摘"要：挖掘?qū)I(yè)理論知識(shí)的思政元素是改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，它能給枯燥的理論課堂帶來(lái)生機(jī)、活躍，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)樹(shù)立正確的價(jià)值觀。本文以“數(shù)學(xué)分析”中的反常積分概念為例，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式思考和分析問(wèn)題，融入思政元素，將知識(shí)點(diǎn)與辯證思想聯(lián)系起來(lái)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；立德樹(shù)人；反常積分；教學(xué)反思

中圖分類(lèi)號(hào)：O17

The"Teaching"Case"of"Mathematical"Analysis"Based"on"the"Idea"of

Foster"Virtue"Through"Education

—Take"The"Concept"of"Improper"Integral"as"an"Example

Lin"Wenxian

Collegenbsp;of"Mathematics"andStatistics，Hanshan"Normal"University"GuangdongChaozhou"521041

Abstract：Exploring"the"ideological"and"political"elements"of"professional"theoretical"knowledge"is"a"bright"spot"to"change"the"traditional"mathematics"teaching，which"can"bring"vitality"and"activity"to"the"boring"theory"class"and"arouse"students'"interest"in"learning"and"enable"students"to"establish"correct"values"while"learning"theoretical"knowledge.Taking"the"concept"of"improper"integral"in"Mathematical"Analysis"as"an"example，this"paper"guides"students"to"think"and"analyze"problems"in"a"problemdriven"way，integrates"ideological"and"political"elements，connects"knowledge"points"with"dialectical"thought，improves"students'"ability"to"analyze"and"solve"problems，and"gradually"trains"students'"ability"to"combine"theory"with"practice"in"the"process"of"classroom"teaching"design.

Keywords：Mathematics"Analysis；foster"virtue"through"education；improper"integral；reflection"on"teaching

2016年，全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，“要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人”“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道”“所有課堂都有育人功能，不能把思想政治工作只當(dāng)作政治理論課的事，其他各門(mén)課都要守好一段渠、種好責(zé)任田”，提出了“各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”的要求。

然而，在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)過(guò)程中，思政課本身仍大量存在只把思想政治工作作為課程教學(xué)的附屬品的現(xiàn)象，思想政治教育的功能沒(méi)能得到充分的發(fā)揮，其他各類(lèi)課程，尤其是自然科學(xué)領(lǐng)域的課程，在實(shí)施思想政治教育方面的作用就顯得捉襟見(jiàn)肘。要真正落實(shí)“各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”，需要廣大教師、不同學(xué)科加大力度挖掘教學(xué)內(nèi)容的思政教育功能，研究教學(xué)方法，精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，才能實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的目標(biāo)。

“數(shù)學(xué)分析”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的學(xué)科，它是大學(xué)本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的最重要的基礎(chǔ)課程，數(shù)學(xué)分析以學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)（三個(gè)學(xué)期）、知識(shí)抽象、邏輯性強(qiáng)為主要特征，它對(duì)于學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。因而，在傳授知識(shí)的同時(shí)，如何將“課程思政”融入數(shù)學(xué)分析這一抽象理論課程的教學(xué)環(huán)節(jié)之中，是擺在我們面前的難題。本文將以反常積分概念為案例，在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)中進(jìn)行一些探索，以期達(dá)到拋磚引玉的作用。

1"教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1"教學(xué)背景

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分內(nèi)容后，具有了一定的積分理論基礎(chǔ)。定積分的概念實(shí)際上有兩個(gè)根本的制約：有限的積分區(qū)間和有界的可積函數(shù)，但在好多現(xiàn)實(shí)情況中，這兩個(gè)局限常常必須突破，就是要討論非有限區(qū)間上的“積分”，或非有界函數(shù)的“積分”。這是定積分概念的進(jìn)一步推廣，反常積分概念有著很豐富的實(shí)際意義，它在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中起著特別重要的作用，是一元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分。

1.2"教學(xué)目標(biāo)

1.2.1"知識(shí)目標(biāo)

理解無(wú)窮限反常積分和無(wú)界函數(shù)反常積分的概念，并掌握計(jì)算。

1.2.2"能力目標(biāo)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)極限與積分的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的化歸、類(lèi)比和分析等數(shù)學(xué)思想，提高分析與解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

1.2.3"思政目標(biāo)

