? 安徽省宿州市第二中學(xué) 杜文偉

本節(jié)主要是結(jié)合問(wèn)題導(dǎo)向,讓學(xué)生探索在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的幾何要素,從而得到直線的傾斜角、斜率的概念及斜率公式等,讓學(xué)生經(jīng)歷用幾何和代數(shù)的不同思想在平面直角坐標(biāo)系中定量刻畫(huà)一條直線位置的過(guò)程,感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

1 教學(xué)分析[1]

1.1 教材分析

本節(jié)是平面解析幾何的起始課,將采用坐標(biāo)法研究平面幾何圖形問(wèn)題.直線的傾斜角和斜率是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示,是學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ).在直線與直線,直線與圓、橢圓、雙曲線和拋物線的位置關(guān)系以及其他相關(guān)綜合問(wèn)題的解決上,直線的斜率都會(huì)起到非常重要的作用.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠體會(huì)平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)而能夠提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

1.2.1 知識(shí)與能力目標(biāo)

(1)理解與掌握直線的傾斜角和斜率的概念,掌握直線斜率的計(jì)算公式,理解直線的方向向量與斜率的關(guān)系;

(2)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維、問(wèn)題探究等基本的數(shù)學(xué)思維能力;

(3)能夠利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;

(4)通過(guò)知識(shí)學(xué)習(xí),體會(huì)分析與解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想和方法.

1.2.2 學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系中抽象出直線斜率概念的過(guò)程,提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng);

(2)利用圖形描述,建立傾斜角和斜率即數(shù)與形的關(guān)系,提升直觀想象核心素養(yǎng);

(3)通過(guò)依據(jù)三角函數(shù)運(yùn)算法則求得運(yùn)算結(jié)果,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

1.2.3 情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

(1)通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體會(huì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn),培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì);

(2)培養(yǎng)獨(dú)立思考、合作交流、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和對(duì)知識(shí)探究的理性精神.

1.3 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):直線的傾斜角和斜率的概念、斜率公式.

教學(xué)難點(diǎn):直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系.

2 教學(xué)過(guò)程

探究1：確定直線位置的幾何要素(點(diǎn)和方向).

問(wèn)題1一次函數(shù)與直線是否一一對(duì)應(yīng)?

學(xué)生:一次函數(shù)的圖象都是直線,反之不一定,故一次函數(shù)與直線不是一一對(duì)應(yīng).

問(wèn)題2對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l,按照教材中定義的直線的方向,如何利用平面直角坐標(biāo)系確定它的位置?

觀察圖1,你能說(shuō)出這些直線的區(qū)別嗎?

圖1

學(xué)生甲:這些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同.

學(xué)生乙:這些直線與x軸所成的角不同.

追問(wèn):如何用直線與x軸所成的角來(lái)表示這些直線的方向或傾斜程度呢?

學(xué)生:需要定義直線與x軸所成的角.

教師:很好,下面我們進(jìn)入下一個(gè)探究.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)向,引入直線的傾斜角這一重要概念,培養(yǎng)通過(guò)圖形關(guān)系抽象數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

探究2：利用直線的傾斜角定量刻畫(huà)直線的方向.

教師:直線傾斜角的概念(略).

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)1:

根據(jù)教材中定義的直線l的傾斜角的概念,我們知道直線l的傾斜角α的取值范圍為00≤α<180°,那么如何理解直線的傾斜角呢?

學(xué)生探究,教師總結(jié):

(1)直線的傾斜角可以定量刻畫(huà)平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度,是從“形”的角度定量刻畫(huà)直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度;

(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看,當(dāng)直線與x軸相交時(shí),直線的傾斜角可以理解為由x軸繞著直線與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小正角.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生理解在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素是直線上的一個(gè)點(diǎn)和傾斜角,從而借助圖形培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng).

追問(wèn):你能在表1中準(zhǔn)確畫(huà)出下列直線嗎?

表1

例1(1)圖2中直線l的傾斜角為_(kāi)_____.

圖2

(2)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角,則此直線的傾斜角為_(kāi)_____.

問(wèn)題導(dǎo)向:通過(guò)以上學(xué)習(xí),我們可以理解直線的傾斜角是從“形”的角度量化直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度,那么是否也可以從“數(shù)”的角度來(lái)量化直線的傾斜程度呢?

探究3：用直線的斜率量化直線的傾斜程度.

問(wèn)題3直線l的傾斜角α與直線l上P1,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系?

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)2:

在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線l的傾斜角為α,分別討論當(dāng)直線l滿足下列情況時(shí),直線l的傾斜角α與此直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:

(3)已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2).

