型，解釋原理

1.探究一

音調(diào)、響度與ω，A，（Agt;0，ωgt;0）的關(guān)系

振幅的大小決定了聲音響度的大小；ω=2π·f，知道頻率對(duì)聲音的影響，就知ω對(duì)聲音的影響了。

問(wèn)題4 純音do、re、mi的頻率分別為264、297、330，讓振幅A都取為1，大家能否直接說(shuō)出這三個(gè)純音對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)函數(shù)模型呢？讓我們一起來(lái)聽(tīng)一下這三個(gè)函數(shù)所發(fā)出聲音的音調(diào)有什么區(qū)別。

頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉。

追問(wèn)1是否是所有的聲音都有如此規(guī)律呢？

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉，聲音的頻率與參數(shù)ω成正比，所以ω決定聲音的音調(diào)，ω越小，聲音音調(diào)越低沉，ω越大，聲音音調(diào)越尖利。

設(shè)計(jì)意圖：利用幾何畫(huà)板從特殊到一般，讓學(xué)生對(duì)比感受不同頻率的正弦波發(fā)出的聲音之間的差別，發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型中的參數(shù)ω對(duì)聲音的音調(diào)的影響。

2.探究二音長(zhǎng)、音色與函數(shù)模型的關(guān)系

問(wèn)題5 現(xiàn)在，我們知道音調(diào)和響度與正弦函數(shù)的參數(shù)ω和A有關(guān)，那聲音的音長(zhǎng)呢？受什么影響呢？

追問(wèn)1 既然三角函數(shù)模型能夠發(fā)出非常標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)聲波頻率的聲音，我們能否調(diào)整模型，使它像真實(shí)樂(lè)器一樣，模擬出聲音漸弱的效果呢？

方案一：限定它的定義域

限定函數(shù)的定義域，的確可讓聲音在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)停止，但聲音是戛然而止的，聽(tīng)起來(lái)沒(méi)有任何感情。

方案二：聲音逐漸減弱，振幅就逐漸變小，因此可以給正弦函數(shù)乘一個(gè)遞減的函數(shù)

追問(wèn)2 在我們學(xué)過(guò)的函數(shù)模型中，你認(rèn)為那個(gè)函數(shù)更合適體現(xiàn)聲音漸弱的效果呢？

預(yù)案一：y=1/x

追問(wèn)3 聲音的確逐漸在減小，但一開(kāi)始的聲音很大，這是為什么呢？能否再優(yōu)化模型，保持初始狀態(tài)的響度不變？

預(yù)案二：y=（1/2）^x

追問(wèn)4 聲音是從最初的響度開(kāi)始減弱，但聽(tīng)起來(lái)音長(zhǎng)比較長(zhǎng)，如果想讓音長(zhǎng)再短一些，減弱的速度再快一點(diǎn)，可以怎樣調(diào)整呢？

預(yù)案三：y=（1/5）^x

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整模型、優(yōu)化模型，并應(yīng)用函數(shù)模型模擬聲音漸弱的效果，讓學(xué)生在優(yōu)化函數(shù)模型的過(guò)程中，提高思維的嚴(yán)密性，體會(huì)音長(zhǎng)與三角函數(shù)模型的關(guān)系。

問(wèn)題6 現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)聲音的三個(gè)要素都和函數(shù)模型有密切關(guān)系，那最后一個(gè)要素音色呢，大家覺(jué)得它和函數(shù)模型有關(guān)嗎？

著名數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)可表示成正弦函數(shù)之和。因此，所有的樂(lè)音都可由正弦波疊加而成，當(dāng)疊加不同頻率、振幅、相位的音時(shí)，聽(tīng)到的聲音的音色也不一樣。下面我們一起感受一下函數(shù)圖象疊加的效果。

正弦波可疊加出方波、鋸齒波等，將具有周期的各個(gè)系數(shù)以及分別乘適當(dāng)?shù)南禂?shù)再加起來(lái)，更換這些系數(shù)，就可以得到各種不同形狀的波，周期函數(shù)也就能夠產(chǎn)生各種美妙的音樂(lè)。

設(shè)計(jì)意圖：將純音一個(gè)一個(gè)疊加上去，讓學(xué)生在看到波形曲線一條一條增加的同時(shí)，聽(tīng)聲音從一個(gè)單音逐漸變化、不斷接近，最后變成最開(kāi)始聽(tīng)到的復(fù)合音的神奇過(guò)程，讓學(xué)生從視覺(jué)和聽(tīng)覺(jué)的角度去直觀感受函數(shù)疊加對(duì)音色的影響。

音的四要素與三角函數(shù)模型y=A sin（ωχ），（Agt;0，ωgt;0）的關(guān)系：

音調(diào)與聲波振動(dòng)的頻率有關(guān)即與ω有關(guān)；響度與振幅有關(guān)；音長(zhǎng)與發(fā)音體振動(dòng)的持續(xù)時(shí)間有關(guān)，可以通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行組合制造聲音漸弱的效果；音色與函數(shù)疊加有關(guān)。

環(huán)節(jié)四 歸納提升，反思小結(jié)

問(wèn)題7通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你了解了音的四要素和三角函數(shù)的關(guān)系了嗎？能否用自己的語(yǔ)言來(lái)歸納概括我們探索純音數(shù)學(xué)模型的研究路徑和思想方法？

研究路徑：觀察猜想→設(shè)計(jì)方案→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→收集數(shù)據(jù)→建立模型→求解模型→應(yīng)用模型。

數(shù)學(xué)知識(shí)：純音的數(shù)學(xué)模型、音的四要素和三角函數(shù)的關(guān)系。

數(shù)學(xué)方法：類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、抽象概括。

數(shù)學(xué)思想：特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸。

設(shè)計(jì)意圖：在充分體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)反思、總結(jié)建構(gòu)三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路與方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。

三、課后拓展應(yīng)用

（一）綜合應(yīng)用

（1）嘗試?yán)脦缀萎?huà)板，根據(jù)以下音階對(duì)應(yīng)頻率自制音階，并通過(guò)幾何畫(huà)板制作的音階來(lái)制作一首自己喜歡的音樂(lè)。

（2）查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)在音樂(lè)中的其他應(yīng)用，比如，音樂(lè)中的黃金分割比例，音階與數(shù)學(xué)，音樂(lè)節(jié)拍與斐波那契數(shù)列等，感受數(shù)學(xué)的魅力。

設(shè)計(jì)意圖：課后讓學(xué)生利用幾何畫(huà)板制作自己喜歡的音樂(lè)，并查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)在音樂(lè)中的其他應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

（二）拓展探索

請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，完成純音物體振動(dòng)的位移隨時(shí)間變化規(guī)律的研究報(bào)告，并準(zhǔn)備下節(jié)課的結(jié)題交流和答辯。

通過(guò)以上跨學(xué)科教學(xué)的原則、表達(dá)形式和具體案例的探究，可以看出新課程背景下高中數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)的有效性和多樣性。