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        以退為進(jìn) 探尋入口

        2024-06-25 09:27:09邵延會(huì)
        關(guān)鍵詞:解題策略高中數(shù)學(xué)

        邵延會(huì)

        [摘 要]“以退為進(jìn)”是數(shù)學(xué)解題的一種策略。通過(guò) “退”,往往可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),快速找到解決問(wèn)題的入口,進(jìn)而達(dá)到“進(jìn)”的目的。

        [關(guān)鍵詞]以退為進(jìn);高中數(shù)學(xué);解題策略

        [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2024)08-0012-03

        華羅庚曾言:“善于‘退,足夠的‘退,退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去?!边@就是“以退為進(jìn)”思想。以退為進(jìn),是數(shù)學(xué)解題的一種策略。通過(guò)“退”,可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),快速找到解題突破口。

        一、從一般退到特殊,從特殊處探尋解題入口

        特殊寓于一般之中。對(duì)于一般性問(wèn)題,我們可以嘗試給它賦予特殊的情形。在“特殊”處探尋解題入口,會(huì)使問(wèn)題的解決變得直接與簡(jiǎn)單,從而取得事半功倍的解題效果。

        [例1]已知[n∈N?],集合[An=(x,y)x-1n+2y-2n<1,x,y∈R],記[A=n=1∞An],則集合[A]中的點(diǎn)組成圖形的面積為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

        解析:若[(x,y)∈A1],則[x-1+2y-2<1],從而[x-1∈0,1],[2y-2∈0,1],所以[x-1n+2y-2n≤x-1+2y-2<1(n∈N*)],即得[(x,y)∈An],故有[A=n=1∞An=A1]。又[A1]中的點(diǎn)組成圖形為如圖1所示的菱形,其中[C(2,1)],[D1,32],[E(0,1)],[B1,12],該菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)[M(1,1)],故菱形的面積為[12×2×1=1],所以集合[A]中的點(diǎn)組成圖形的面積為1。

        點(diǎn)評(píng):本題先由特殊情形可得[x-1∈0,1],[2y-2∈0,1],結(jié)合不等式的性質(zhì)可得結(jié)論“若[(x,y)∈A1],[(x,y)∈An]”,從而可求得圖形的面積??梢?jiàn),特殊化能凸顯問(wèn)題的本質(zhì)。

        二、從抽象退到具體,從具體處探尋解題入口

        抽象問(wèn)題具體化,往往能讓我們從具體問(wèn)題中窺見(jiàn)解題途徑,從而實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題具體化。

        [例2]已知函數(shù)[f(x)]的定義域?yàn)閇R],值域?yàn)椋?,+∞),[f12=2],[?x],[y∈R],都有[f(x-y)f(x+y)=f2(x)],函數(shù)[g(x)=f(x)+f(-x)]的最小值為2,則[k=16fk2=]? ? ? ? ? ? ?。

        解析:依題意,[f(x)>0], [f(-x)>0],函數(shù)[g(x)=f(x)+f(-x)]的最小值為2,即[f(x)+f(-x)≥2],令[x=0],則有[f(0)+f(-0)=2f(0)≥2],[f(0)≥1]①。由[f(x-y)f(x+y)=f2(x)],令[x=0],[y=x]得[f2(0)=f(-x)·f(x)≤f(-x)+f(x)22],當(dāng)且僅當(dāng)[f(x)=f(-x)],即[f(x)]為偶函數(shù)時(shí)等號(hào)成立,而[f(-x)+f(x)2≥1],[f(-x)+f(x)22≥1],所以[f2(0)≤1],[-1≤f(0)≤1]②,由①②得[f(0)=1]。由[f(x-y)f(x+y)=f2(x)],[f(x-y)>0],得[f(x+y)=f2(x)f(x-y)],令[y=x]得[f(0)·f(2x)=f2(x)],即[f(2x)=f2(x)],所以[f(1)=f2×12=f212=22=4],[f32=f1+12=f2(1)f1-12=f2(1)f12=162=8],[f(2)=f(2×1)=f2(1)=42=16],[f52=f32+1=f232f32-1=f232f12=642=32],[f(3)=f(2+1)=f2(2)f(2-1)=f2(2)f(1)=2564=64],所以[k=16fk2=2+4+8+16+32+64=126]。

        點(diǎn)評(píng):本題主要考查抽象函數(shù)求函數(shù)值,通過(guò)賦值將抽象問(wèn)題具體化。

        三、從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單,從簡(jiǎn)單探尋解題入口

        化繁為簡(jiǎn)是數(shù)學(xué)解題的重要原則。當(dāng)遇到一些較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系時(shí),不妨去繁就簡(jiǎn),通過(guò)換元把復(fù)雜問(wèn)題退到簡(jiǎn)單問(wèn)題,牢牢把握住問(wèn)題的本質(zhì),然后求解。

