摘 要：對(duì)2023年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的一道求積分極限試題進(jìn)行分析，綜合運(yùn)用積分與極限的相關(guān)知識(shí)理論，對(duì)該題給出了5種解法。解法一用倒代換將被積函數(shù)改寫成可分部積分的形式，再用夾逼準(zhǔn)則求出極限；解法二用換元法將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為含參量積分，然后運(yùn)用含參量積分的連續(xù)性交換積分與極限運(yùn)算的次序，得到一個(gè)可計(jì)算的定積分；解法三和解法四將被積函數(shù)表成冪級(jí)數(shù)，再用無界函數(shù)的反常積分、冪級(jí)數(shù)展開、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性、極限與求和交換次序、積分與求和交換次序等知識(shí)點(diǎn)給出問題的解；解法五根據(jù)被積函數(shù)在某個(gè)充分小鄰域內(nèi)的無界性，將原積分表成兩個(gè)積分之和，通過泰勒公式和夾逼準(zhǔn)則求解。最后對(duì)給出的5種解法做了比較分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競賽；定積分；極限；含參量積分；泰勒公式；級(jí)數(shù)

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

0" " 引言

求積分的極限是數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，已多次出現(xiàn)在全國研究生入學(xué)考試與大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題之中。它既涉及求積分的知識(shí)點(diǎn)，又涉及極限相關(guān)理論，往往不是簡單先求積分再計(jì)算極限，或簡單交換極限與積分順序得以解決，而是需要綜合運(yùn)用積分與極限的知識(shí)點(diǎn)才能求解。文獻(xiàn)［1-2］運(yùn)用積分中值定理、拉格朗日中值定理和夾逼準(zhǔn)則等方法及相關(guān)技巧討論了數(shù)學(xué)專業(yè)考研試題中的幾道典型積分的極限問題；文獻(xiàn)［3-6］研究了4種特殊類型的定積分的極限；文獻(xiàn)［7-8］用重積分的性質(zhì)討論了部分典型的二重積分和三重積分的極限。本文以2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（非數(shù)學(xué)A類）第四大題為例，通過分析題目的特點(diǎn)，多角度探討其解法，并總結(jié)其中的解題規(guī)律。

1" "試題及其解法

設(shè)[In=n1adx1+xn]，其中[agt;1]，求極限[limn→∞In。]

解法一（換元法 + 夾逼準(zhǔn)則） 注意到被積函數(shù)的分母的次數(shù)高于其分子的次數(shù)，考慮先用倒數(shù)代換[x=1t]進(jìn)行變形，然后使用分部積分法。記[b=1a]，則[0lt;blt;1]。作變量代換 [x=1t]，得

[In=b1ntn-1t1+tndt=b1dln1+tnt。]

分部積分，得

[In=ln2-ln1+bnb+b1ln1+tnt2dt。]

當(dāng)[t∈b， 1]時(shí)有[ln1+tnt2≤tn-2]，故

[0≤b1ln1+tnt2dt≤b1tn-2dt=1-bn-1n-1。]

顯然[limn→∞1-bn-1n-1=0]，故由夾逼準(zhǔn)則得[limn→∞b1ln1+tnt2dt=0]。再注意到[limn→∞ln1+bnb=0]，故有[limn→∞In=ln2。]

解法二（換元法 + 含參量積分的連續(xù)性） 先作代換xn" = t以降低被積函數(shù)的分母的次數(shù)，再利用含參積分的連續(xù)性。令 [xn=t]，則[x=tn]，[dx=1nt1ntdt]，故 [In=1ant1nt1+tdt。]由于函數(shù)[f（x， t）=t1xt1+t]在區(qū)域[1， +∞×1， ax]上連續(xù)，故含參積分[I（x）=1axt1xt1+tdt]在區(qū)間[1， +∞]上連續(xù)。從而有

[limn→∞In=limn→∞1ant1nt1+tdt=limx→+∞1axt1xt1+tdt ][=1+∞1t（1+t）dt=lnt1+t+∞1=ln2。]

解法三（級(jí)數(shù)法）" 記函數(shù)列[fn（x）=n1+xn， n=1， 2， …]，則

[limn→∞fn（x）=" " " 0 ，" "1lt;x≤a；+∞，" "x=1。" " "]

