曾鳳英

“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”是人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第一單元的內(nèi)容，屬于代數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容。這部分需要用到前期所學(xué)的“一個(gè)數(shù)乘幾分之幾，表示的是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這一知識(shí)點(diǎn)，從這個(gè)角度來理解分?jǐn)?shù)算理也比較抽象，所以教師需引導(dǎo)學(xué)生借助情境直觀來理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算法。

一、教法研究

很多學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”內(nèi)容的理解處于淺表化狀態(tài)。因?yàn)樾W(xué)階段學(xué)生的思維以具象為主，核心素養(yǎng)的表現(xiàn)側(cè)重于意識(shí)，即基于經(jīng)驗(yàn)的感悟。如果沒有具體情境體驗(yàn)就不會(huì)有真正的數(shù)學(xué)眼光，為此“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”部分的教法研究著眼于以下幾方面：第一，構(gòu)建情境模型，發(fā)展學(xué)生的算理探究意識(shí)，將數(shù)形結(jié)合與邏輯推理有機(jī)關(guān)聯(lián)在一起，先讓學(xué)生探索用整數(shù)來計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，接著將問題案例中的整數(shù)替換為分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步思考遇到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的問題。第二，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐，如通過折紙、拼貼、裁剪等多個(gè)渠道來驗(yàn)證算理，進(jìn)一步讓學(xué)生歸納出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”計(jì)算的通用公式。第三，提高學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”運(yùn)算法則的應(yīng)用意識(shí)，即結(jié)合具體問題，讓學(xué)生探索如何根據(jù)問題情境來構(gòu)建模型，列出算式，探究算理，最后對(duì)結(jié)果的真實(shí)性進(jìn)行驗(yàn)證。

二、課例呈現(xiàn)

▲第一環(huán)節(jié)：課前預(yù)熱，溫故知新

1.看圖說分?jǐn)?shù)

教師通過大屏幕上出示圖片（見圖1），讓學(xué)生說一說圖中陰影部分應(yīng)該用分?jǐn)?shù)怎樣來表示。

（設(shè)計(jì)意圖：“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”與前面學(xué)生所學(xué)的“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”密切相關(guān)，所以教學(xué)中教師可先通過舊知識(shí)導(dǎo)入，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)做好有效鋪墊。）

2.按照要求畫分?jǐn)?shù)

用你喜歡的顏色涂一涂（見圖2）。

（設(shè)計(jì)意圖：通過圖畫的方式，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，為下一步學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理奠定基礎(chǔ)。）

3.結(jié)合問題用分?jǐn)?shù)

有一塊100平方米的地，李伯伯將這塊地的9/10用來種土豆，1/10用來種玉米，李伯伯種土豆的面積是多少？種玉米的面積是多少？

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合土豆、玉米面積的計(jì)算，鞏固“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的算法，綜合對(duì)乘法的意義、分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行回顧。）

歸納：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾可以用該數(shù)乘以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)來計(jì)算。整數(shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，整數(shù)與分子去相乘，分母不變，能約分的要先約分。

▲第二環(huán)節(jié)：導(dǎo)出新知，算理探究

結(jié)合前面的例題，稍作變動(dòng)就可以引出一個(gè)新問題：

李伯伯家有1/2公頃土地，他想用這塊地的9/10來種植土豆，再用其中1/10來種植玉米，請(qǐng)問李伯伯種植土豆的面積是多少公頃？種植玉米的面積是多少公頃？

通過對(duì)題意的分析，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)新問題與前面的問題一脈相承，原來的土地面積為100平方米，到了新問題中，變成1/2公頃，而土豆和玉米種植所占比例完全不變，所以學(xué)生很容易就能列出算式，接著就需要讓學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算法進(jìn)行探究。

明確了需要解決的問題后，教師可以啟發(fā)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)問題突破。有的學(xué)生想到了把分?jǐn)?shù)變成小數(shù)：1/2×9/10=0.5×0.9=0.45（公頃）

教師可以先肯定學(xué)生的想法，接著啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，該問題中碰到的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)，如果下次碰到1/2，3/7這類不能轉(zhuǎn)化成小數(shù)的分?jǐn)?shù)，又該如何計(jì)算？

這時(shí)，結(jié)合前面對(duì)分?jǐn)?shù)表示方法的回顧，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖的方式來呈現(xiàn)算式：1/2×9/10，學(xué)生通過畫格子，將一整張紙等分為100份，橫向選取其中5行，記作5/10，縱向選取其中9列，記作9/10，在兩者相交的格子部分涂上顏色，就是最后求出的結(jié)果，即45/100。