將“思政元素”融入專(zhuān)業(yè)課堂，通過(guò)積分區(qū)間無(wú)窮而積分存在以及被積函數(shù)無(wú)界而積分存在的矛盾關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)主次矛盾的辯證關(guān)系，使學(xué)生建立良好的人生觀、價(jià)值觀、世界觀。

1.3"教學(xué)重點(diǎn)

兩類(lèi)反常積分的概念與計(jì)算。

1.4"教學(xué)難點(diǎn)

誘導(dǎo)學(xué)生理解反常積分的數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程。

1.5"教學(xué)方法

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，講授法。

1.6"教學(xué)過(guò)程

1.6.1"問(wèn)題引入

首先，簡(jiǎn)單介紹我國(guó)在航空領(lǐng)域取得的偉大成就，躋身世界航天大國(guó)，讓學(xué)生油然而生民族自豪感。然后播放我國(guó)首次探測(cè)火星的“天問(wèn)一號(hào)”火箭發(fā)射升空的視頻（圖1），引導(dǎo)學(xué)生的科技探索精神，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情和學(xué)習(xí)興趣，并提出問(wèn)題：要使“天問(wèn)一號(hào)”發(fā)射升空，奔向火星，發(fā)射火箭的初始速度應(yīng)為多少？這在物理學(xué)上稱(chēng)為什么速度？如何求出來(lái)？

這樣就引出了計(jì)算第二宇宙速度的問(wèn)題，并給出以下例題。

例1：（第二宇宙速度問(wèn)題）在地面垂直發(fā)射火箭，為使火箭能擺脫地球引力無(wú)限遠(yuǎn)離地球，試問(wèn)至少需要多大的初速度v0？（如圖2）

例2：圓柱形桶的內(nèi)壁高為h，內(nèi)半徑為R，桶底有一半徑為r的小孔。試問(wèn)從盛滿水開(kāi)始打開(kāi)小孔直至流完桶中的水，共需多少時(shí)間？（如圖3）

通過(guò)這兩個(gè)例題講解讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在例1求第二宇宙速度可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)積分下限為R，上限為正無(wú)窮大的積分，即積分區(qū)間為［R，+∞），這與以前學(xué)習(xí)的定積分不一樣，這種積分稱(chēng)為“無(wú)窮限反常積分”；在例2求圓桶水流完所需時(shí)間問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)被積函數(shù)是有界函數(shù)的積分，這也與以前學(xué)習(xí)的定積分不一樣，這種積分稱(chēng)為“無(wú)界函數(shù)反常積分”。

同時(shí)，提出問(wèn)題：如何研究這兩類(lèi)積分？

1.6.2"反常積分的定義

定義1：設(shè)函數(shù)f定義在無(wú)限區(qū)間［a，+∞）上，且在任意有限區(qū)間［a，u］上可積，若極限limu→+∞∫uaf（x）dx=J存在，則稱(chēng)函數(shù)f在［a，+∞）上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分）為此極限J，記作J=∫+∞af（x）dx，并稱(chēng)∫+∞af（x）dx收斂。若極限不存在，就稱(chēng)∫+∞af（x）dx發(fā)散。

注：∫+∞af（x）dx收斂的幾何意義是：如果f定義在［a，+∞）上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，則如圖4所示，位于直線x=a，x軸和曲線y=f（x）之間那一向右無(wú)窮延長(zhǎng)的陰影部分有面積J。

定義2：設(shè)函數(shù)f定義在（a，b］上，在點(diǎn)a的任一右鄰域內(nèi)無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間［u，b］（a，b］上有界且可積，如果存在limu→a+∫buf（x）dx=J則稱(chēng)此極限為無(wú)界函數(shù)f在（a，b］上的反常積分（簡(jiǎn)稱(chēng)瑕積分），記為J=∫baf（x）dx并稱(chēng)反常積分∫baf（x）dx收斂，若極限不存在，則稱(chēng)反常積分∫baf（x）dx發(fā)散。

1.6.3"例題講解

例3：研究無(wú)窮積分∫+∞11xpdx的收斂性。

例4：研究下面積分的收斂性。

例5：（1）∫+∞21x（lnx）pdx；（2）∫+∞-∞11+x2dx。

例6：研究積分∫+∞acosxdx的收斂性。

例7：判定積分∫1011-x2dx的收斂性。

例8：研究無(wú)界函數(shù)反常積分∫101xqdx（q＞0）的收斂性，并考慮積分∫+∞01xqdx的收斂性。

1.6.4"無(wú)界函數(shù)反常積分與無(wú)窮限反常積分的聯(lián)系

設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，b為瑕點(diǎn)。令t=1b-x，有∫baf（x）dx="∫+∞1b-afb-1t·1t2dt。則將無(wú)窮限反常積分化為無(wú)界函數(shù)反常積分。

