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        例談導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的“聯(lián)姻”

        2024-05-16 08:40:36林國(guó)紅
        關(guān)鍵詞:單調(diào)性聯(lián)姻三角函數(shù)

        摘 要:文章通過實(shí)例,分類歸納導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的各類題型,以此促進(jìn)教與學(xué).

        關(guān)鍵詞:三角函數(shù);導(dǎo)數(shù);單調(diào)性;零點(diǎn)

        中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1008-0333(2024)04-0046-05

        新高考已經(jīng)不僅僅局限于基本知識(shí)和基本技能的考查,更重視對(duì)學(xué)生綜合核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查,題目會(huì)更加靈活多變,富有創(chuàng)新性和綜合性.在題目中融入數(shù)學(xué)文化、生活實(shí)際、跨學(xué)科的知識(shí),將不同的知識(shí)融合交匯,那么知識(shí)之間的融合必然會(huì)更加精彩.

        三角函數(shù)有其獨(dú)特的性質(zhì),當(dāng)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)“聯(lián)姻”時(shí),三角函數(shù)的周期性、有界性等就被融入進(jìn)來.對(duì)于三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值問題、含參問題或者相關(guān)綜合性問題,借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究能更充分地考查數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)算求解能力、綜合應(yīng)變與解題調(diào)控能力,也能很好地彰顯考生解題方法的靈活性、多樣性,從而備受命題者的青睞,不少高考試題和模擬試題均在三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)交匯處進(jìn)行命題.下面筆者以近年高考或??贾信c三角函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)題為例,進(jìn)行分類歸納與解答,供大家參考.

        評(píng)注 ①對(duì)于零點(diǎn)不可求問題,常見的做法是“設(shè)而不求”.通過設(shè)出未知數(shù)作為橋梁進(jìn)行消元或整體代換,這種數(shù)學(xué)思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中有著廣泛應(yīng)用.②要求證一個(gè)函數(shù)“有且只有一個(gè)”零點(diǎn),可先用“函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理”證明函數(shù)存在零點(diǎn),再證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù),即得函數(shù)零點(diǎn)的唯一性.其依據(jù)為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上至多有一個(gè)零點(diǎn).如果要證明函數(shù)有多個(gè)零點(diǎn),一般要將分區(qū)間

        討論解決,由于涉及三角函數(shù),在判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí),注意不同區(qū)間正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)[3].

        6 結(jié)束語

        由上述例子可看出,導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的題型眾多,融合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等重要知識(shí)點(diǎn)于一體,函數(shù)的表達(dá)式多是三角函數(shù)與ex,lnx相結(jié)合.問題方面主要與函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、極值與最值、恒成立問題、證明函數(shù)不等式等主干內(nèi)容相關(guān),多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合在一起.由于三角函數(shù)的特殊性,所以不單考查導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,還可能考查三角函數(shù)中的恒等變換、周期性、有界性,常見的三角不等式等.綜合度較高,對(duì)于考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.

        因此,在復(fù)習(xí)備考中要注重以下兩點(diǎn):

        ①突出主干知識(shí).導(dǎo)數(shù)試題注重對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等重點(diǎn)內(nèi)容的考查,函數(shù)單調(diào)性是核心性質(zhì),要深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí),復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.

        ②注意總結(jié),歸納提煉方法.復(fù)習(xí)時(shí)要善于總結(jié),將涉及三角的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題分門別類,并歸納出常用的解法與注意事項(xiàng),并通過題目的訓(xùn)練,舉一反三,觸類旁通.

        參考文獻(xiàn):

        [1] 林國(guó)紅.函數(shù)凹凸性視角下的雙變量壓軸題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2022(05):17-20.

        [2] 林國(guó)紅.一題多解有妙法 深入探究促提升:2022年高考全國(guó)乙卷第23題的探究[J].數(shù)理化解題研究,2023(25):69-72.

        [3] 林國(guó)紅.一道導(dǎo)數(shù)???jí)狠S題的探究[J].數(shù)理化解題研究,2023(22):85-89.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

        收稿日期:2023-11-05

        作者簡(jiǎn)介:林國(guó)紅(1977-),男,廣東省佛山人,中學(xué)高級(jí)教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.

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