當(dāng)n充分大時(shí)[fn（x）]在[x=1]附近無界，故需用到無界函數(shù)的反常積分的知識(shí)。

我們有[limn→∞In=limn→∞limε→0+1+εandx1+xn]。當(dāng)[x∈1+ε， a]時(shí)有[0lt;1anlt;1xnlt;1（1+ε）nlt;1]。利用重要級(jí)數(shù)[11+x=k=0∞（-1）kxk，-1lt;xlt;1，]得

[11+xn=1xn11+1xn=1xnk=0∞（-1）kx-nk=k=0∞（-1）kx-n（k+1）。 ]

代入原積分的被積函數(shù)，并交換積分與求和次序，得

[1+εandx1+xndx=k=0∞（-1）kn1+εax-n（k+1）dx=k=0∞（-1）k+1na1-n（k+1）-（1+ε）1-n（k+1）nk+n-1=]

[" " " " k=0∞（-1）k+1na1-n（k+1）nk+n-1-（1+ε）k=0∞（-1）k+1n（1+ε）-nk+1nk+n-1]。

易知冪級(jí)數(shù)[k=0∞（-1）k+1nxk+1nk+n-1]的收斂區(qū)間為（-1，1），且在[x=1]處收斂，從而在[0，1]上一致收斂，故可交換極限與求和次[序[9]37]：

[limε→0+1+εandx1+xn][=k=0∞（-1）k+1na1-n（k+1）nk+n-1-k=0∞limε→0+（-1）k+1n（1+ε）-nk+1nk+n-1][ =]

[" " " " k=0∞（-1）k+1na1-n（k+1）nk+n-1-k=0∞（-1）k+1nnk+n-1]。

記函數(shù)列[fk（x）=（-1）k+1xa1-x（k+1）xk+1-1， x∈1， +∞]，則[fk（x）≤1kak， k=1， 2， …。因正項(xiàng)級(jí)數(shù)k=1∞1kak是]

[收斂的，故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)k=0∞ fk（x）在區(qū)間1， +∞）上一致收斂[10]。]

記[ bkx=xxk+1-1， x∈1， +∞）， k=1， 2， …]，則[ bkx→0， k→∞]。由于[ bkx-0≤1k]，所以 [limk→∞supx∈1，+∞） bkx-0=0 ，] 從而[bkx]在[1， +∞）]上一致收斂于0。顯然，對(duì)固定的[x∈1， +∞）]，[bkx]關(guān)于[k]單調(diào)，且級(jí)數(shù)[k=0∞（-1）k+1][部分和有界，故由狄利克雷判別法[9]32]，[k=0∞（-1）k+1xxk+1-1在1， +∞）上]一致收斂，于是可交換極限與求和次序，從而有

[limn→∞In=limn→∞limε→0+1+εandx1+xn][ =limn→∞k=0∞（-1）k+1na1-n（k+1）nk+n-1-k=0∞（-1）k+1nnk+n-1=]

[k=0∞limn→∞（-1）k+1na1-n（k+1）nk+n-1-k=0∞limn→∞（-1）k+1nnk+n-1=k=0∞（-1）kk+1=ln2。]

評(píng)注 該解法用到無界函數(shù)的反常積分、冪級(jí)數(shù)展開、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性、極限與求和交換次序、積分與求和交換次序等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較大。

解法四（換元法+級(jí)數(shù)法） 若記[b=1a]，則[0lt;blt;1]。作變量替換 [x=1t]，得到

[In=b1ntn-21+tndt，][ 且limn→∞In=limn→∞limε→0+b1-εntn-2dt1+tn ，]

當(dāng)[t∈b， 1-ε]（其中[εgt;0]充分小）時(shí)，利用重要級(jí)數(shù)[11+t=k=0∞（-1）ktk，" " -1lt;tlt;1]，得

[limε→0+b1-εntn-2dt1+tn=][limε→0+b1-εk=0∞（-1）kntnk+n-2dt=]

[limε→0+k=0∞（-1）kn（1-εnk+n-1-bnk+n-1）nk+n-1=k=0∞（-1）kn（1-bnk+n-1）nk+n-1]。

從而

[limn→∞In=k=0∞limn→∞（-1）kn1-bnk+n-1nk+n-1=k=0∞（-1）kk+1=ln2。]