又設(shè)a＞0，令t=1x，有無(wú)界函數(shù)反常瑕積分化為無(wú)窮限反常積分，于是，無(wú)界函數(shù)反常瑕積分與無(wú)窮限反常積分可以能夠互相轉(zhuǎn)化。所以，它們有相似的理論和結(jié)果。

1.7"知識(shí)小結(jié)

無(wú)窮積分和瑕積分實(shí)際上轉(zhuǎn)化看作變限積分函數(shù)的極限。

2"教學(xué)反思

2.1"思政元素

通過(guò)介紹我國(guó)航天領(lǐng)域的發(fā)展史，讓學(xué)生增強(qiáng)民族自豪感，學(xué)習(xí)我國(guó)航天科技工作者艱苦奮斗、勇于探索、開(kāi)拓創(chuàng)新的精神。同時(shí)，通過(guò)講授無(wú)界函數(shù)反常積分與無(wú)窮限反常積分的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)到，它們的關(guān)系表現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，又稱(chēng)矛盾規(guī)律、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律和斗爭(zhēng)規(guī)律，它表明了矛盾存在于任何領(lǐng)域中，也存在于任何事物、事物內(nèi)部和事物之間。從而引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到哲學(xué)的高度，用辯證的思維方式去理解具體領(lǐng)域具體學(xué)科的知識(shí)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到整個(gè)世界是充滿矛盾的，矛盾無(wú)時(shí)不有、無(wú)處不在，正是矛盾雙方的對(duì)立統(tǒng)一，推動(dòng)著事物的運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展，以更自覺(jué)地掌握矛盾觀點(diǎn)，并學(xué)會(huì)用矛盾的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)世界，用矛盾分析的方法去指導(dǎo)改造世界。

2.2"教學(xué)思考

利用創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引入新課內(nèi)容，以避免學(xué)生對(duì)內(nèi)容的突兀感。通過(guò)觀看“天問(wèn)一號(hào)”發(fā)射視頻引出計(jì)算第二宇宙速度問(wèn)題，進(jìn)而得出無(wú)窮限反常積分的概念。通過(guò)求解流水問(wèn)題，得出無(wú)界函數(shù)反常積分的概念。

一元函數(shù)積分學(xué)作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分之一，可以分成定積分和反常積分兩大類(lèi)，反常積分又包括無(wú)窮限反常積分與無(wú)界函數(shù)反常積分，它們都是定積分的推廣，是定積分的變限積分的極限形式，本質(zhì)上是某類(lèi)函數(shù)的極限。因而在反常積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該關(guān)注反常積分與定積分的一些性質(zhì)有所相同，也有所不同。

注意運(yùn)用幾何圖像的直觀性，特別是對(duì)反常積分幾何意義的講解，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，特別是注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換。

結(jié)語(yǔ)

在立德樹(shù)人理念下，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)教師要把“德育”看作是教育的根本任務(wù)，更新觀念，深入挖掘，以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為載體，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特殊作用，促進(jìn)學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。在高等學(xué)校專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課中，教師如何滲透課程思政？如何發(fā)現(xiàn)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思政元素？如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的積極性？這是高校教師面臨的一個(gè)課題，任重而道遠(yuǎn)，是一個(gè)值得深入思考和研究的終身課題。

參考文獻(xiàn)：

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［2］林文賢.反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用［J］.高師理科學(xué)刊，2008，28（4）：9395.

［3］鐘煜妮，林文賢.分部積分法在重積分的應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)刊，2015，35（1）：11.

［4］林文賢.高師數(shù)學(xué)分析課程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)［J］.韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（3）：9295.

［5］林文賢.“三全育人”理念下《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)案例——以《條件極值》為例［J］.科技風(fēng)，2024（1）：2123.

基金項(xiàng)目：廣東省一流課程《數(shù)學(xué)分析》建設(shè)項(xiàng)目（Z21011）；2021年度韓山師范學(xué)院教育教學(xué)改革項(xiàng)目（52"1104）；2022年度韓山師范學(xué)院質(zhì)量工程建設(shè)項(xiàng)目（E22033）

作者簡(jiǎn)介：林文賢（1966—"），男，廣東潮州人，教授，從事數(shù)學(xué)分析的教學(xué)與研究。