? 江蘇省海門中學(xué) 周 茜

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以及解題研究過程中,特別是在高考復(fù)習(xí)階段,教師合理選取經(jīng)典問題,多方位挖掘問題的內(nèi)涵,嘗試做到數(shù)學(xué)解題研究的“四部曲”——來路、思路、出路、套路,提升復(fù)習(xí)效率.

1 展示“來路”——立足課標(biāo),明確主題與指向

教材典型例、習(xí)題及歷屆高考真題等典型試題,具有有效鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、合理滲透數(shù)學(xué)思想方法、精準(zhǔn)明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)、巧妙確定數(shù)學(xué)研究方向等基本作用,是新一屆高考命題者改編或創(chuàng)編新高考題的基本“來路”.基于典型試題的教學(xué)研究,有效明確相應(yīng)問題的主題,尋找典型問題的指向.

分析：此題以直線與圓的位置關(guān)系創(chuàng)設(shè)情境,結(jié)合從圓外一點(diǎn)分別引圓的切線與割線,通過“靜”與“動(dòng)”兩種狀態(tài)來設(shè)置圓上的對應(yīng)點(diǎn),動(dòng)靜結(jié)合,合理創(chuàng)設(shè),進(jìn)而確定相應(yīng)平面向量的數(shù)量積的最值.

題目簡單明了,以代數(shù)形式來敘述,以幾何特征來表達(dá),利用直線與圓的位置關(guān)系,結(jié)合圓上“動(dòng)”點(diǎn)與“靜”點(diǎn)之間的變化情況,勾勒了一幅優(yōu)美的畫卷.

2 展開“思路”——解題研究,發(fā)散思維與視角

解題研究的目的就是準(zhǔn)確、快速地解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,其實(shí)質(zhì)就是合理分析與理解題目條件,綜合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、思想方法等來合理發(fā)散思維,借助不同思維視角的切入與應(yīng)用來解題,合理尋找解決問題的“思路”.這也是解題中最為關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié),不同的“思路”對應(yīng)著不同的解題方法與技巧.

2.1 平面向量思維

結(jié)合問題的平面幾何場景,利用平面向量思維切入,通過平面向量的數(shù)量積,以及平面向量自身“數(shù)”與“形”的雙重屬性來分析與求解.

方法1:平面向量法.

圖1

分析：根據(jù)圓上動(dòng)點(diǎn)的變化引入“角參數(shù)α”,結(jié)合平面向量的數(shù)量積構(gòu)建三角關(guān)系式,通過三角恒等變換轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的余弦型(或正弦型)函數(shù),借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對應(yīng)的最值問題.

2.2 解析幾何思維

由題意可建立平面直角坐標(biāo)系,利用解析幾何思維切入,通過坐標(biāo)法來變形與轉(zhuǎn)化相應(yīng)的點(diǎn)、向量等相關(guān)問題,進(jìn)而加以分析與求解.

方法2:坐標(biāo)法.

圖2

分析：根據(jù)平面幾何與平面向量的問題實(shí)質(zhì),回歸到平面解析幾何中去,通過建立平面直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)及動(dòng)點(diǎn)的軌跡等,從代數(shù)思維視角來合理數(shù)學(xué)運(yùn)算,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡方程進(jìn)行參數(shù)方程的變換,結(jié)合平面向量的數(shù)量積以及三角恒等變換來綜合與應(yīng)用.構(gòu)建點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),利用軌跡的結(jié)構(gòu)特征,合理進(jìn)行參數(shù)方程的變換是解題的關(guān)鍵所在.

2.3 平面幾何思維

問題是平面幾何,回歸平面幾何本質(zhì),利用平面幾何思維切入,結(jié)合圖形直觀以及平面向量的相關(guān)幾何意義加以分析與求解.

方法3：平面幾何法.

圖3

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義,結(jié)合投影的結(jié)構(gòu)特征與直觀分析,通過“動(dòng)”態(tài)過程中的變化規(guī)律及最值問題的幾何特征,二者合理交匯與融合,通過數(shù)形結(jié)合以及圖形直觀,綜合平面幾何的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)等來應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問題的直觀處理.平面幾何法的關(guān)鍵就是把握圖形的結(jié)構(gòu)特征以及所求數(shù)量積的幾何意義與內(nèi)涵,合理直觀與巧妙推理.

3 尋找“出路”——目標(biāo)變式,鏈接知識與方法

目標(biāo)變式是基于原問題考查的基礎(chǔ)知識、基本思想內(nèi)涵與技巧方法,有目的、有計(jì)劃地合理改編與變式,探尋問題進(jìn)一步的“出路”,進(jìn)而凸顯不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本思想方法、思路技巧等之間的邏輯關(guān)系,合理鏈接數(shù)學(xué)知識與思想方法,構(gòu)建更加完善的數(shù)學(xué)知識體系與架構(gòu),形成更加全面的知識網(wǎng)絡(luò).

3.1 延續(xù)結(jié)果變式

3.2 改變條件變式

借助以上條件改變而得到的變式2及其對應(yīng)的解析過程,將確定最大值的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定取值范圍的問題,還可以得到對應(yīng)的變式.

4 拓展“套路”——總結(jié)反思,優(yōu)化技巧與策略

總結(jié)反思是高效、合理進(jìn)行解題研究的基本步驟,可以從知識覆蓋面廣、形式靈活的數(shù)學(xué)綜合題中挖掘蘊(yùn)含其中的多種解法與思想,合理總結(jié)并拓展解題的“套路”,有利于深化學(xué)生對知識的理解與掌握,從而優(yōu)化數(shù)學(xué)思想與技巧策略,發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

實(shí)踐證明,基于數(shù)學(xué)解題研究過程中的“四部曲”——來路、思路、出路、套路,有針對性的解題研究的教學(xué)與學(xué)習(xí),教學(xué)意圖更加明顯,教學(xué)思路更加清晰,教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)過程更能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生解題的積極性、主動(dòng)性,是有效提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考質(zhì)量的一種常見教學(xué)范式.