摘 要：一階常微分方程的方程類型較多，解法不一.在學(xué)習(xí)的過程中會因為方程類型的判斷不準(zhǔn)確，導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難.本文通過構(gòu)造一階常微分方程的知識圖譜，將繁雜的知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)與梳理，呈現(xiàn)常見一階常微分方程的方程類型和解法之間的相互關(guān)系，并以實例進(jìn)行說明.構(gòu)建微分方程的知識圖譜可以對微分方程中的概念、方法和技巧等進(jìn)行全面和系統(tǒng)地整合，呈現(xiàn)出方程之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，幫助學(xué)生更加深入和全面地學(xué)習(xí)微分方程的知識，提高學(xué)習(xí)效果.

關(guān)鍵詞：知識圖譜；常微分方程；常數(shù)變易法；積分因子

中圖分類號：O143" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" 文章編號：1673-9329（2024）03-0001-09

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)以及其他理工科專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)課程，是各種精確自然科學(xué)和社會科學(xué)中表述基本定律和各種問題的根本工具之一.在常微分方程的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生要有扎實的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的知識作基礎(chǔ)，能夠?qū)W會利用微積分的思想，結(jié)合代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)的知識來解決生活中的實際問題.但由于常微分方程是繼數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)課程之后開設(shè)的，其中很多內(nèi)容都是以數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)作為理論基礎(chǔ)，再加上常微分方程中的一階常微分方程的初等解法[1]部分涉及一元函數(shù)積分學(xué)和一元函數(shù)微分學(xué)等相關(guān)知識，需要理解與記憶的方程類型繁多，解法也各不相同，學(xué)習(xí)難度大，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，整體的認(rèn)知體系對教師和學(xué)生來說都是至關(guān)重要的，建立起一個系統(tǒng)完備的知識體系可以幫助學(xué)生對該門課程有一個清晰明了地把握，幫助學(xué)生抓住學(xué)習(xí)的重點和難點.

許多學(xué)生在初學(xué)時經(jīng)常難以辨別方程的類型，無法理解方程的通解，對綜合題型無法解答.因此在學(xué)習(xí)常微分方程的過程中應(yīng)當(dāng)注重對相關(guān)知識及概念的歸納總結(jié)，把握整體知識的內(nèi)在聯(lián)系，建立完備的知識框架，從而達(dá)到知識的相互滲透與應(yīng)用.如何在有限的時間內(nèi)高效地學(xué)習(xí)較為龐大的大學(xué)知識體系，并取得良好的學(xué)習(xí)效果，這就需要我們建立一個相應(yīng)的知識圖譜.知識圖譜是構(gòu)建繁雜知識點間相互關(guān)聯(lián)的重要工具，文獻(xiàn)[2-3]對知識圖譜的相關(guān)研究進(jìn)行了闡述.構(gòu)建一個完備的知識圖譜有利于學(xué)生建立起一個完整的知識體系，在學(xué)習(xí)的過程中逐漸改變以往的傳統(tǒng)思維方式，形成結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化的思維方式，這對學(xué)生把握整體知識的內(nèi)在聯(lián)系有很大幫助.

在日常學(xué)習(xí)過程中，建立知識圖譜可以將零散和獨立的知識點用框架形式建立起清晰明了的知識結(jié)構(gòu)體系，有助于學(xué)生更好地把握相關(guān)知識的整體脈絡(luò)，將所學(xué)的知識點進(jìn)行歸納總結(jié)，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和綱領(lǐng)化，使學(xué)生更好地把握整體的學(xué)習(xí)目標(biāo)和進(jìn)度.

因此，利用知識圖譜來輔助學(xué)生理解和記憶相關(guān)的知識以及相關(guān)的概念和方程類型之間的聯(lián)系，可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果.本文就常微分方程學(xué)習(xí)過程中所遇到的一些問題做了一定的探索和思考，提出以系統(tǒng)論的觀點來構(gòu)造知識圖譜，對一階常微分方程中復(fù)雜的知識點進(jìn)行歸納整理，并舉例來說明知識圖譜在常微分方程學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用.

1一階常微分方程的類型辨析

初學(xué)者在學(xué)完一階線性常微分方程后，應(yīng)當(dāng)能夠準(zhǔn)確地判斷出方程的類型，熟悉各種類型方程的基本解法，并能夠按照所給的方法對方程進(jìn)行求解.常見的一階線性微分方程的類型之間的聯(lián)系如圖1所示，有了基本的知識框架體系，接下來就要由整到散，將相關(guān)的知識概念細(xì)化開來.