解法五（泰勒公式+夾逼準(zhǔn)則） 仍考慮函數(shù)列[fn（x）=n1+xn， n=1， 2， …]。注意到對(duì)任意充分小的正數(shù)[ε]，[fn（x）]在閉區(qū)間[1+ε， a]上都一致收斂于0，故有

[limn→∞1+εandx1+xn=1+εalimn→∞n1+xndx=1+εa0dx=0，]

因此問題取決于fn（x）在[x=1]附近的積分。對(duì)區(qū)間[1，a]插入分點(diǎn)，將積分[1andx1+xn]分成兩個(gè)定積分來處理。

解 利用定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性，將[In]表為兩個(gè)定積分之和：

[In=n1adx1+xn=n11+n-34dx1+xn+n1+n-34adx1+xn?Jn+Kn]。

對(duì)于[Kn]，有

[0lt;Kn=n1+n-34adx1+xnlt;a-1-n-34n1+1+n-34nlt;a-1n1+n-34n= ][a-1ne-nln1+n-34]。

由泰勒公式得 [ln1+n-34=n-34-12n-32+on-32]，故

[a-1ne-nln1+n-34=a-1ne-n14?e12n-12+on-12→0 ， n→∞，]

進(jìn)而由夾逼準(zhǔn)則得" [limn→∞Kn=0]。

仍由泰勒公式得

[lnx=x-1-12ξ2（x-1）2]，" "[ 1lt;ξlt;xlt;1+n-34]，

故 [xn=enlnx=enx-1-n2ξ2（x-1）2=enx-1e-n2ξ2（x-1）2]。當(dāng)[1≤x≤1+n-34]時(shí)有 [0≤n2ξ2（x-1）2≤12n-12]，故

[Jn=n11+n-34dx1+xn≤n11+n-34dx1+enx-1e-12n-12=n0n-34dt1+ente-12n-12" ][=] [lnente-12n-121+ente-12n-12n-340→ln2， n→∞]。

另一方面，又有

[Jn=n11+n-34dx1+xn≥n11+n-34dx1+enx-1=lnent1+entn-340→ln2， n→∞]，

從而由夾逼準(zhǔn)則知 [limn→∞Jn=ln2]。

綜上即得" "[limn→∞In=limn→∞Jn+ limn→∞Kn=ln2。]

評(píng)注 該解法利用分點(diǎn)將[In]分解成[In=Jn+Kn]，其中對(duì)[limn→∞Kn]和[limn→∞Jn]的計(jì)算均用到夾逼準(zhǔn)則，故對(duì)分點(diǎn)的選取有較高的要求。注意到[fn（x）]在任一閉區(qū)間[1+ε， a]上都一致收斂于0，有

[limn→∞1+εafn（x）dx=1+εalimn→∞fn（x）dx=1+εa0dx=0。]

本解法要求[limn→∞Kn=0]且[limn→∞Jn]存在，例如取分點(diǎn)[1+n-α]，其中[α][ ∈ ][12，1]，可同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件。

2" " 解法小結(jié)

針對(duì)2023年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一道積分的極限問題，本文給出了5種解法。解法一、解法二和解法四均采用了換元法：解法一用倒代換將原積分化為相對(duì)容易處理的分部積分，解法二通過換元將原積分轉(zhuǎn)化為含參變量積分，解法四通過換元使得被積函數(shù)可利用級(jí)數(shù)展開。解法三和解法四則是利用級(jí)數(shù)的知識(shí)，其中用到冪級(jí)數(shù)展開、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性，極限與求和、積分與求和交換次序等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)。解法一和解法五要求能熟練使用定積分放縮法。有鑒于此，教師在指導(dǎo)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的過程中，應(yīng)夯實(shí)學(xué)生在極限、微分學(xué)、積分學(xué)、級(jí)數(shù)等模塊的理論基礎(chǔ)知識(shí)，積極引導(dǎo)學(xué)生從多角度分析探討綜合性的問題，以切實(shí)提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2023-11-22

基金項(xiàng)目：中國高等教育學(xué)會(huì)高等教育科學(xué)研究規(guī)劃課題“農(nóng)業(yè)院校大學(xué)數(shù)學(xué)課程進(jìn)階式提升路徑探索”（23LK0410）；新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)教研教改項(xiàng)目“面向新工科考研數(shù)學(xué)支撐體系建設(shè)與實(shí)踐”（2023ZHGG05）

通信作者：王飛，新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)副教授，電子郵箱為457566560@qq.com。