蔡益　龔梅勇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的高位素養(yǎng)，要求將數(shù)學(xué)建模理念貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教育，并從課時(shí)、內(nèi)容、形式等方面對數(shù)學(xué)建?；顒舆M(jìn)行了詳細(xì)清晰的說明．

實(shí)際上，這顆數(shù)學(xué)皇冠上的珍珠在高考?xì)v史上始終散發(fā)著光芒．為何將數(shù)學(xué)建模的重要性一再重提？根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，高中生的思維正處于形式運(yùn)算階段，即“在頭腦中把事物的內(nèi)容和形式分開，根據(jù)假設(shè)來進(jìn)行邏輯推理”．?dāng)?shù)學(xué)建模引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)信息，抽象出數(shù)學(xué)模型，并檢驗(yàn)和調(diào)整模型，最終運(yùn)用模型解決問題，這一過程有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展．

但數(shù)學(xué)建模的“落地”卻存在諸多困難．一方面匹配生情、難度適中的教學(xué)資源不好找，另一方面建模過程涉及的知識繁雜、計(jì)算量大，師生都容易產(chǎn)生“畏難”情緒．由于具有較大的開放性與實(shí)踐性，也很難在一場時(shí)間與場地有限的考試中真正考查數(shù)學(xué)建模題．

很多數(shù)學(xué)建模題經(jīng)過了層層假設(shè)包裝，變成了一道中規(guī)中矩的應(yīng)用題．教學(xué)中，很多應(yīng)用題的實(shí)際情境都被一筆帶過，學(xué)生只關(guān)注如何套用數(shù)學(xué)模型計(jì)算，本該有趣的應(yīng)用題在他們眼中“可怕又生硬”．長此以往，學(xué)生的思維固化，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究逐步失去興趣．如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣，數(shù)學(xué)建模如何落實(shí)到日常教學(xué)，如何以試題考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)一直是筆者追探的課題．筆者在為學(xué)生答疑一道應(yīng)用題時(shí)發(fā)現(xiàn)了契機(jī)．

1 從學(xué)生的痛點(diǎn)尋找數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)

應(yīng)用題：小李參加人才招聘會，有A，B兩家公司分別開出了以下工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年的月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年增加230元；B公司允諾第一年的月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%，請問小李打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（其他因素不計(jì)），他應(yīng)該選擇哪家公司？為什么？

本題的標(biāo)準(zhǔn)答案是選擇A公司．該生疑惑B公司的工資符合指數(shù)增長模型，未來工資肯定會比A高很多．為什么不選B？筆者回答，因?yàn)橹恍杩紤]前10年的工資收入總量，利用數(shù)列求和公式計(jì)算比較可知A高．學(xué)生依然表示困惑．

學(xué)生的痛點(diǎn)往往是教學(xué)的切入點(diǎn)．為什么題目要提供10年為限？什么時(shí)候選擇B公司呢？若去除10年等條件限制，不就是一道準(zhǔn)數(shù)學(xué)建模題嗎？是不是可以反向操作，讓學(xué)生成為出題者，一起參與試題的生成過程，真正理解“10年”的意義？此次實(shí)踐也許會是一個(gè)走近數(shù)學(xué)建模的機(jī)會！

2 “微建?！痹囶}編制，親歷數(shù)學(xué)建模的步驟

筆者邀請學(xué)生一起對一道開放性母題，進(jìn)行高中數(shù)學(xué)試題編制，學(xué)生躍躍欲試．

母題 你大學(xué)畢業(yè)后參加人才招聘會，有A、B兩家公司分別開出了工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年的月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年增加230元；B公司允諾第一年的月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%，請問你會怎么選擇？

這是一道選擇標(biāo)準(zhǔn)和其他因素都很開放的問題，學(xué)生展開熱烈討論：有的希望工作輕松，有的希望工資高，有的希望能鍛煉能力，有的考慮了不同的交通費(fèi)用……筆者適時(shí)引導(dǎo)：若想編成數(shù)學(xué)試題，首先需要將不確定的因素確定化，我們可以合理假設(shè)——非主要因素或者非數(shù)學(xué)因素可以通過合理的假設(shè)來處理．因此交通費(fèi)用相同與否、工作的難易等可以一并歸入“不考慮其他因素，假設(shè)兩家公司的其他情況都一樣”．應(yīng)用題中看似生硬的要求被賦予了實(shí)際意義．

