戴學(xué)明

評析 該解法對學(xué)生的代數(shù)推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，推理能力要求都很高，適用于學(xué)有余力的同學(xué)掌握．優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算較為簡潔，解法新穎，創(chuàng)新度高；缺點(diǎn)：運(yùn)用了高中的數(shù)學(xué)知識．

3 教學(xué)啟示

3.1 解題教學(xué)中求真，洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高思維能力

所謂解題教學(xué)的求真，就是指解題教學(xué)不僅僅是講題，要揭示問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正做到理解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)解題方法．

波利亞在《怎么解題》中提到解題四步驟：理解題目，首先要弄清問題，理解題目的未知條件和已知條件；擬定方案，找到已知條件和未知之間的聯(lián)系和橋梁；執(zhí)行方案；回顧[1]．而此問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是運(yùn)動變化過程中，用函數(shù)來刻畫各變量之間的關(guān)系．本題中線段關(guān)系的最值問題可通過建立二次函數(shù)來刻畫，運(yùn)用代數(shù)方法來建立這個橋梁，一般是將題目中所有條件集中在一個圖形中，利用勾股定理、相似三角形和等積變形來建立二次函數(shù)，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象來求最值．而方法3采用“建系法”快速高效解題，這給了我們啟示：一些幾何問題通過建立平面直角坐標(biāo)系，采取函數(shù)或方程、不等式等求解，也是解題的常規(guī)路徑．教學(xué)中，要關(guān)注幾何直觀能力的培養(yǎng)，為數(shù)形結(jié)合方法靈活應(yīng)用打下心理基礎(chǔ)，構(gòu)建坐標(biāo)系，在數(shù)與形之間鋪路架橋，拓寬學(xué)生的解題視野，積累數(shù)學(xué)解題方法．學(xué)生思維能力的提高和核心素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的，在解題教學(xué)中不能就題論題，要揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過對數(shù)學(xué)知識和方法的深刻理解轉(zhuǎn)變思維方式和提高思維水平．

3.2 解題教學(xué)中求新，揭示數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

所謂解題教學(xué)中求新就是指教師的教學(xué)不局限于具體解題方法，僅用模型記憶法進(jìn)行解題教學(xué)，沒有對問題的深刻剖析，就難以揭示數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中的重大指導(dǎo)價值．

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本；數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識和能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分；數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中．解題教學(xué)中，一定要注意培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣．上面幾種解法充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，以及整體代換、消元、建立平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)方法．只有在教學(xué)中讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，才可以把所學(xué)知識融會貫通，在解題時運(yùn)用自如，才能創(chuàng)造性地解決問題．

3.3 解題教學(xué)中求變，注重變式融通，培養(yǎng)應(yīng)變能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)過程和教學(xué)的展開過程都應(yīng)當(dāng)考慮如何關(guān)注四基，體現(xiàn)四基”．要通過解題教學(xué)，把“四基”轉(zhuǎn)化為“四能”，通過問題變式和多樣化的教學(xué)手段，在培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性上下功夫，讓學(xué)生能活學(xué)活用．

從試題的答題結(jié)果來看，本題的得分率較低，其原因就在于試題的命制突破了學(xué)生固有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，平時教學(xué)中教師講解和練習(xí)比較多的問題是一條線段的最值、兩條線段和的最值及三條線段和的最值，而試題考查了平方和的最值，從式子的結(jié)構(gòu)變化考查考生應(yīng)變能力和靈活性．另外本題通過補(bǔ)形作輔助線（如圖2），其實(shí)是構(gòu)造一個內(nèi)含30度角的直角三角形，是非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，但并沒有要求學(xué)生作垂線和平行線，這也體現(xiàn)了中考題的命題思路，題在書外，根在書內(nèi)，樸實(shí)于外，靈動于內(nèi)，適度的變化考查學(xué)生思維的靈活性．命制完全避免模型化套路，注重通性解法，淡化特殊技巧，這樣源于教材的設(shè)計(jì)是在啟發(fā)我們廣大教師在平時的教學(xué)中，對書上的例題、操作、實(shí)驗(yàn)、探究要認(rèn)真研究，探索歸納其中的數(shù)學(xué)精髓．引領(lǐng)一種以書為本，返璞歸真的教學(xué)方向．

在本題解決過程中，勾股定理方法體現(xiàn)的是方程思想；不同的建系方法體現(xiàn)了解析幾何思想，展示了“以數(shù)釋形”的技巧；最后兩種解法體現(xiàn)了高階的思維方式，需要學(xué)生具備高深的數(shù)學(xué)底蘊(yùn)．所以教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生通過不同的注意指向和思維方式，嘗試分析問題并解決問題，不斷積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)思維能力，創(chuàng)造性地解決問題，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值的教學(xué)目標(biāo)．

參考文獻(xiàn)

[1]波利亞．怎樣解題[M] ．徐泓譯．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007

[2]中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022