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        數(shù)學(xué)建模在高數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

        2016-07-28 12:25:55道路
        求知導(dǎo)刊 2016年16期
        關(guān)鍵詞:常微分方程模型構(gòu)建

        道路

        摘 要:常微分方程是解決實際問題中最基本的數(shù)學(xué)理論和方法,方程求解后的結(jié)果代表了自然現(xiàn)象的內(nèi)涵,工程中也經(jīng)常用到常微分方程。在研究實際問題的過程中,我們要先建立起數(shù)學(xué)模型,然后對模型進(jìn)行分析求解,因此,探討常微分方程具有重要的現(xiàn)實意義。

        關(guān)鍵詞:常微分方程;模型構(gòu)建;模型求解

        中圖分類號:O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:B 收稿日期:2015-12-15

        一、數(shù)學(xué)建模在高數(shù)教學(xué)中的意義

        數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的方法將特定對象的內(nèi)涵完整、清晰而又簡潔地表述出來。在高數(shù)教學(xué)中建模思想占據(jù)重要地位,它是將數(shù)據(jù)和實際問題相連接的紐帶,以物理、化學(xué)為代表的自然科學(xué)和以金融、管理為代表的社會科學(xué)以及以機械為代表的工程學(xué)中都經(jīng)常用到數(shù)學(xué)模型。

        二、數(shù)學(xué)建模在常微分方程模型數(shù)值解法的應(yīng)用

        本文以商品價格為例探討數(shù)學(xué)建模的實際應(yīng)用。在完全的市場經(jīng)濟(jì)體制中,產(chǎn)品的價格由市場的需求決定:供大于求,產(chǎn)品價格自然上不去;求大于供,產(chǎn)品緊俏,價格自然下不來。換句話說,假定我們忽略一些影響產(chǎn)品價格不斷波動的因素,僅考慮市場和產(chǎn)品因素,可以說,市場上供與求的關(guān)系一定程度上決定了產(chǎn)品的價格,然而,實際上,產(chǎn)品的價格受到多方面的影響,不會完全取決于市場需求,且產(chǎn)品價格也不是一成不變的,它會是一個波動值。

        1.模型的構(gòu)建

        我們用數(shù)學(xué)模型來表示產(chǎn)品價格與市場需求的關(guān)系:設(shè)定時間為t,產(chǎn)品定價為p(t)。p(t)不等于生產(chǎn)廠家的價格定位,這時市場供需關(guān)系發(fā)生變化,供與求的不均衡會導(dǎo)致產(chǎn)品價格需要重新定價。在新的定價下,供需關(guān)系會再次產(chǎn)生變化,這樣循環(huán)反復(fù)。因為供需關(guān)系的變化,產(chǎn)品的價格就是不斷變化的,是動態(tài)的,我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品價格p(t)和供求關(guān)系的比值—有正相關(guān)的關(guān)系,我們用f(p,r)代表市場需求,用g(p)代表向市場供應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)量(r為設(shè)定值),那么可得到下式

        注意,p0代表產(chǎn)品在時間t=0的定價,α是正的實數(shù)。

        從這里我們可以看出市場價格的模型是一個關(guān)于一階常微分方程的數(shù)學(xué)模型,可以通過常微分方程的數(shù)值解法求解分析。

        2.模型的求解

        建立數(shù)學(xué)模型是為了用數(shù)學(xué)方法解決實際過程中存在的問題,數(shù)學(xué)建模即用數(shù)學(xué)語言將實際問題表述出來,這只是解決問題的第一步,這一部分需要我們明確建立模型的目的。同時要搜集大量的資料。還要建立研究對象之間的數(shù)學(xué)模型關(guān)系。然后再對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,求解過程中需要應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和計算機技術(shù),這個過程需要有扎實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)以及個人的敏銳的觀察力以及大膽的假設(shè)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會出現(xiàn)理論知識過于豐富,但是實際應(yīng)用程度卻很低的情況,將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,在解決實際問題過程中具有重要意義,能夠利用它更好地分析實際問題并給出相應(yīng)的結(jié)論。

        參考文獻(xiàn):

        [1]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1978.

        [2]I.S.Muchin.?eber die H?ufung der Fehler bei numerischer Integration von Differentialgleichungen[J].Prikladnaya Matamatika I Mekhanika,1952,(16).

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