朱海燕

摘要：全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是幾何入門的關(guān)鍵.構(gòu)造全等是新課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生掌握全等三角形提出的最高要求.構(gòu)造全等的方法很多，如平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，但學(xué)生不易理解難以掌握.剪拼構(gòu)造法門檻低，易操作，學(xué)生能理解，愿探究.剪拼構(gòu)造法的探究與應(yīng)用有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開拓學(xué)生的思路，促進(jìn)其思維能力的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：剪拼；構(gòu)造法；全等三角形；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0044-03

三角形是初中幾何中最基本的圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)是解決幾何問題的重要工具.本文以具體的幾何問題為例，說明剪拼構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，以此培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力.

1 題目呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點，延長BF交AC于點E，AE=EF，求證：BF=AC.

學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗會想到倍長中線，如圖2和圖3所示.倍長中線法的本質(zhì)是構(gòu)造全等三角形，再結(jié)合生成的等腰三角形，通過等量代換證明結(jié)論.

2 嘗試剪拼構(gòu)造

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了全等三角形的定義，即能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.若將圖2中的△BDF剪下來，會與△CDG重合.利用逆向思考方法，可以將圖2看成是將△BDF剪拼至△CDG后生成的構(gòu)造圖.類似地，圖3可以看成是將△ACD剪拼至△GBD構(gòu)造得到.由此可以看出，可以嘗試?yán)眉羝捶?gòu)造全等三角形［1］.

下面嘗試對△BDF進(jìn)行剪拼.剪雖易，拼卻不易，拼到哪里去？怎么拼？再次觀察圖2，發(fā)現(xiàn)可以看成是以BD=CD為條件進(jìn)行剪拼的.

2.1 以BD=DC為條件進(jìn)行剪拼

如圖4，將△BDF剪拼至△DCG，易發(fā)現(xiàn)CG∥AD，△AOD與△COG都是等腰三角形.故添加輔助線后可進(jìn)行如下推理：過點C作CG∥AD，且CG=DF，連接DG.易得△BDF≌△DCG，所以∠BFD=∠G.因為AE=EF，CG∥AD，所以∠DAO=∠ADO=∠G=∠ACG，所以△AOD與△COG都是等腰三角形，所以O(shè)G=OC，OA=OD，所以AC=DG=BF.

如圖5，將△BDF剪拼至△CDG，此法即為圖2中的倍長中線構(gòu)造法.

2.2 以DF=DF為條件進(jìn)行剪拼

如圖6，將△BDF剪拼至△GDF，生成了等腰三角形BFG和平行四邊形AFGC.由此可進(jìn)行如下推理：過點F作∠DFG=∠BFD，且使FG=BF，則△BFG為等腰三角形.由等腰三角形性質(zhì)可得BH=GH.又因為BD=CD，所以DH是△BGC的中位線，所以DH∥GC .又易證AC∥FG，所以四邊形ACGF是平行四邊形，所以AC=FG=FB.

如圖7，將△BDF剪拼至△GFD，生成平行四邊形BDGF、等腰△AOD及等腰△COG，圖形結(jié)構(gòu)與圖4相同，證法類似，不再贅述.

2.3 以BF=AC為條件進(jìn)行剪拼

如圖8，將△BDF剪拼至△CGA，生成等腰△DCG.故添加適當(dāng)?shù)妮o助線后可得如下推理：過點C作CG=CD，交AD于點G，則∠FDC=∠DGC.又因為∠FAE=∠BFD，所以∠ACG=∠FBD.因為BD=CD，CD=CG，所以CG=BD，故可證△BDF≌△CGA，所以BF=AC.

如圖9，將△BDF剪拼至△AGC，生成等腰梯形ADCG.證明過程從略，請讀者自行探究.

