江浩

摘 要：研究了圓錐曲線上定點(diǎn)關(guān)于定值λ的斜率等和與等積子弦的性質(zhì)，通過利用平移齊次化方法證明了更一般化的結(jié)論.結(jié)合具體實(shí)例，體現(xiàn)了所給的性質(zhì)以及證法能夠解決解析幾何中一類斜率之和或積為定值的問題，旨在幫助學(xué)生能夠迅速找到解決此類問題的突破口.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)；定值；子弦；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0085-03

2013年刊發(fā)的文[1]給出了圓錐曲線上定點(diǎn)定值子弦的定義[1]，利用聯(lián)立方程組的方法證明了斜率等和與等積子弦的相關(guān)性質(zhì).文章研究內(nèi)容是近幾年高考考查的熱點(diǎn)問題，比如2020年新高考Ⅰ卷第22題，2022年新高考Ⅰ卷第21題，2022年全國高考理科乙卷第20題均涉及此類問題，這是廣大考生感覺到非常困難的問題.文[2]提出平移齊次化方法是處理這類問題的一種非常有效的手段[2].本文將基于一般化的圓錐曲線形式，利用平移齊次化方法證明定點(diǎn)定值子弦的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)論形式更加統(tǒng)一，證明過程更加簡潔.

1 圓錐曲線上定點(diǎn)定值子弦的定義

設(shè)點(diǎn)P是圓錐曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，PA，PB是該曲線過定點(diǎn)P的兩條弦，當(dāng)直線PA，PB的斜率之積為定值λ時(shí)，稱線段AB為該曲線上定點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等積子弦；當(dāng)直線PA，PB的斜率之和為定值λ時(shí)，稱線段AB為該曲線上定點(diǎn)P的關(guān)于定值λ的斜率等和子弦.

2 定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)及其證明

2.1 橢圓與雙曲線上定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)

過曲線（橢圓或雙曲線）Γ：ax2+by2=1ab≠0上一個(gè)定點(diǎn)Px0，y0分別作兩條不同直線l1，l2與曲線Γ相交，另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，設(shè)直線l1，l2的斜率均存在且均不為0，將其分別記為k1，k2.

證明 將平面直角坐標(biāo)系xOy進(jìn)行平移，使得坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)Px0，y0重合，則曲線Γ的方程變成ax+x02+by+y02=1.展開可得

ax2+2ax0x+ax20+by2+2by0y+by20=1.

又ax20+by20=1，則ax2+2ax0x+by2+2by0y=1.

設(shè)直線AB：mx+ny=1，所以

ax2+2ax0xmx+ny+by2+2by0ymx+ny=1.

結(jié)合圖形可知，k1，k2就是該方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是有

則2by0m=-2ax0n-2by0nλ-bλ.

直線AB方程兩邊同時(shí)乘以2by0，將上式代入，整理可得

-2ax0x-2by0λx+2by0yn-2by0-bλx=0.

則2ax0m=λb-a+2bλy0n.

同理可將AB方程整理成

2bλy0x+2ax0yn+xλb-a-2ax0=0.

注1 從證明過程可以看出，當(dāng)曲線Γ表示圓時(shí)，上述結(jié)論已成立.

2.2 拋物線上定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)

過拋物線Γ：y2=2pxp>0上一個(gè)定點(diǎn)P（x0，y0）分別作兩條不同直線l1，l2與曲線Γ相交，另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，設(shè)直線l1，l2的斜率均存在且均不為0，將其分別記為k1，k2.

上述性質(zhì)的證明與性質(zhì)1、2的證明方法類似，這里不再贅述.

3 應(yīng)用舉例

又AD⊥MN，所以點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，

記直線AB，AC斜率分別為k3，k4，

設(shè)AM：y=k3x+2，可得M0，2k3.

注3 當(dāng)不能確定某條線段是否是曲線上定點(diǎn)的關(guān)于某個(gè)定值λ的斜率等和或等積子弦時(shí)，可以利用證明性質(zhì)1，2的方法去探究.

4 結(jié)束語

圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題是歷年高考必考內(nèi)容之一，也是廣大師生處理起來比較棘手的問題.本文研究了圓錐曲線上定點(diǎn)定值的斜率等和與等積的子弦問題，揭示了過圓錐曲線上一個(gè)定點(diǎn)的兩條直線斜率之和或者之積為定值時(shí)，兩交點(diǎn)構(gòu)成的第三條直線恒過定點(diǎn)的重要特征，也可以逆向使用這些性質(zhì)特征，即已知直線恒過定點(diǎn)，可以推斷另外兩條直線斜率之和或之積為定值，這可以為研究圓錐曲線問題提供一個(gè)重要線索，為解決問題找到突破口.“授人以魚，不如授人以漁”，平移齊次化方法更加值得我們關(guān)注，它是處理此類問題的一個(gè)非常奏效的方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］曹軍.圓錐曲線上的定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)：圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（19）：19-21.

[2] 李斯喬，蔡明，李寧.齊次化聯(lián)立解決涉及斜率和或積的定點(diǎn)定值問題[J].數(shù)學(xué)通訊：2020（17）：60-62.