若想作出選擇，需要有明確的標(biāo)準(zhǔn)．用數(shù)據(jù)說話更有說服力，學(xué)生提出以月工資的高低作為選擇的依據(jù)．到此，一道試題初具規(guī)模，學(xué)生開始嘗試選擇數(shù)學(xué)模型解題．

要研究兩個(gè)變量的關(guān)系，學(xué)生們有的選擇函數(shù)模型，有的選擇數(shù)列模型．筆者表示肯定，并補(bǔ)充數(shù)列是特殊的函數(shù)．大多數(shù)學(xué)生選擇函數(shù)模型，年份x為函數(shù)的自變量，第x年的月工資為函數(shù)值，記A、B公司的月工資分別為（）fx與（）gx，則

f（x）=230x+1270（x∈N*）

g（x）=2000×1.05x-1（x∈N*）

如何比較兩個(gè)公司的月工資高低？難以利用作差法比大小，學(xué)生打算利用函數(shù)圖象（利用平滑曲線連結(jié)散點(diǎn)）的高低來比較函數(shù)值的大?。?/p>

新問題接踵而至 一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能有幾個(gè)交點(diǎn)呢？本題的兩個(gè)函數(shù)圖象如何較為準(zhǔn)確地繪制呢？

之前的教學(xué)中，筆者利用一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)增長方式的差異，研究了兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，但仍有學(xué)生似懂非懂．如今借助GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件，無需繁瑣的計(jì)算和復(fù)雜的指令，筆者在課堂上直接輸入函數(shù)表達(dá)式，通過設(shè)置變量滑動條繪制動態(tài)的函數(shù)圖象，即可演示兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化情況（圖1）．本題的函數(shù)解析式系數(shù)過大，可對系數(shù)進(jìn)行同比例縮小后，利用GGB直接繪制，不影響結(jié)果判斷（圖2）．

借助GGB既能嚴(yán)謹(jǐn)論證學(xué)生對圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的猜測，更用直觀的圖象生成視覺記憶，非常適合數(shù)學(xué)建模的探索過程．學(xué)生們不必為復(fù)雜的計(jì)算耗費(fèi)過多時(shí)間，只需將精力放在該題的研究重點(diǎn)上．

如何利用函數(shù)圖象分析問題呢？學(xué)生提出，需要知道兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，尋找圖象高低（月工資高低）的“分界”點(diǎn)．結(jié)合GGB“讀曲線交點(diǎn)”的功能，很快可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為5.1和29.63．

解讀分析數(shù)據(jù)（交點(diǎn)橫坐標(biāo)）的實(shí)際意義，是模型解題的重點(diǎn)．由數(shù)據(jù)可知：第1～5年B公司的月工資更高，第6～29年A公司的月工資更高，第30年以后B公司的月工資更高．學(xué)生很快意識到收入與工作的年限有關(guān)，需要有分類討論的思想．被動接受與自我覺察，效果完全不同！

3 理解參考數(shù)據(jù)的意義，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的修正與調(diào)整

筆者問 如果你們是老師，如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些“分界”年份呢？

學(xué)生提出，可以提供1.054和1.055讓答題者發(fā)現(xiàn)第5年和第6年這兩個(gè)工資高低變化的年份．第29、30年的數(shù)據(jù)設(shè)置同上．有的學(xué)生更是指出了本題的易錯(cuò)點(diǎn)：1.054對應(yīng)的是第5年的工資，我們很容易錯(cuò)，可以多給一些數(shù)據(jù)作為干擾選項(xiàng)！至此筆者總結(jié)，題目中提供的參考數(shù)據(jù)很有意義，經(jīng)過了出卷老師的精心設(shè)計(jì)，既包含解題指向，也可能“魚目混珠”，是一些干擾信息．大家一定要有數(shù)學(xué)之慧眼，提高數(shù)據(jù)分析能力．