從圖1中可以看出，各個方程類型之間存在著相互轉(zhuǎn)化的聯(lián)系，各類方程殊途同歸，最終化為變量分離方程來求解.即使將各類方程類別進(jìn)行了記憶，但平時在做題的過程中，會發(fā)現(xiàn)題目中所給的方程并不是所熟悉的方程類型，因此僅僅做到熟悉方程類型及其解法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要對所學(xué)知識進(jìn)行歸納總結(jié)，善于根據(jù)方程的特點，引入適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將題目中所給的方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程類型進(jìn)行求解.

變量分離類方程是常微分方程中的基礎(chǔ)理論與核心思想.這里有兩類最基本的形式，分別是變量分離方程的一般形式與微分形式.

變量分離方程的一般形式是形如

dydx=f（x）φ（y）（1）

的方程，其中f（x）和φ（y）分別是x，y的連續(xù)函數(shù).如果φ（y）≠0，可以將（1）式改寫成

dyφ（y）=f（x）dx

等式兩邊同時積分，得到

∫dyφ（y）=∫f（x）dx+C（2）

這里把積分常數(shù)C明確寫出來，把∫dyφ（y），∫f（x）dx分別理解為1φ（y），f（x）的原函數(shù).積分常數(shù)C的取值必須保證方程（2）有意義.

變量分離方程的微分形式形如

M（x）N（y）dx+P（x）Q（y）dy=0（3）

1）當(dāng)N（y）P（x）≠0時，方程可變形為M（x）P（x）dx+Q（y）N（y）dy=0；

2）當(dāng)N（y0）=P（x0）=0時，x0，y0也是方程的解.

變量分離方程的解題步驟首先是判斷所給方程是不是變量分離方程，然后對方程進(jìn)行變量分離，分離成1φ（y）dy=f（x）dx，φ（y）≠0，進(jìn)一步對方程兩邊同時積分得到通解

Φ（y）=F（x）+C.

很多時候容易忽略檢驗φ（y）=0時的情形，即考察y=y0是不是方程的解，若是，則檢驗y=y0能否寫成通解Φ（y）=F（x）+C的形式，若不能，則單獨將y=y0補(bǔ)上.如圖2所示，解題的步驟就會十分清晰明了.

例1 求方程dydx=P（x）y的通解

解：所給方程為變量分離方程，當(dāng)y≠0時，分離變量得dyy=P（x）dx.兩邊同時積分得

lny=∫P（x）dx+C1

即得通解為y=e∫P（x）dx+C1，即

y=±eC1·e∫P（x）dx

令c=±eC1，即y=ce∫P（x）dx，c≠0.

此外，y=0也是方程的解，可以寫成通解的形式，即通解中允許c=0的情況.所以，方程的通解為y=ce∫P（x）dx，c為任意常數(shù).

（2）式和（3）式分別對應(yīng)了圖1的恰當(dāng)微分方程與一階齊次線性方程，圖2給出了解題的具體步驟，例1是實踐的過程.初學(xué)者在學(xué)習(xí)完一階常微分方程后，可以通過“作圖（如圖1）→列式→舉例”這樣的步驟，對所學(xué)的知識融會貫通，充分理解.

2常見一階微分方程的解法之間的聯(lián)系

對于不同類型的方程，該用什么方法進(jìn)行求解，需要學(xué)生對方程類型及其解法非常熟悉，并能靈活地應(yīng)用.知識圖譜可以很好地將各方程類型的解法之間的內(nèi)在聯(lián)系直觀地呈現(xiàn)出來，部分方程類型的解法之間的聯(lián)系如圖3所示.