結(jié)合學(xué)生繪制的圖形，教師讓學(xué)生說一說，算式中每一個(gè)數(shù)在圖中分別代表哪些含義，結(jié)果中的100如何得來，橫向的10格和縱向10格分別代表了什么意思。學(xué)生結(jié)合自己對(duì)題目的理解指出，在這里將一個(gè)正方形平均分成了100份，橫向選取其中5行，代表了原題中的1/2?？v向選取5行中的9列，代表了已經(jīng)選中部分的9/10。也就是求這個(gè)數(shù)的9/10，即求這個(gè)圖形的9/10占多少格，經(jīng)過計(jì)算得出占45格。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)結(jié)合圖形的繪制，讓學(xué)生來說算理，從而可以發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算就是分子和分子相乘來做分子，分母和分母相乘來做分母，初步探索得出計(jì)算“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的方法。）

在畫圖的基礎(chǔ)上，還有學(xué)生探索出了用折紙的方法來呈現(xiàn)結(jié)果。學(xué)生取出一張小紙條，將其豎折等分為10份，選擇其中9份，接著將紙張橫向?qū)φ?，即兩等分，取其中一半，即為結(jié)果9/20。通過這樣的方式，學(xué)生也明白了把一個(gè)長(zhǎng)格平均分成10份，其中9份就是9/10公頃，再橫向?qū)φ圻x取其中1/2，得到的最后結(jié)果就是9/20公頃。學(xué)生這樣計(jì)算的過程，就相當(dāng)于把原來的1公頃平均分成10份，其中的9份就是9/10公頃，9/10公頃乘1/2，得到最后結(jié)果為9/20公頃，這樣的結(jié)果更加簡(jiǎn)潔明了。

而在這步探索的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一些新問題，45/100與9/20大小相等，但是不同的兩種表示方法，那么在最后結(jié)果呈現(xiàn)時(shí)，用哪個(gè)數(shù)據(jù)更恰當(dāng)？

這里就涉及分?jǐn)?shù)計(jì)算的另一個(gè)注意事項(xiàng)，就是能約分的先約分。在分?jǐn)?shù)計(jì)算過程中，如果只是單純的分子乘分子、分母乘分母，可能導(dǎo)致最后計(jì)算運(yùn)算量加大。針對(duì)這一問題，在計(jì)算的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生能約分的先約分，化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。這樣能提高計(jì)算準(zhǔn)確率，也能降低學(xué)生計(jì)算的難度。

▲第三環(huán)節(jié)：小組合作，知識(shí)遷移

借助案例，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法，學(xué)生掌握得并不扎實(shí)。教師可在大屏幕出示類似的練習(xí)，讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論分析。最后再讓各個(gè)小組呈現(xiàn)自己的計(jì)算結(jié)果，嘗試回顧探究過程，進(jìn)行算理解釋。通過反復(fù)練習(xí)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的意義有效理解并熟練掌握計(jì)算“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的正確方法。

在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)部討論分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算式如何用字母來表示，進(jìn)而得出結(jié)論。

▲第四環(huán)節(jié)：算法應(yīng)用，練習(xí)鞏固

小學(xué)數(shù)學(xué)要體現(xiàn)教學(xué)做合一育人，“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”部分學(xué)習(xí)完成后，教師也要讓學(xué)生及時(shí)練習(xí)，有效鞏固，完成教材中的習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的計(jì)算方法，準(zhǔn)確熟練地計(jì)算，并讓學(xué)生完成教材第6頁(yè)的第4、5題，說出列式的依據(jù)及自己的計(jì)算方法。

例題當(dāng)堂試練部分，教師要重點(diǎn)結(jié)合學(xué)生出錯(cuò)的問題進(jìn)行有效解析。先讓學(xué)生在小組內(nèi)部進(jìn)行討論，探索問題解答的正確方式，由班里掌握較好的學(xué)生對(duì)其他同學(xué)進(jìn)行指導(dǎo)，教師觀察學(xué)生的思維盲點(diǎn)，可引導(dǎo)學(xué)生有效互助。結(jié)合出錯(cuò)的問題，讓學(xué)生高效訂正，也能讓學(xué)生明白自己錯(cuò)在哪里，實(shí)現(xiàn)針對(duì)性提升。尤其是涉及約分的題目，有的學(xué)生會(huì)忽略分子、分母需同時(shí)約分，造成答案錯(cuò)誤。