問(wèn)題4當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時(shí),上述式子還成立嗎?

引入斜率的定義:我們把直線l的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,即斜率k=tanα(α≠90°).

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)3:

通過(guò)上述探究我們知道,當(dāng)直線l的傾斜角α不為90°時(shí),其斜率是一個(gè)實(shí)數(shù),如何理解其斜率呢?

(1)可以用斜率這一實(shí)數(shù)量化傾斜角不是90°的直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度;

(2)直線的傾斜角和斜率都是刻畫(huà)直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度的,傾斜角側(cè)重于從幾何角度而斜率側(cè)重于從代數(shù)角度刻畫(huà).

思考:為什么用傾斜角α的正切值定義直線的斜率,而不是用傾斜角α的正弦值或余弦值呢?

學(xué)生討論,教師總結(jié):

(1)在后面直線方程的學(xué)習(xí)中,直線方程中x,y的系數(shù)反映了直線傾斜角的正切值;

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)4:

問(wèn)題5直線l的傾斜角α與其斜率的變化關(guān)系.

圖3 用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示傾斜角與斜率的變化關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生理解直線的傾斜角和斜率分別是從“形”和“數(shù)”兩個(gè)角度刻畫(huà)直線相對(duì)于x軸的傾斜程度,同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一,能真正理解并掌握直線傾斜角和斜率的辯證統(tǒng)一,培養(yǎng)思維品質(zhì)和理性精神,樹(shù)立正確的價(jià)值觀.

例2(1)已知O(O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn))是等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,∠AOy=15°,則斜邊AB所在直線的斜率為_(kāi)_____.

問(wèn)題導(dǎo)向:我們知道兩點(diǎn)確定一條直線,如果已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),那么這條直線的傾斜角就唯一確定,若直線l的傾斜角不為90°時(shí),其斜率唯一確定.那么,直線的斜率和此直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢?

探究4：用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率.

若直線l的傾斜角為α,且直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,則

①

k=tanα(α≠90°).

②

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)5:

(1)已知直線上的兩點(diǎn)A(a1,a2),B(b1,b2),運(yùn)用上述公式計(jì)算直線AB的斜率時(shí),與A,B兩點(diǎn)的順序有關(guān)嗎?

(2)當(dāng)直線平行于y軸或與y軸重合時(shí),上述公式還適用嗎?為什么?

設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生在研究直線斜率問(wèn)題時(shí),要根據(jù)題意分析是否需要討論斜率存在與不存在兩種情況,培養(yǎng)學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

例3(1)已知三點(diǎn)A(3,1),B(-2,t),C(8,1)能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______.

探究5：建立直線的方向向量與斜率的關(guān)系.

學(xué)生自主探究,教師總結(jié):

(1)若直線l的斜率不存在,即直線與x軸垂直時(shí),則它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(0,t)(t≠0);

(2)若直線l的斜率為k,則它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(1,k).

以上即建立了直線的方向向量與斜率的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解直線的斜率和直線的方向向量的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生把握事物關(guān)聯(lián)的理性思維品質(zhì).

例4(1)若直線l的方向向量是(1,sinθ),則此直線傾斜角的取值范圍是______.

3 教學(xué)反思,提高認(rèn)識(shí)

3.1 重視概念生成,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

本節(jié)課以直線的傾斜角和斜率為載體,重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),通過(guò)將平面中確定一條直線位置的幾何要素(點(diǎn)和方向),抽象為在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的量,進(jìn)而抽象出傾斜角的概念,然后由“形”到“數(shù)”,抽象出斜率的概念,進(jìn)而得到直線方向向量的概念.通過(guò)概念教學(xué),提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3.2 重視問(wèn)題驅(qū)動(dòng),提升直觀想象素養(yǎng)

在教學(xué)方法上,利用如何在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的問(wèn)題設(shè)計(jì),以及如何理解直線的傾斜角和斜率的概念等,采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng),讓學(xué)生小組合作、主動(dòng)探究,將課堂主動(dòng)權(quán)真正交給學(xué)生.學(xué)生通過(guò)直觀想象、合作探究和教師引導(dǎo)的概念教學(xué),提升了直觀想象核心素養(yǎng)[2].

3.3 重視知識(shí)反饋,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

在課堂教學(xué)中,學(xué)生不僅要能理解傾斜角和斜率及直線的方向向量等重要概念,還要能應(yīng)用概念解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)設(shè)計(jì)典型例題解析,加深學(xué)生對(duì)概念的理解,能應(yīng)用概念正確解決問(wèn)題,提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).