問題真正得到解決了嗎？當(dāng)筆者請求學(xué)生給出解答時(shí)，一些學(xué)生猶豫了：如果只打算在公司工作5年或者6年，肯定選B．如果第7年或第8年應(yīng)該怎么選擇？筆者將解疑的主動權(quán)交給學(xué)生，大家討論之后立馬有了結(jié)果：既然收入和工作年限有關(guān)，那么僅考慮第x年的月工資有所不足，利用工資收入總量來比較更合理．

課堂生成順其自然，學(xué)生在一步一步的分析中不斷調(diào)整思路，修正模型，決定借助數(shù)列模型，利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出A，B公司前n年的工資收入總量分別為

Sn=12（1385n+115n2），n∈N*

Tn=12（40000×1.05n-40000），n∈N*

比較工資收入總量高低的方法與之前完全相同，學(xué)生對此已經(jīng)輕車熟路，甚至主動要求上臺操作GGB，先是探究指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)變化過程——交點(diǎn)個(gè)數(shù)從1個(gè)變化到3個(gè)（圖3）．再作出了本題的兩個(gè)函數(shù)圖象驗(yàn)證自己的猜測（圖4）．最后利用“讀交點(diǎn)”得出了交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0、9.6、39.27．

學(xué)生們分析著數(shù)據(jù)的實(shí)際意義：前9年B公司收入高，若工作超過9年直到退休，A公司收入高．可見指數(shù)爆炸增長也要考慮年限．在上一個(gè)模型建立之后，再用類似的思想方法解決同類問題、簡化工作，學(xué)生逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模的巨大意義，更是真正體會了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的作用．

筆者提問：結(jié)合上述分析，你們會如何編制試題呢？學(xué)生各抒己見．有的提出以10年為限出題，有的說可以不給時(shí)間限制加大難度……課堂一時(shí)熱鬧非凡，一掃對應(yīng)用題的無聊之感．

4 “微建?！苯虒W(xué)為數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)尋找落地途徑

以往，數(shù)學(xué)建模教學(xué)難以在筆者的課堂開展，本節(jié)課卻讓人信心大振．教師可以從符合生情的應(yīng)用題入手，去除題目的部分條件或結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生出于解決問題的實(shí)際需求，為半開放的問題增設(shè)條件和標(biāo)準(zhǔn)，借助GGB對于圖形和數(shù)據(jù)的處理能力，最終編制成數(shù)學(xué)試題．借此經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的步驟：模型假設(shè)、模型構(gòu)建、模型求解、模型檢驗(yàn)直至解決問題．這一縮微版本的數(shù)學(xué)建模教學(xué)（筆者稱之為“微建?！苯虒W(xué)）沒有照本宣科，一切自然發(fā)生．既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又具有極大的可操作性和實(shí)際意義．

以本題為例，筆者認(rèn)為“微建?！毕碌脑囶}編制可以有以下兩個(gè)走向：

（1）常規(guī)應(yīng)用題．如果只想考查數(shù)學(xué)模型的建立與計(jì)算，可以如開篇的應(yīng)用題，提供具體年限“10年”．學(xué)生會建模、會用模型的公式計(jì)算、會使用模型中的思想方法即可．

（2）如果想讓題目更具有開放性，可以考查建模步驟中的某幾步，或者提出更高層次的要求——多種模型的選擇與評價(jià)．比如可以這樣出題：請問僅以工資收入的高低作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（其他因素不計(jì)），他應(yīng)該選擇哪家公司？為什么？

這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的建立模型、分析模型的能力，學(xué)會從參考數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)解題信息．無論以月工資還是工資總量作為選擇依據(jù)，只要言之有理都可得分．對同一個(gè)問題可以有不同的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，選取不同的模型，就采用不同的思考方式．

無論哪一個(gè)走向，最關(guān)鍵是尋找學(xué)生的興趣點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)機(jī)會，利用半開放的課堂，讓學(xué)生參與建模過程，并在此過程中發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力．

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