劉二雄

摘?要：論述了高中數(shù)學(xué)解題中化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用意義，并結(jié)合具體解題案例，探究了高中數(shù)學(xué)解題中化歸轉(zhuǎn)化思想的巧妙運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)解題；化歸轉(zhuǎn)化思想

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0074-03

新時期的高中數(shù)學(xué)解題繼承了以數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)的理念.化歸轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)解題中不可替代的思想，貫穿了未知向已知轉(zhuǎn)化、多元向一元轉(zhuǎn)化、數(shù)字與圖形的轉(zhuǎn)化過程.將化歸轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題中，可以促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題效果的優(yōu)化.因此，探索高中數(shù)學(xué)解題中化歸轉(zhuǎn)化思想的巧妙運(yùn)用具有非常重要的意義.

1 高中數(shù)學(xué)解題中化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用意義

1.1 全面滲透數(shù)學(xué)思想方法

化歸轉(zhuǎn)化思想是以獲得原問題的答案為目標(biāo)，借助特定轉(zhuǎn)化手段，將待解決問題歸結(jié)為另外一個解決難度較小或者已解決的問題.化歸轉(zhuǎn)化思想是眾多數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)領(lǐng)，包括數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、構(gòu)造法、反證法、分類討論思想等.化歸轉(zhuǎn)化思想不僅僅具有普遍指導(dǎo)意義，而且可以統(tǒng)籌多數(shù)數(shù)學(xué)研究策略，如高次向低次、運(yùn)算向逆運(yùn)算、空間向平面、無限向有限等.

1.2 促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)生成

化歸轉(zhuǎn)化思想貫穿了高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)全程，體現(xiàn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)等.具體到高中數(shù)學(xué)解題中，圖形變換、參數(shù)方程與普通方程變換、坐標(biāo)變換、復(fù)數(shù)表達(dá)形式變換等均是邏輯推理、演繹運(yùn)算的過程.

2 高中數(shù)學(xué)解題中化歸轉(zhuǎn)化思想的巧妙運(yùn)用

2.1有機(jī)整合數(shù)學(xué)模型與化歸轉(zhuǎn)化思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的“學(xué)科核心素養(yǎng)”中明確提出：“培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，確保學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題”.基于此，教師可以從化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用視角著手，有機(jī)整合數(shù)學(xué)模型與化歸轉(zhuǎn)化思想，促使學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)和提出問題”“建立和求解模型”“檢驗(yàn)和完善模型”“分析和解決模型”幾個過程.在上述過程中，學(xué)生可以正確認(rèn)識基本數(shù)學(xué)模型中的化歸轉(zhuǎn)化思想，并在發(fā)展化歸能力的基礎(chǔ)上，生成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)[1].

例1?求函數(shù)y=x+1x+2的值域.

解析?函數(shù)y=x+1x+2的反函數(shù)為x=1-2yy-1，x=1-2yy-1的定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x+1x+2的值域?yàn)閥|y≠1，y∈R.

例2?求函數(shù)y=-x2+x+2的值域.

解析?由-x2+x+2≥0，知y=-x2+x+2的定義域?yàn)閤∈[-1，2].

此時，-x2+x+2=-（x-12）2+94∈［0，94］.

所以0≤-x2+x+2≤32.

所以函數(shù)y=-x2+x+2的值域?yàn)椋?，32］.

2.2 關(guān)聯(lián)邏輯推理與化歸轉(zhuǎn)化思想

邏輯推理是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的有效方式，更是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要體現(xiàn).為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)問題作為有機(jī)體的特點(diǎn)，圍繞數(shù)學(xué)問題各部分之間的相互聯(lián)系、相互滲透、相互依存，引導(dǎo)學(xué)生緊扣問題已知條件和未知條件的聯(lián)系，對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建縱向與橫向交錯的題目推導(dǎo)解析網(wǎng)絡(luò)[2].

在邏輯推理過程中，明確轉(zhuǎn)化的一般原理是前提，掌握基本的化歸轉(zhuǎn)化思想和方法是關(guān)鍵.因此，教師應(yīng)有意引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察問題條件、圖象特征、求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式，搭建“條件—結(jié)論”的橋梁，探明數(shù)學(xué)問題邏輯及分析思路.在實(shí)踐中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生緊盯化歸要素，聚焦化歸對象、化歸目標(biāo)、化歸策略三個基本模塊，確保化歸轉(zhuǎn)化思想與問題解決邏輯、推理過程的有效聯(lián)系.

例3?已知點(diǎn)M（4，4），圓C：（x-p）2+y2=5（p＜3）與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E：x2a2+y2b2=1有一個公共點(diǎn)J（3，1），F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓右焦點(diǎn)，直線MF1與圓C相切，求橢圓方程.

