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摘 要：常微分方程是解決實(shí)際問題中最基本的數(shù)學(xué)理論和方法，方程求解后的結(jié)果代表了自然現(xiàn)象的內(nèi)涵，工程中也經(jīng)常用到常微分方程。在研究實(shí)際問題的過程中，我們要先建立起數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)模型進(jìn)行分析求解，因此，探討常微分方程具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：常微分方程；模型構(gòu)建；模型求解

中圖分類號(hào)：O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 收稿日期：2015-12-15

一、數(shù)學(xué)建模在高數(shù)教學(xué)中的意義

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的方法將特定對(duì)象的內(nèi)涵完整、清晰而又簡潔地表述出來。在高數(shù)教學(xué)中建模思想占據(jù)重要地位，它是將數(shù)據(jù)和實(shí)際問題相連接的紐帶，以物理、化學(xué)為代表的自然科學(xué)和以金融、管理為代表的社會(huì)科學(xué)以及以機(jī)械為代表的工程學(xué)中都經(jīng)常用到數(shù)學(xué)模型。

二、數(shù)學(xué)建模在常微分方程模型數(shù)值解法的應(yīng)用

本文以商品價(jià)格為例探討數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用。在完全的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制中，產(chǎn)品的價(jià)格由市場(chǎng)的需求決定：供大于求，產(chǎn)品價(jià)格自然上不去；求大于供，產(chǎn)品緊俏，價(jià)格自然下不來。換句話說，假定我們忽略一些影響產(chǎn)品價(jià)格不斷波動(dòng)的因素，僅考慮市場(chǎng)和產(chǎn)品因素，可以說，市場(chǎng)上供與求的關(guān)系一定程度上決定了產(chǎn)品的價(jià)格，然而，實(shí)際上，產(chǎn)品的價(jià)格受到多方面的影響，不會(huì)完全取決于市場(chǎng)需求，且產(chǎn)品價(jià)格也不是一成不變的，它會(huì)是一個(gè)波動(dòng)值。

1.模型的構(gòu)建

我們用數(shù)學(xué)模型來表示產(chǎn)品價(jià)格與市場(chǎng)需求的關(guān)系：設(shè)定時(shí)間為t，產(chǎn)品定價(jià)為p（t）。p（t）不等于生產(chǎn)廠家的價(jià)格定位，這時(shí)市場(chǎng)供需關(guān)系發(fā)生變化，供與求的不均衡會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品價(jià)格需要重新定價(jià)。在新的定價(jià)下，供需關(guān)系會(huì)再次產(chǎn)生變化，這樣循環(huán)反復(fù)。因?yàn)楣┬桕P(guān)系的變化，產(chǎn)品的價(jià)格就是不斷變化的，是動(dòng)態(tài)的，我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品價(jià)格p（t）和供求關(guān)系的比值—有正相關(guān)的關(guān)系，我們用f（p，r）代表市場(chǎng)需求，用g（p）代表向市場(chǎng)供應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)量（r為設(shè)定值），那么可得到下式

注意，p0代表產(chǎn)品在時(shí)間t=0的定價(jià)，α是正的實(shí)數(shù)。

從這里我們可以看出市場(chǎng)價(jià)格的模型是一個(gè)關(guān)于一階常微分方程的數(shù)學(xué)模型，可以通過常微分方程的數(shù)值解法求解分析。

2.模型的求解

建立數(shù)學(xué)模型是為了用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際過程中存在的問題，數(shù)學(xué)建模即用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題表述出來，這只是解決問題的第一步，這一部分需要我們明確建立模型的目的。同時(shí)要搜集大量的資料。還要建立研究對(duì)象之間的數(shù)學(xué)模型關(guān)系。然后再對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，求解過程中需要應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)，這個(gè)過程需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)以及個(gè)人的敏銳的觀察力以及大膽的假設(shè)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)理論知識(shí)過于豐富，但是實(shí)際應(yīng)用程度卻很低的情況，將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，在解決實(shí)際問題過程中具有重要意義，能夠利用它更好地分析實(shí)際問題并給出相應(yīng)的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

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