        [例3]已知[x>0],[y>0],則[2xyx2+4y2+xyx2+y2]的最大值是? ? ? ? ? 。

        解析:[2xyx2+4y2+xyx2+y2=2xy+4yx+1xy+yx],

        設(shè)[t=xy(t>0)],

        原式[=2t+4t+1t+1t=2tt2+4+tt2+1=3(t3+2t)t4+5t2+4=3t+2tt2+5+4t2]。

        令[u=t+2t(t>0)],則[u≥22]。

        原式[=3uu2+1=3u+1u≤322+122=3942=223 ][函數(shù)y(x)=u+1u在22,+∞上單調(diào)遞增 ],故答案為[223]。

        點(diǎn)評(píng):本題屬于較為復(fù)雜的二元最值問(wèn)題,需通過(guò)兩次換元,第一次是設(shè)[t=xy(t>0)],第二次是設(shè)[u=t+2t(t>0)],最終把原問(wèn)題退化為基本的對(duì)勾函數(shù)問(wèn)題。換元時(shí)一定要注意新元的范圍。

        四、從三維空間退到二維平面,從二維平面處探尋解題入口

        求解立體幾何問(wèn)題最常用的策略就是將空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題,復(fù)雜立體幾何計(jì)算問(wèn)題一般可退到軸截面中解決,而立體幾何動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題一般可將立體圖形展成平面圖形進(jìn)而解決問(wèn)題。

        [例4]如圖2所示,在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中,[AC⊥BC],[AC=1],[AA1=2],[AB=3],點(diǎn)[E]、[F]分別是[AA1]、[AB]上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)[C1E+EF+FB1]的長(zhǎng)度最小時(shí),三棱錐[B1-C1EF]外接球球面上的點(diǎn)到平面[EFC1]的距離的最大值為? ? ? ? ? ?。

        解析:把平面[AA1C1C]沿[AA1]展開(kāi)到與平面[ABB1A1]共面的[AA1C′1C]的位置,延長(zhǎng)[B1B]到[B′1],使得[BB′1=B1B],連接[B′1F],如圖3所示,則[B1F=B′1F]。要使[C1E+EF+FB1]的長(zhǎng)度最小,則需[C′1]、[E]、[F]、[B′1]四點(diǎn)共線,此時(shí)[C1E+EF+FB1=C′1E+EF+FB′1=C′1B′1]。

        因?yàn)閇C′1B1=4],[B1B′1=4],[∠B′1B1C′1=90°],則[∠B′1=∠B′1C′1B=45°],所以[BF=BB′1=2],[A1E=A1C′1=1],則[AE=AF=1],[∠AFE=∠BFB1=45°],所以[∠B1FE=90°],在圖4中,△[FEB1]是以[EB1]為斜邊的直角三角形,因?yàn)閇C1E=2],[C1B1=22],[EB1=10],即[C1E2+C1B21=EB21],所以△[C1EB1]是以[EB1]為斜邊的直角三角形,所以三棱錐[B1-C1EF]的外接球球心為線段[EB1]的中點(diǎn),記為[O],球[O]的半徑[R=12B1E=102],設(shè)△[C1EF]的外接圓半徑為[r],[C1E=2],[EF=2],[FC1=433]。

        因?yàn)閇cos∠C1EF=C1E2+EF2-C1F22C1E·EF=-13],所以[sin∠C1EF=223],所以[2r=C1Fsin∠C1EF=6],即[r=62]。

        設(shè)球心[O]到平面[EFC1]的距離為[h],則[r2+h2=R2],即[h=R2-r2=1],則球面上的點(diǎn)到平面[EFC1]的距離的最大值為[1+102]。

        點(diǎn)評(píng):本題借助側(cè)面展開(kāi)圖分析得到[C1E+EF+FB1]的長(zhǎng)度最小時(shí),[E]為[AA1]的中點(diǎn),[AF=1]。通過(guò)長(zhǎng)度可知△[FEB1]、△[C1EB1]均是以[EB1]為斜邊的直角三角形,所以三棱錐[B1-C1EF]的外接球球心為線段[EB1]的中點(diǎn),三棱錐[B1-C1EF]的外接球球面上的點(diǎn)到平面[EFC1]的距離的最大值為球心到平面[EFC1]的距離與球的半徑之和。

        五、從正面退到反面,從反面處探尋解題入口

        有些數(shù)學(xué)問(wèn)題若從正面入手分析、求解,可能很復(fù)雜,或者無(wú)從下手,這時(shí)我們應(yīng)遵循“正難則反”原則,從正面退到反面,從反面處探尋解題入口。

        [例5](1)若集合[M?1,2,3,4,5,6,7],且[M]中至少含有兩個(gè)奇數(shù),則滿足條件的集合[M]的個(gè)數(shù)是? ? ? ? ? ? ? 。

        (2)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),箱子里有10個(gè)大小一樣的小球,其中紅色的5個(gè),黃色的3個(gè),藍(lán)色的2個(gè),現(xiàn)從中任意取出3個(gè),則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為? ? ? ? ? ? ? 。

