傅鵬

摘要：專題教學是一種以主題為中心、以問題為導向的教學方法，其目的是通過對某一主題的全面深入學習，提高學生的學習興趣和學習效果.在專題教學中，解題回顧是一個重要的環(huán)節(jié)，它有助于學生鞏固所學知識、發(fā)現并糾正錯誤、加深對解題思路和方法的理解.本文以八年級幾何教學為例，探索專題教學中解題回顧的實踐方法和效果.

關鍵詞：專題教學；解題回顧；實踐探索；幾何教學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0011-03

專題教學是一種針對特定主題進行深入學習的教學方法，與傳統的零散知識點教學相比，它能夠幫助學生建立知識的整體框架，提高學生的學習興趣和主動參與度[1].目前，很多教師認為專題教學就是讓學生多練習題、多接觸不同的題型，因此現有的專題教學主要以題海戰(zhàn)術為主.但在這種模式下，學生只能機械化解題，“見樹木而不見森林”，不利于學生解題能力的提升.

1 解題回顧的含義

波利亞在他的著作《怎樣解題》中將解題過程分為四個階段：理解問題意思、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧.其中回顧意為檢查完整的答案，重新審查結果及得出該結果的過程.解題回顧是解題過程中的重要環(huán)節(jié)，它是解題活動中的“元認知”.通過解題回顧，不僅可以發(fā)現解題活動中的問題，還可以弄清數學問題的深層結構和數學思想方法.解題回顧的目的是幫助學生深入理解解題過程，發(fā)現解題中的錯誤和不足之處，并從中獲取反饋和改進的機會.通過回顧，學生可以審查自己的解題思路和方法是否正確，是否符合問題的要求，是否運用了適當的數學知識和技巧.解題回顧是培養(yǎng)學生批判性思維和自主學習能力的重要環(huán)節(jié).通過反思和總結，學生可以不斷提高自己的解題能力和數學思維水平.

在幾何模塊，按照圖形的結構特征，可以分為不同的幾何模型.學生在平時的解題過程中，主要存在著以下幾個問題：一是無法精準識別幾何模型，即混淆不同的圖形，無法正確識別和分類不同的幾何模型；二是對模型的基本結論不夠熟悉，即缺乏對幾何模型基本結論的了解；三是對模型的處理方法不熟悉，即學生不知道如何構造和操作幾何圖形，對不同幾何模型的處理方法不熟悉；四是對特定模型的解題方法只知其然而不知其所以然，即學生只知道特定模型的解題方法，但缺乏對其背后原理和推理過程的理解.

2 教學實踐

2.1 一題多變，融會貫通

一題多變中的“變”，意為“變式”，是指在某一特定的數學定理、模型或規(guī)律的基礎上，通過改變條件、參數或數學情境，衍生出多個新的題目或問題形式.無論題目如何變化，都需要去掉題目的表面修飾，緊抓本質.通過一題多變的方式，可以深入挖掘知識的內涵和外延，幫助學生理解和掌握知識.

例1如圖1所示，∠DAE的兩邊上各有一點B、C，連接BC，求證：∠DBC+∠ECB=180°+∠A.

解析因為∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，所以∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又因為∠A+∠ACB+∠ACB=180°，所以∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.

點評本題主要考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，以及三角形內角和等于180°是解題的關鍵.

變式1如圖2所示，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（）

A. 180°B.215° C. 235°D. 245°

解析因為∠A=65°，所以∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，所以∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故答案為D.

點評本題主要考查三角形的內角和定理，與圖1相比，圖2略微復雜，但考查的知識點不變.

變式2如圖3所示，在△ABC中，∠C=70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）

A. 360° B. 250°C. 180° D. 140°

解析在△ABC中，因為∠C=70°，所以∠A+∠B=180°-∠C =110°，所以∠1+∠2=360°-110°=250°，故選B.

點評本題由三角形的內角和定理延伸到多邊形的內角和定理.一方面，可利用三角形內角和定理求出∠A+∠B=110°；另一方面，可考慮利用四邊形的內角和為360°求解.與變式1相比，本題難度更進一步.

變式3圖4是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度數為.