在建立知識圖譜的過程中可以一邊建立一邊思考，用什么形狀的框來代表什么，方程下一步該怎樣進(jìn)行求解等.如圖3，圓角形框代表的是方程的主要類型，圓弧形框代表的是方程的通解，矩形框代表的是在求解方程的過程中通過變量變換和常數(shù)變易法等方式計算所得的重要結(jié)果以及重要的步驟，箭頭旁的標(biāo)注表示重要的條件以及所作的變換.通過此種方式長期堅持下去，可以很好地幫助學(xué)生理解和記憶相關(guān)的知識點，對學(xué)生想象力和創(chuàng)造力的開發(fā)也有一定的作用.雖然各方程類型的解法過程在腦海中已經(jīng)有了初步的雛形，整體的認(rèn)知體系已經(jīng)建立.但光靠這一點還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要對整體的圖形再細(xì)化具體到每一個步驟.知識圖譜搭配傳統(tǒng)的歸納總結(jié)方式對學(xué)習(xí)是非常有效的，不僅可以把握整體的知識結(jié)構(gòu)體系，把握學(xué)習(xí)的目標(biāo)以及學(xué)習(xí)過程中的重點和難點，同時也避免了部分細(xì)節(jié)的遺漏.

2.1可轉(zhuǎn)化為變量分離方程的方程類型

變量分離方程是微分方程的基礎(chǔ)，具有非常重要的作用.在做題的過程中，如果可以將原方程化為變

量分離方程，不僅可以節(jié)約時間，還大大降低了計算的難度和計算量.本節(jié)就可化為變量分離方程的類型作具體的總結(jié).

（1）齊次微分方程

齊次微分方程的形式為

dydx=gyx（4）

其中g(shù)（u）是u的連續(xù)函數(shù).

齊次微分方程的解題步驟：

①作變量代換，令u=yx，則y=ux，兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得dydx=u+xdudx;②把齊次方程轉(zhuǎn)換為一個變量分離方程dudx=g（u）-ux;③=3＼*GB3求解變量分離方程；④還原變量，寫出通解.

（2）分式線性方程

形如

dydx=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2

的方程稱為分式線性方程，可以通過變量代換等方式將其化為變量分離方程，

a1，a2，b1，b2，c1，c2均為常數(shù).

當(dāng)c1=c2=0時，dydx=fa1+b1yxa2+b2yx=gyx為齊次微分方程，在上文中已對齊次微分方程做出總結(jié).因此，這里只對c1，c2不全為零的情況進(jìn)行歸納整理.

1）當(dāng)a1b1a2b2=0時，即a1b2=a2b1.

若a1b2=a2b1=0，此時方程可化為變量分離方程或者形如dydx=f（cx+dy），作變換u=cx+dy可化為變量分離方程.

若a1b2=a2b1≠0，即a1a2=b1b2，設(shè)a1a2=b1b2=k，則

dydx=k（a2x+b2y）+c1a2x+b2y+c2=f（a2x+b2y）

令u=a2x+b2y，則dudx=a2+b2f（u），此為變量分離方程，可按照變量分離方程的解法進(jìn)行求解，最后還原變量即得原方程的通解.

2）當(dāng)a1b1a2b2≠0，此時a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0有唯一的交點（α，β）.

令X=x-αY=y-β，則原方程可變?yōu)閐YdX=a1X+b1Ya2X+b2Y=g（YX），此為齊次微分方程，可以按照齊次微分方程的解法進(jìn)行求解，最后還原變量即得原方程的通解.

分式線性方程的解題步驟：先判斷行列式a1b1a2b2是否等于零，若a1b1a2b2=0，則原方程可直接化為變量分離方程或者通過變換u=cx+dy化為變量分離方程；若a1b1a2b2≠0，則如下步驟求解：

①解方程組a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0設(shè)其解為x=α，y=β；

②作變換X=x-αY=y-β，將方程化為齊次微分方程dYdX=g（YX）；

③再作變換u=YX，將dYdX=g（YX）化為變量分離方程dudX=g（u）-uX；

④求解變量分離方程，最后還原變量得原方程的通解.

（3）一階齊次線性微分方程

一階線性微分方程

dydx=P（x）y+Q（x），

其中P（x）是x的連續(xù)函數(shù)且Q（x）=0，稱為一階齊次線性微分方程.同時也是變量分離法方程，用變量分離的方法解得通解y=ce∫P（x）dx，c為任意常數(shù).

2.2一階非齊次線性微分方程

一階齊次線性微分方程

dydx=P（x）y+Q（x）（5）

其中P（x），Q（x）是x的連續(xù)函數(shù)且Q（x）≠0，稱為一階非齊次線性微分方程.

使用常數(shù)變易法[4]，設(shè)方程有形式解

y=c（x）e∫P（x）dx（6）

對等式兩邊同時對x求導(dǎo)，得

dydx=dc（x）dxe∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx（7）

將（6）和（7）代入（5）得

dydx=dc（x）dxe∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx=c（x）P（x）e∫P（x）dx+Q（x）

即

dc（x）dx=Q（x）e-∫P（x）dx

兩邊同時積分得

c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+C

即方程的通解為y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c.

