? 江蘇省常熟市海虞高級(jí)中學(xué) 許文杰

在“新教材、新課標(biāo)、新高考”的“三新”背景下,復(fù)數(shù)的單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì),可以基于學(xué)案形式,借助創(chuàng)新主題設(shè)計(jì),側(cè)重于“四基”層面,合理創(chuàng)設(shè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與體系,掌握復(fù)數(shù)概念的基礎(chǔ)性,凸顯復(fù)數(shù)運(yùn)算公式的應(yīng)用性,拓展數(shù)學(xué)思維的靈活性,有效進(jìn)行單元復(fù)習(xí)學(xué)案教學(xué)設(shè)計(jì)與安排.

復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)提升課,針對(duì)這一單元進(jìn)行合理的復(fù)習(xí)學(xué)案設(shè)計(jì),構(gòu)造一個(gè)創(chuàng)新完美的形式.具體單元復(fù)習(xí)學(xué)案設(shè)計(jì)分為以下五個(gè)部分:知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、知識(shí)要點(diǎn)、主題串講、創(chuàng)新設(shè)計(jì)與熱點(diǎn)強(qiáng)化.

1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

借助復(fù)數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建,形成完善的知識(shí)體系,合理“織網(wǎng)”,有效針對(duì)“把脈”,形成知識(shí)“貫通”.其具體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)如圖1所示:

圖1

2 知識(shí)要點(diǎn)

梳理復(fù)數(shù)的知識(shí)要點(diǎn),進(jìn)行必要的易錯(cuò)提醒,從而建立知識(shí)“要點(diǎn)”,梳理概念“細(xì)節(jié)”,全面糾正“錯(cuò)誤”.

2.1 概念速記

(1)復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù);若b≠0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

(5)復(fù)數(shù)的運(yùn)算:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則

①加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

②減法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i;

③乘法:z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;

2.2 易誤辨析

z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立,例如,當(dāng)z=3i時(shí),z2=-9<0.

3 主題串講

借助主題串講和典例剖析,“精研”單元知識(shí),借助實(shí)例剖析“悟道”,形成知識(shí)能力“突破”.

3.1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(2)已知復(fù)數(shù)z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2為純虛數(shù),則a=______.

復(fù)數(shù)的基本概念是考查的基本點(diǎn),特別是一些容易混淆的概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、純虛數(shù)等概念,具體考查時(shí)往往結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算并綜合基本概念來(lái)交匯與融合,加以合理綜合與應(yīng)用.

3.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

分析：通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算場(chǎng)景,以復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算為主,涉及復(fù)數(shù)的概念、模、幾何意義等各個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn),借助關(guān)系式的特征與性質(zhì)、公式、結(jié)論、復(fù)數(shù)的幾何意義以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法等加以合理優(yōu)化與巧妙應(yīng)用.(答案:(1)4;(2)1+i.)

有關(guān)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算問(wèn)題,關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方等代數(shù)形式的運(yùn)算法則,以基本運(yùn)算法則與常規(guī)計(jì)算為主,有時(shí)還會(huì)借助一些復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧來(lái)綜合分析與處理.

3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(1)已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A,B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+2i,-2+6i,OA∥CB,求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.(z=-5)

分析：通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用的一些常見(jiàn)場(chǎng)景實(shí)例,結(jié)合概念、四則運(yùn)算、綜合問(wèn)題以及創(chuàng)新問(wèn)題等方面,剖析復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用的基本類型與部分的內(nèi)涵實(shí)質(zhì),合理交匯,巧妙融合.

復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)自身的延伸與拓展,也是“數(shù)”“形”結(jié)合的很好例證,是復(fù)數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”之間的橋梁.巧妙應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義,利用復(fù)數(shù)幾何意義的“形”的意識(shí),結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念、四則運(yùn)算等,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,提升解題效益.

4 創(chuàng)新設(shè)計(jì)

借助復(fù)數(shù)知識(shí)的特色加以合理創(chuàng)新設(shè)計(jì),融入新教材中新增加的復(fù)數(shù)公式知識(shí)與復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)文化場(chǎng)景等.

4.1 三元方程根與系數(shù)的關(guān)系

例4(多選題)已知函數(shù)f(x)=x(x-3)2,f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

B.a+b+c=6

C.a+b>2

D.abc的取值范圍是(0,4)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,結(jié)合函數(shù)的大致圖象確定f(x)-t=0的三個(gè)根的取值范圍,利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系加以綜合與應(yīng)用,進(jìn)而判定與之相應(yīng)的綜合應(yīng)用問(wèn)題.

基于人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過(guò)的《數(shù)學(xué)》(必修第二冊(cè))第七章“復(fù)數(shù)”第81頁(yè)閱讀與思考——代數(shù)基本定理,設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1,x2,x3,則有

其是二次方程韋達(dá)定理的深入與拓展,也為高考命題與競(jìng)賽命題提供了更多的場(chǎng)景與應(yīng)用.

4.2 復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)文化

例5歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪,則ii=( ).(B)

分析：基于數(shù)學(xué)文化應(yīng)用場(chǎng)景,根據(jù)題設(shè)中的歐拉公式加以轉(zhuǎn)化,先確定i的三角形式表達(dá)式,進(jìn)而通過(guò)復(fù)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算,利用與實(shí)數(shù)指數(shù)冪同樣的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)合理變形與轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的巧妙轉(zhuǎn)化與解決.

對(duì)于復(fù)數(shù)單元,由于復(fù)數(shù)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及數(shù)學(xué)文化背景,此部分的試題經(jīng)常與數(shù)學(xué)文化巧妙融合,以創(chuàng)新情境來(lái)合理設(shè)置,成為高考命題中一道融基本特色的風(fēng)景線.

5 熱點(diǎn)強(qiáng)化

借助復(fù)數(shù)的基本考點(diǎn)類型,結(jié)合典型練習(xí)進(jìn)行“演練”,有針對(duì)性地強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力,達(dá)到強(qiáng)基、培優(yōu)的目的.

這里以對(duì)應(yīng)的練習(xí)加以合理配套,結(jié)合具體課堂場(chǎng)景以及學(xué)生情況合理安排.

具體練習(xí)略,一般以6到8題為適量.