教師還可以通過大屏幕為學(xué)生出示一些延伸例題，讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)新知識(shí)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過課后練習(xí)，做好及時(shí)鞏固，這是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果，促進(jìn)學(xué)生扎實(shí)掌握的有效步驟。后續(xù)補(bǔ)充練習(xí)中，加法和乘法同時(shí)出現(xiàn)是為了培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生梳理分析的有效方式。在新知識(shí)學(xué)習(xí)后，學(xué)生對(duì)前期所學(xué)知識(shí)容易遺忘。這種針對(duì)性練習(xí)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步回顧前期所學(xué)的通分方法，并有效區(qū)分分?jǐn)?shù)加法和分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算，讓學(xué)生扎實(shí)理解分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的多樣性，并為后續(xù)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)做好鋪墊。）

▲第五環(huán)節(jié)：思維延伸，巧學(xué)趣練

在完成教材內(nèi)容的前提下，教師還可以為學(xué)生出示一些判斷、填空、簡(jiǎn)答等問題，讓學(xué)生試著說一說，進(jìn)一步拓展學(xué)生學(xué)習(xí)視野，達(dá)成核心素養(yǎng)育人目標(biāo)。

1.判斷題

（1）一個(gè)數(shù)（零除外）乘真分?jǐn)?shù)積一定小于這個(gè)數(shù)。（? ）

（2）1米的1/2和5米的1/5一樣長(zhǎng)。（? ）

（3）1小時(shí)的1/2和半小時(shí)一樣長(zhǎng)。（? ）

2.填空題

（1）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，用（? ）相乘的積做（? ），用（? ）相乘的積做（? ）。

（2）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，能（? ）的先（? ），再計(jì)算會(huì)更簡(jiǎn)便。約分時(shí)，一般不在（? ）上約分，計(jì)算結(jié)果一般是（? ）。

3.延伸拓展題

我國(guó)古代著名哲學(xué)著作《莊子·天下》有云：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！蹦隳茉囍f一說這句話的意思嗎？能不能用今天所學(xué)的分?jǐn)?shù)的知識(shí)來解釋，其中蘊(yùn)含的哲理。

（設(shè)計(jì)意圖：思維延伸部分是在教材教學(xué)基礎(chǔ)上融合核心素養(yǎng)理念所提煉的一些綜合性問題，其中既涉及了算理的理解，還涉及多元綜合知識(shí)，如長(zhǎng)度的比較、時(shí)間的計(jì)算，這些與前期學(xué)生所學(xué)知識(shí)緊密關(guān)聯(lián)，同時(shí)也涉及分?jǐn)?shù)的計(jì)算。最后的延伸閱讀涉及了傳統(tǒng)文化中與分?jǐn)?shù)相關(guān)的閱讀資料，其中蘊(yùn)含的哲理非常豐富。小學(xué)生了解這類內(nèi)容，能增強(qiáng)其文化自信，也能讓其初步理解極限的概念，為其中學(xué)階段的知識(shí)學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。）

三、教學(xué)反思

“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”是發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力、引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握正確算法、進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化處理的重要部分。為了讓學(xué)生掌握正確的計(jì)算方式，教師要引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)腦思考、動(dòng)手操作中深刻理解為什么這樣算，以對(duì)算法的意義理解，讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)運(yùn)算的性質(zhì)與規(guī)律，并結(jié)合前期所學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生結(jié)合已知推算未知，分析計(jì)算的方法，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)以致用。結(jié)合案例實(shí)踐，學(xué)生自然會(huì)思考“怎樣算”“怎樣好算”“為什么要這樣算”等一系列問題，這就從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算指向了算法掌握、算法優(yōu)化與算理理解，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維完善發(fā)展。

理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算理是基礎(chǔ)，結(jié)合算理讓學(xué)生進(jìn)行具體問題的計(jì)算，是提高學(xué)生問題解決意識(shí)的有效方式。為了實(shí)現(xiàn)從算理理解到算法應(yīng)用，教師結(jié)合各類問題讓學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生積極嘗試。

在課程的延伸總結(jié)階段，教師進(jìn)一步與學(xué)生一起回顧算理，展示一些直觀可視的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生進(jìn)行邏輯分析，深刻理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)就是分子相乘做分子，分母相乘做分母，能約分的先約分。在學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理有所感悟后，教師再進(jìn)一步延伸加法與乘法的對(duì)比算式，將分?jǐn)?shù)運(yùn)算運(yùn)用在具體實(shí)踐中，有助于學(xué)生今后的綜合能力發(fā)展。

（作者單位：福建省漳州市龍海區(qū)浮宮鎮(zhèn)下威小學(xué)）

編輯：張俐麗