一階非齊次線性微分方程的解題步驟：求解對應(yīng)齊次方程dydx=P（x）y，得通解為y=ce∫P（x）dx;利用常數(shù)變易法，令y=c（x）e∫P（x）dx為原方程的解，并代入原方程求出c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c;故方程的通解為y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c.

注意：一階非齊次線性微分方程的通解包括方程的所有解.

2.3伯努利微分方程

形如

dydx=P（x）y+Q（x）yn（n≠0，1為實數(shù)）（8）

的方程，稱為伯努利微分方程，其中P（x），Q（x）是x的連續(xù)函數(shù).利用變量變換可以將伯努利微分方程化為線性微分方程.當(dāng)y≠0時，用y-n乘以（8）兩邊，得

y-ndydx=P（x）y1-n+Q（x）（9）

引入變量

z=y1-n（10）

則

dzdx=（1-n）y-ndydx（11）

將（10）和（11）代入（9）得

dzdx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x）

此為線性微分方程，可按照上面所總結(jié)的方法進(jìn)行求其通解，最后還原變量即得伯努利微分方程的通解.此外，當(dāng)ngt;0時，方程還有解y=0.

伯努利微分方程的解題步驟：當(dāng)y≠0時，引入變量z=y1-n，將原方程變形為dzdx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x），此為線性微分方程；求解線性微分方程；還原變量，寫出通解；補(bǔ)充當(dāng)ngt;0時，方程還有解y=0.

2.4恰當(dāng)微分方程

形如

M（x，y）dx+N（x，y）dy=0（12）

其中M（x，y），N（x，y）在某矩形域內(nèi)是x，y的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).若方程（12）的左端恰好是某個二元函數(shù)u（x，y）的全微分，即

M（x，y）dx+N（x，y）dy=uxdx+uydy

則稱方程（12）為恰當(dāng)微分方程.恰當(dāng)微分方程的通解為u（x，y）=c，c為任意常數(shù).如果二元函數(shù)M（x，y），N（x，y）可以寫成獨立的x，y的函數(shù)的乘積，即

M（x，y）=M1（x）N1（y）N（x，y）=M2（x）N2（y），則原方程可變形為M1（x）M2（x）dx+N2（x）N1（x）dy=0，對于這類方程可直接對其進(jìn)行積分求解.方程（12）為恰當(dāng)微分方程的充要條件是My=Nx.

求解恰當(dāng)微分方程主要有不定積分法、分項組合法和積分因子法三類方法.

（1）不定積分法

首先判斷方程是否為恰當(dāng)微分方程，即My=Nx是否成立；若成立，設(shè)u滿足ux=M（i）以及uy=N（ii）；若不成立，則可參考下文引入積分因子將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程；對（i）式關(guān)于x求積分得u=∫Mdx+φ（y）（iii），對（iii）關(guān)于y求導(dǎo)并與（ii）聯(lián)立求出φ′（y）;對φ′（y）求積分得φ（y）;寫出通解u=c.

（2）分項組合法

利用二元函數(shù)微分的特點，將恰當(dāng)微分方程的各項拆開再進(jìn)行重新組合湊成全微分的形式.運(yùn)用分項組合法求解微分方程，需要熟記常見二元函數(shù)的全微分，并能熟練地應(yīng)用.

例2 求解方程cosx+1ydx+1y-xy2dy=0.

解：由于M=cosx+1y，N=1y-xy2，所以My=-1y2，Nx=-1y2，故所給方程為恰當(dāng)微分方程，利用分項組合法對方程進(jìn)行重組：

cosxdx+1ydy+（1ydx-xy2dy）=dsinx+dlny+ydx-xdyy2=dsinx+dlny+d（xy）=d（sinx+lny+xy）=0

即得方程的通解為

sinx+lny+xy=c，c為任意常數(shù).

（3）積分因子

恰當(dāng)微分方程可以通過積分求出隱函數(shù)形式的解.然而，在平時的練習(xí)或者測試的題目中并不是所有的方程類型都是恰當(dāng)微分方程.因此，能否將一個非恰當(dāng)微分方程通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為一個恰當(dāng)微分方程就有著非常重要的意義.積分因子的引入就使得這類問題得以解決.