如圖10，將△BDF剪拼至△CGA，生成A、D、C、G四點共圓的結(jié)構(gòu).推理過程如下：過點C作射線CG使∠ACG=∠FBD.過點A作射線AG使∠CAG=∠DAC，交于點G.通過計算法可證得∠DAG+∠DCG=180°，則點A、D、C、G四點共圓.由∠CAG=∠DAC，可得DC=CG，所以CG=BD.故△CGA≌△BDF，所以AC=BF.

由此可以看出，剪拼△BDF可以拼出7種圖形，即有7種全等三角形構(gòu)造法.這種剪拼方法可否應(yīng)用于剪拼其他三角形？剪拼法能否作為全等三角形構(gòu)造法的通法呢？為此，需對此法進(jìn)行驗證.

3 驗證剪拼構(gòu)造法

3.1 剪拼△ADC，驗證構(gòu)造法

3.1.1 以BF=AC為條件進(jìn)行剪拼

將剪下來的△ADC的邊AC疊合到BF，可拼出圖11、圖12兩種構(gòu)圖，其中圖11生成等腰△BDG，圖12生成等腰梯形BDFG.整理思路，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，推理驗證易知這種構(gòu)造法成立.

3.1.2 以BD=CD為條件進(jìn)行剪拼

將剪下來的△ADC的邊CD疊合到BD，可拼出圖13～圖15三種構(gòu)圖，其中圖13生成等腰△BGF，圖14生成兩個等腰三角形，即△BOG和△DOF.圖15生成B、D、F、G四點共圓的特殊結(jié)構(gòu).整理思路，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，推理驗證易知這種構(gòu)造法成立.

3.2 剪拼△ABF，驗證構(gòu)造法

將剪下來的△ABF的邊AF疊合到AF可拼出圖16，其結(jié)構(gòu)與圖6相同，證法類似，故構(gòu)法成立.

3.3 構(gòu)造直角三角形，再剪拼

除了剪拼已有三角形外，也可先構(gòu)造直角三角形再剪拼.過點C作CG⊥AD，構(gòu)造出Rt△ACG，再將它以AC=BF為條件進(jìn)行剪拼得圖17.所構(gòu)圖中，易證△BDH≌△CDG，得BH=CG，于是可證△ACG≌△FBH.故構(gòu)法成立.

由此可見，剪拼構(gòu)造法可以作為構(gòu)造全等三角形的通性通法，它可以為解題助一臂之力.

4 方法歸納

4.1 剪拼構(gòu)造法的解題步驟

剪拼構(gòu)造法的解題步驟是：將待證線段或角所在的三角形剪下；在原圖中找出與所剪三角形的邊或角相等的基本元素；以線段的相等或角的相等為基本條件進(jìn)行疊合拼圖；觀察所拼圖形是否生成特殊結(jié)構(gòu)，以此作為構(gòu)法成立的基本依據(jù)；整理思路，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，然后進(jìn)行推理論證［2］.

4.2 剪拼構(gòu)造法的經(jīng)驗總結(jié)

（1）不同的剪拼可以得到不同的拼圖.通過大量的剪拼試驗，筆者發(fā)現(xiàn)有效構(gòu)圖具備以下幾個特點：①拼圖后生成新的特殊結(jié)構(gòu)，如等腰三角形、等腰梯形、平行四邊形、全等三角形、四點共圓等；②拼圖后能將分散的條件聚攏集中.

（2）剪拼構(gòu)造法的提煉經(jīng)歷了“觀察想象——嘗試構(gòu)造——構(gòu)法驗證——方法歸納”的探究路徑，這可以成為解題方法探究的基本模式.

5 結(jié)束語

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行各種各樣的實踐活動，增加初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.實踐性的課堂教學(xué)不僅能促進(jìn)學(xué)生對已學(xué)知識的深度理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 邱瀾.拼圖法讓輔助線自然生成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2020（9）：21-23.

[2] 趙常輝.巧用構(gòu)造法解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2020（5）：31-33.

[3] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［責(zé)任編輯：李璟］