        解析:(1)考慮反面的兩種情況:若[M]中不含有奇數(shù),則集合[M]的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合[2,4,6]的子集的個(gè)數(shù),即[23=8];若[M]中只含有一個(gè)奇數(shù),則有4種可能,集合[M]的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合[2,4,6]的子集的個(gè)數(shù)的4倍,即[23×4=32]。不考慮奇數(shù)條件時(shí)集合[M]共有[27-1=127]個(gè),故符合條件的集合共有[127-8-32=87]個(gè)。

        (2)由題意知,取出的3個(gè)小球?yàn)橥环N顏色的有[C35+C33=11]種取法,10個(gè)大小一樣的小球任取3個(gè)球有[C310=120]種取法,所以至少含有兩種不同顏色的小球的概率為[1-11120=109120]。

        點(diǎn)評(píng):本題第(1)問(wèn)先考慮反面的兩種情況,即集合[M]中不含有奇數(shù)和只含有一個(gè)奇數(shù)時(shí)集合[M]的個(gè)數(shù),再求出不考慮奇數(shù)條件時(shí)集合[M]的個(gè)數(shù),相減即可得出答案。本題第(2)問(wèn)應(yīng)用組合數(shù)求取出3個(gè)為同一種顏色的取法、任取3個(gè)球的取法,應(yīng)用古典概型、對(duì)立事件概率求法求至少含有兩種不同顏色的小球的概率。當(dāng)計(jì)數(shù)或概率問(wèn)題中出現(xiàn)“至少”字眼時(shí),一般可從正面退到反面,從反面處探尋解題入口。

        六、從數(shù)退到形,從形上探尋解題入口

        當(dāng)某些復(fù)雜問(wèn)題無(wú)法從數(shù)量關(guān)系上去探尋解題思路時(shí),我們應(yīng)該關(guān)注其幾何意義,從數(shù)退到形,從形上探尋解題入口,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

        [例6]設(shè)[m]是實(shí)數(shù),已知集合[P=(x,y)(x+2)2+(y-3)2≤4],集合[Q=(x,y)(x+1)2+(y-m)2<14],且[P?Q=Q],則[m]的取值范圍是? ? ? ? ? ?。

        解析:點(diǎn)集[P]表示平面上以 [O1(-2,3)] 為圓心, 2 為半徑的圓所圍成的區(qū)域(包括圓周);點(diǎn)集[Q]表示平面上以 [O2(-1,m)] 為圓心, [12] 為半徑的圓的內(nèi)部。要使 [P?Q=Q],應(yīng)使[⊙O2]內(nèi)含或內(nèi)切于[⊙O1]。故有 [O1O22≤(R1-R2)2], 即[(-1+2)2+(m-3)2≤2-122],解得[3-52≤m≤3+52]。

        點(diǎn)評(píng):本題根據(jù)題意, 分析可得[P]與[Q]表示的平面區(qū)域, 又有 [P?Q=Q], 即可得兩個(gè)區(qū)域的包含關(guān)系, 將集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,即可得到答案。本題考查交集的運(yùn)算, 但因涉及圓以及幾何區(qū)域, 難度較大, 要求學(xué)生熟悉用集合語(yǔ)言表述幾何問(wèn)題, 從數(shù)退到形,利用數(shù)形結(jié)合方法解題。

        七、從方程退到函數(shù),從函數(shù)上探尋解題入口

        函數(shù)與方程是一對(duì)“孿生兄弟”,當(dāng)題目中出現(xiàn)復(fù)雜的方程時(shí),我們不妨利用同構(gòu)思想,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),把方程退到函數(shù),從函數(shù)的性質(zhì)中探尋解題入口。

        [例7]已知實(shí)數(shù)[x],[y]滿足[ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023)],則[ex+y+2024]的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

        解析:[ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023)],有[ex+x=e2023y+2023+2023-ln(y+2023)],得[ex+lnex=e2023y+2023+lne2023-ln(y+2023)=e2023y+2023+lne2023y+2023],函數(shù)[f(x)=x+lnx]在(0,+∞)上單調(diào)遞增, [f(ex)=fe2023y+2023],所以[ex=e2023y+2023],則[ex+y+2024=e2023y+2023+(y+2023)+1≥2e2023y+2023·(y+2023)+1=2e2023+1],當(dāng)且僅當(dāng)[e2023y+2023=(y+2023)],即[y=e2023-2023]時(shí)等號(hào)成立,所以[ex+y+2024]的最小值是[2e2023+1]。

        點(diǎn)評(píng):本題把[ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023)]變形為[ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023],通過(guò)構(gòu)造函數(shù)[f(x)=x+lnx],從而實(shí)現(xiàn)了方程向函數(shù)的轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)單調(diào)性得到[ex=e2023y+2023]是解題關(guān)鍵。

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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