如果存在連續(xù)可微函數(shù)μ（x，y）≠0，使得

μ（x，y）M（x，y）dx+μ（x，y）N（x，y）dy=0（13）

為一個恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)u（x，y），使得

μ（x，y）M（x，y）dx+μ（x，y）N（x，y）dy=du（x，y）

則稱μ（x，y）為方程（13）的積分因子.

此時，μ（x，y）=c是方程（13）的通解

μ為積分因子的充要條件是：（μM）y=（μN(yùn)）x，即Nμx-Mμy=（My-Nx）μ.

方程Mdx+Ndy=0有且只有與x有關(guān)的積分因子μ（x）的充要條件是

My-NxN=Ψ（x）

此時

μ（x）=e∫Ψ（x）dx

方程Mdx+Ndy=0有且只有與y有關(guān)的積分因子μ（y）的充要條件是

My-Nx-M=φ（y）

此時μ（y）=e∫φ（y）dy.

2.5一階隱式微分方程

形如

F（x，y，y′）=0（14）

的方程，稱為一階隱式微分方程.

（1）若（14）式可以解出y的隱式微分方程y=f（x，y′）.

解法：令y′=p，對y=f（x，p）兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得

p=fx+fpdpdx（15）

將（15）看作x，p的一階微分方程求解.

若（15）通解為p=φ（x，c）時，原方程的通解為y=f（x，φ（x，c））;若（15）通解為x=φ（p，c）時，原方程的通解為x=φ（p，c）y=f（φ（p，c），p），其中p為參數(shù).

（2）若（14）可以解出x的隱式微分方程x=f（y，y′）.

解法：令y′=p，對x=f（y，p）兩邊關(guān)于y求導(dǎo)得

1p=fy+fpdpdy（16）

將（16）看作y，p的一階微分方程求解.

若（16）通解為p=φ（y，c）時，原方程的通解為x=f（y，φ（y，c））;若（16）通解為y=φ（p，c）時，原方程的通解為x=f（φ（p，c），p）y=φ（p，c），其中p為參數(shù).

（3）不含y的隱式微分方程：F（x，y′）=0.

解法：令y′=p，方程化為F（x，p）=0，代表xOp平面上的一條曲線.引入適當(dāng)?shù)淖儞Q把該曲線表示為參數(shù)形式x=φ（t）p=Ψ（t），則原方程的通解為x=φ（t）y=∫Ψ（t）φ′（t）dt+c，t為參數(shù).

（4）不含x的隱式微分方程：F（y，y′）=0.

解法：令y′=p，引入?yún)?shù)t，將方程F（y，p）=0表示為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式x=φ（t）p=Ψ（t），則原方程的通解為x=∫——φ′（t）Ψ（t） dt+cy=φ（t），其中t為參數(shù).

3結(jié)語

常微分方程為一門數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)的專業(yè)必修課，但因該門課程具有較多抽象的概念和理論推導(dǎo)過程，對于初學(xué)者來說不容易理解.筆者在教學(xué)過程中經(jīng)常通過構(gòu)建知識圖譜來輔助理解和記憶相關(guān)的知識點，效果顯著，能夠有效地建立起知識的整體框架體系，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).相比傳統(tǒng)死記硬背的思維模式，知識圖譜的引入可以有效地幫助學(xué)生理解和記憶繁雜、瑣碎的知識點，還能在一定程度上開發(fā)學(xué)生的想象力.

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[責(zé)任編輯：劉紅霞]

Knowledge Graph of First Order Ordinary Differential Equations

LI Ping，YANG Xiaozhen

（Kaili University，Kaili，Guizhou，556011，China）

Abstract：

There are many types of first-order ordinary differential equations with different solutions.In the process of learning， it may be very difficult to learn because of inaccurate judgment of equation types.By constructing knowledge atlas of first-order ordinary differential equations， this paper relates and sorts out complex knowledge， presents the relationship between equation types and solutions of common first-order ordinary differential equations， and illustrates it with examples. Knowledge atlas of differential equations can be constructed to comprehensively and systematically integrate concepts， methods and techniques in differential equations. It not only presents the internal connection and logical relationship between equations， but also cultivates students logical thinking ability. Whats more， it helps students to have a more comprehensive understanding and learning of differential equations， which is conducive to improve students learning effect.

Key words：

Knowledge graphs；ordinary differential equation；method of variation of parameters；integral factor