摘要：最值問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一，其考查方式也是多種多樣，更是多元化的，問題展示過程靈活，綜合性強(qiáng)，是考查學(xué)生分析問題和解決問題能力的主要題型.本文中就連云港市中考填空壓軸試題的剖析，針對初中階段出現(xiàn)的幾種最值問題進(jìn)行策略分析研究.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；中考壓軸；最值；求解策略

“最值問題”是近年來中考數(shù)學(xué)的必考題型，也是壓軸題中的必選之題.遇到此類問題，學(xué)生往往無從下手，掌握此類常見問題的解題策略會更容易找到問題突破口，便于解題.本文中將從巧用“配方法”“判別式”“公理”“函數(shù)”“平移”“模型” “旋轉(zhuǎn)”“構(gòu)造”“分割”等對一些特殊式子或線段（和或差）的最值問題進(jìn)行剖析.

例如，2023年連云港市中考數(shù)學(xué)試題中的一道填空題：若W＝5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x，y為實數(shù)），求W的最小值.

分析此問題，顯然常規(guī)解法不能完成解答，對于含有兩個未知數(shù)的代數(shù)式最值問題，需要對代數(shù)式進(jìn)行變形，將各個單項式之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用配方法把原式整理為“平方+常數(shù)”的形式，這樣就可以確定此代數(shù)式的最值.故W=5x2－4xy+y2－2y+8x+3=（4x2－4xy+y2）－2y+x2+8x+3=（2x－y+1）2+（x+2）2－2.因為x，y均為實數(shù)，所以（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0，故W≥-2，即W的最小值為-2.

當(dāng)然，求解最值問題并不是只有簡單的代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，還有更多的方法可以利用，下面就針對初中階段“最值問題”的解法進(jìn)行系統(tǒng)歸納，便于大家學(xué)習(xí)利用.

1 巧用“判別式”求代數(shù)式的最值

對于上述類型的代數(shù)式，可以利用其特點(diǎn)將代數(shù)式合理分配形成“完全平方式”再轉(zhuǎn)化為“平方+常數(shù)”的形式求解，如上述解析過程.

研析：此類問題可以利用代數(shù)式與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為方程，再利用判別式判斷其最值問題.

解法如下：由題意，得5x2+（8-4y）x+y2-2y+3-W＝0.因為x為實數(shù)，所以Δ=（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0，則5W≥（y+3）2-10≥-10，于是W≥-2.故W的最小值為-2.

2 巧用“公理”求線段最值

常見的最值問題往往體現(xiàn)在“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊之間的關(guān)系”等方面，巧妙利用這些公理性質(zhì)可破解最小值問題.

例1" 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C落在C′處，連接AC′，若F，G分別是AC′，AB的中點(diǎn)，求FG的最小值.

研析：根據(jù)已知條件，如圖2所示作輔助線，由勾股定理和折疊的性質(zhì)可求得BD＝13，CD＝C′D＝5.由三角形的三邊關(guān)系，得C′B＞BD-C′D.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則當(dāng)點(diǎn)C′在DB上時，C′B的最小值為BD-C′D＝8，由三角形的中位線定理求解.

3 巧用“函數(shù)”求坐標(biāo)系中動點(diǎn)間距離的最值

例2" 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝-x2+2x-c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C.二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點(diǎn)D，若M是直線AC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，求△MCD面積的最大值.

研析：如圖4，作MQ⊥AC于點(diǎn)Q，作ME⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，先求出拋物線的對稱軸，進(jìn)而求得點(diǎn)C，D坐標(biāo)及CD的長，從而得出過點(diǎn)M的直線y＝x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大.根據(jù)x+m＝-x2-2x+3的Δ＝0求得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求得CD上的高M(jìn)Q的值，即可得出結(jié)果.

4 巧用“平移”求相離線段和的最值

在遇到幾何線段沒有相互連接時，求其和的最值往往在問題的基礎(chǔ)上利用平移作輔助線，讓相離的線段連接在一起，然后再利用相關(guān)公理或者性質(zhì)求解.

例3" 如圖5，線段AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AD，BC，若AC=3，BD=2，∠BEC=60°，求AD+BC的最小值.

研析：顯然，AD和BC沒有連接在一起，這就需要將這兩條線段經(jīng)過變化使之相連，此時我們想到利用“平移”.如圖6，將AD沿著AC平移至CF處，求AD+BC的最小值即求BC+CF的最小值.再連接BF，DF，過點(diǎn)B作BG⊥DF，垂足為G，根據(jù)條件可得∠DBG=30°，DG= 12BD=1，BG=32BD，易得GF的長.最后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可判斷BC+CF的最小值.

5 巧用“模型”求線段和（差）的最值

求線段和（差）的最值的問題，常常用到“將軍飲馬”“隱圓”等模型，結(jié)合已知條件，將問題先轉(zhuǎn)化為某種“模型”再來解得相關(guān)問題，化難為易.

例4" 如圖7，正方形ABCD的邊長是6，E是AD邊上一動點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，P是AD邊上另一動點(diǎn)，求PC+PF的最小值.

研析：如圖8，取點(diǎn)C關(guān)于直線DA的對稱點(diǎn)C′.以AB中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫半圓.連接OC′交DA于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)F.

由以上作圖可知，AF⊥EB.PC+PF＝PC′+PF＝C′F，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時PC+PF最小.由C′B′＝6，OB′＝9，得C′O＝62+92=313，則C′F＝313-3.

故PC+PF的最小值為313-3.

6 巧用“旋轉(zhuǎn)”求多條線段和的最值

此類問題實質(zhì)上就是“費(fèi)馬點(diǎn)”問題，它是到三角形ABC三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)P，即求PA+PB+PC的最小值.遇到此類形式的問題，我們通常考慮將某三角形旋轉(zhuǎn)60°，將三條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上，再利用兩點(diǎn)之間的直線段最短進(jìn)行判斷，從而突破最值問題.

例5" 如圖9，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，試求PA+PB+PC的最小值.

研析：如圖10，將△APC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△AP′C′，則可以構(gòu)造出等邊三角形APP′，從而得到AP=PP′，CP=C′P′，于是將PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP′+PB+P′C′的值，則線段BC′的長即為所求的最小值.

7 巧用“構(gòu)造”求“PA+k·PB”型線段的最值

此種類型問題是“PA+PB”最值問題的拓展，涉及的相關(guān)內(nèi)容是“阿氏圓”問題，通常以動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡來分類，一般分為兩類，即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動.

例6" 如圖11，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A，B都在⊙O外，P為⊙O上一動點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA，PB，則當(dāng)PA+k·PB的值最小時，點(diǎn)P的位置如何確定？

研析：如圖12，在線段OB上截取OC，使OC=k·r，則可證明△BPO∽△PCO，即k·PB=PC.故求PA+k·PB的最小值可以轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值.因為A，C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P，A，C共線時，PA+PC的值最小.

綜上所述，只有熟練把握不同形式的最值問題，搞清楚其中的關(guān)系，采用相對應(yīng)的突破策略，才能化難為易.把握解決問題的策略，不僅僅是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，更是課程改革在數(shù)學(xué)學(xué)科的一種能力體現(xiàn).不斷探索有效的解題方法與策略，開拓學(xué)生解題思維，有利于全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).