解析如圖4，因為∠1+∠4=180°，∠1=120°，所以∠4=60°.因為∠3=∠2+∠4，所以∠3-∠2=∠4=60°.

點評本題結合實際生活情境，主要考查三角形外角的性質、平角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

變式4如圖5所示，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點E，則∠AEC=．

解析利用三角形內角和定理及角平分線的性質易得∠AEC=60°，求解過程從略.

在數學教學中，引導學生通過探索問題的變式，可以幫助學生更深入地理解數學概念和原理.例如，通過將問題的條件稍作修改，或者將問題中的一些數值進行調整，可以引導學生思考問題的本質和關鍵點.這種探索過程不僅可以幫助學生理解數學概念的內涵，還可以培養(yǎng)學生問題解決能力和創(chuàng)新思維.另外，數學中存在許多關聯性知識，通過探索這些相關問題，也可以幫助學生加深對數學知識的理解.

2.2 一題多解，開闊思路

一題多解是指在解決一個問題時，存在多種不同的解決方法或策略.在數學的專題教學中，一題多解可以幫助學生從不同的角度去思考和解決問題，拓寬他們的思維方式和解題思路.不同的解法可以啟發(fā)學生發(fā)現問題的多個解決路徑，激發(fā)他們的創(chuàng)造力和想象力.通過比較多個解法，學生可以更深入地理解問題的本質和要求.

例2如圖6所示，四邊形ABCD是正方形，點M是AD邊上不同于A、D的點，點N是CD的中點.若sin∠ABM=1010，求證：∠NMB=∠MBC.

證法1（構造三角形）如圖7，MN的延長線交BC的延長線于點P.設AM=1，因為sin∠ABM=1010，所以AMBM=1010，則BM=10，所以AB=BM2-AM2=3.因為四邊形ABCD是正方形，所以DM=AD-AM=2.因為N為DC的中點，所以DN=CN=12DC=32.在Rt△DMN中，MN=MD2+DN2=52.又因為∠MDN=∠NCP=90°，∠MND=∠PNC，所以△MDN≌△ECN，所以CP=DM=2，NP=MN=52，所以MP=MN+NP=5，BP=BC+CP=5，所以MP=BP，所以∠NMB=∠MBC.

證法2（構造梯形）如圖8，作NQ∥MB交BC于點Q.證明過程從略.

證法3（轉移角構造全等三角形）如圖9，作BH⊥MN于點H，連結BN.證明過程從略.

證法4（轉移角構造相似三角形）如圖10，連結BN，作EN⊥MB于點E.證明過程從略.

證法5示意圖證法5（作中位線轉移角）如圖11，作NF∥BC交MB于點F.證明過程從略.

在初中數學解題教學中，不要盲目追求解題數量，而應該注重解題質量.通過深入思考和精心解答一個問題，可以更好地掌握基礎知識和基本技能，提高學生的解題能力和思維深度.不同的解法，涉及不同的數學知識和思想方法.通過比較不同的解法，學生可以更深入地理解數學概念和原理，培養(yǎng)知識系統性和關聯性.這種比較和分析不同解法的過程有助于學生形成更全面的數學思維，同時提高學生的解題技巧.在深入解答一個問題的過程中，我們會發(fā)現其中的一些規(guī)律和特點，這有助于學生在解決類似問題時能夠更快地找到突破口和解題思路.在“一題多解”過程中，學生會不斷地重復和運用相關的數學知識，加深對知識點的記憶和理解，從而為更深層次的數學學習打下堅實的基礎.

3 結束語

在初中數學解題教學中，通過解題后的“回顧與反思”，可以將問題從具體的情境中抽象出來，進一步推廣引申.在推廣引申過程中，還可以發(fā)現不同數學問題之間的相似關系和相聯關系.通過比較不同問題的解題方法和思路，可以發(fā)現它們之間的共同之處，進而找到更一般性的解題方法或解題規(guī)律.

參考文獻：

［1］ 許彬.源點 節(jié)點 生長點：指向解題能力的專題復習課教學探析[J].中學數學教學參考，2023（2）：58-61.

［責任編輯：李璟］