解析?因?yàn)镴（3，1）在圓（x-p）2+y2=5（p＜3）上，所以（3-p）2+1=5（p＜3）.

所以p=1，圓的方程為（x-1）2+y2=5，圓心為（1，0），半徑為5.

設(shè)橢圓左焦點(diǎn)F1（-c，0），直線MF1的方程為y=44+c（x+c），因?yàn)橹本€MF1與圓相切，所以圓心C（1，0）到直線MF1的距離為半徑5，所以c=4.

又因?yàn)镴（3，1）在橢圓上，所以9a2+1b2=1.

又因?yàn)閍2+b2=c2，解得a2=18，b2=2.

所以橢圓方程為x218+y22=1.

2.3 挖掘化歸轉(zhuǎn)化思想中的科學(xué)精神

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》可知，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.領(lǐng)會數(shù)學(xué)科學(xué)精神是化歸轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的核心主旨.所以教師應(yīng)主動帶領(lǐng)學(xué)生挖掘化歸轉(zhuǎn)化思想中的科學(xué)精神，鼓勵學(xué)生根據(jù)已有知識反思、質(zhì)疑、求實(shí)，進(jìn)一步加深理解概念、鞏固基礎(chǔ)知識、生成數(shù)學(xué)方法技能.隨后根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、個性心理發(fā)展的需要，教師可貫徹生本方針，鼓勵學(xué)生與同伴共同探索數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的合理性、必然性以及轉(zhuǎn)化過程中的科學(xué)精神.“一題多解”是化歸策略多樣性的具體體現(xiàn)，也是挖掘化歸轉(zhuǎn)化思想中的科學(xué)精神的有效方式.

例4?如圖1所示，在等腰RtABC中，AB=BC=2，點(diǎn)P滿足PA·PB=0，則PC的取值范圍是.

解法1?（向量法）

設(shè)∠PBC=θ，因?yàn)镻A·PB=0，所以PA⊥PB.

所以PB=ABcos（π2-θ）=2sinθ.

因?yàn)镻C=PB+BC，

所以

PC2=（PB+BC）2=4sin2θ-4sin2θ+4=-4sin2θ-2cos2θ+6=6-25sin（2θ+φ）.

因?yàn)棣取剩?，π），所以PC2∈［6-25，6+25］.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

解法2?（坐標(biāo)法）以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

圖2中，A（0，2），B（0，0），C（2，0）.

設(shè)點(diǎn)P（x，y），則PA=（-x，2-y），PB=（-x，-y）.

因?yàn)镻A·PB=0，所以x2+y2-2y=0.

化簡，得x2+（y-1）2=1.

所以點(diǎn)P在以點(diǎn)M（0，1）為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動.

因?yàn)镃M=（2-0）2+（0-1）2=5，

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

圖3?例4解法3圖

解法3?因?yàn)辄c(diǎn)P滿足PA·PB=0，所以點(diǎn)P在以點(diǎn)AB中點(diǎn)M為圓心，半徑為1的圓上，如圖3.

由勾股定理，得CM=12+22=5.

所以PCmin=5-1，PCmax=5+1.

故PC的取值范圍是［5-1，5+1］.

因?yàn)椤螦PB=90°，所以點(diǎn)P到AB中點(diǎn)M的距離為12AB，當(dāng)點(diǎn)P與A，B重合時也滿足，所以由圓的定義也可以得出點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心，半徑為1的圓上.

2.4 梳理化歸中的運(yùn)算邏輯

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本組成部分，強(qiáng)調(diào)學(xué)生理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路.而化歸中的運(yùn)算涵蓋了等價化歸運(yùn)算、非等價化歸運(yùn)算.等價化歸運(yùn)算強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化期間前因、后果均是充分且必要的，即：轉(zhuǎn)化后結(jié)果為原問題結(jié)果；非等價化歸運(yùn)算則是轉(zhuǎn)化期間前因、后果其一非充分.

例5?一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0），其中△=b2-4ac，x1，x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，且x1＜x2.求ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集.

解析?在a＞0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，若△＞0，解集為{x|x＞x2或x＜x1}，若△=0，解集為{x|x∈R且x≠-b2b}，若△＜0，解集為R.

當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，若△＞0，解集為{x|x1＜x＜x2}，若△≤0，解集為.

3 結(jié)束語

化歸轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)解題中不可或缺的思想，將化歸轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)解題中，可以全面滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成.因此，教師應(yīng)借助數(shù)學(xué)解題契機(jī)，巧妙探索化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用途徑，充分利用化歸轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生生成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］

穆聰敏，張玲梅.化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2022（38）：42-44.

[2] 王震.結(jié)構(gòu)化視域下高中數(shù)學(xué)問題解決與創(chuàng)新能力培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報，2023，62（05）：7-11，41.

［責(zé)任編輯：李?璟］