? 太原師范學院 王燕榮 李 者 黃銘超

1 教學準備

1.1 解讀課程標準,深入分析教材

新人教A版高中數(shù)學教科書必修第一冊第五章“三角函數(shù)”單元,是按照“任意角和弧度制”“三角函數(shù)的概念”“誘導公式”“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“三角恒等變換”“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”“三角函數(shù)的應用”的結(jié)構(gòu)編排的[1].其中,“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”既是對前面所學“任意角和弧度制”“三角函數(shù)的概念”“誘導公式”的深化應用,也是后面學習性質(zhì)與應用的基礎(chǔ),具有承上啟下的作用.

新人教A版高中數(shù)學教科書與舊人教A版教材比較,“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”內(nèi)容的編排變動較大.主要體現(xiàn)為:(1)在舊版教材中,首先利用簡諧實驗使學生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象有一個直觀印象,然后利用正弦線畫出正弦函數(shù)圖象.而在新版教材中,是先借助正弦函數(shù)的定義找到畫一般點的方法,然后由此畫出正弦函數(shù)圖象,其中并未提及正弦線.(2)舊版教材中沒有明確涉及信息技術(shù)的運用,而在新版教材中明確指出了利用信息技術(shù)可以畫出足夠多的點,用光滑曲線相連即可得到較精確的正弦函數(shù)圖象.(3)“五點法”出現(xiàn)的順序不同.在舊版教材中是學生得到了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象后才引入“五點法”,而在新版教材中則是學生得到正弦函數(shù)圖象后引入“五點法”,然后再畫余弦函數(shù)的圖象.

1.2 精準定位學情

在此前,學生已學習了函數(shù)的概念及性質(zhì),進一步研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)和應用,建立了研究函數(shù)的路徑,認識到單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具,掌握了用“描點法”畫函數(shù)圖象的操作技能,積累了豐富的經(jīng)驗.但是,利用定義的幾何意義繪制函數(shù)圖象是第一次,在思維習慣上存在障礙,因此,對正弦函數(shù)圖象的構(gòu)造和認識是難點.

1.3 制定合理的教學目標

(1)經(jīng)歷探索正弦函數(shù)圖象畫法的過程,體會到利用正弦函數(shù)定義的幾何意義畫正弦函數(shù)圖象的合理性,充分感受信息技術(shù)運用的必要性和優(yōu)越性,掌握特殊到一般的思維方法,提高分析和解決問題的能力,培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

(2)感受利用“五點法”畫函數(shù)圖象的便捷性,掌握“五點法”,并能利用“五點法”繪制正弦函數(shù)圖象,豐富作圖經(jīng)驗.

(3)能用圖象變換的方法由正弦函數(shù)的圖象繪制余弦函數(shù)的圖象,體會誘導公式的作用及轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想,體味數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)普遍聯(lián)系、透過現(xiàn)象把握本質(zhì)等辯證唯物主義觀點.

2 “正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”教學活動設計

2.1 搭建腳手架,引出學習課題

問題1回憶冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習過程,你能概括它們研究的基本思路嗎?

問題2三角函數(shù)作為一類新的基本初等函數(shù),研究其定義后下一步該研究什么?

學生聯(lián)想到前面所學的函數(shù),研究思路均是從實際問題中獲得變量之間的關(guān)系,歸納抽象出函數(shù)的概念,然后畫出函數(shù)的圖象,繼而根據(jù)圖象研究函數(shù)性質(zhì),最后進行應用,形成函數(shù)學習的研究路徑,如圖1.

圖1

按照上述研究路徑,學生自然想到學習三角函數(shù)的概念之后,應該研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,由此引入學習課題.

設計意圖：以單元教學設計理念為指導,通過設置問題逐步激活學生原有的知識與經(jīng)驗,歸納總結(jié)形成函數(shù)學習的研究路徑,并借助PPT將研究函數(shù)的思路以知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡圖的形式直觀呈現(xiàn)給學生,體現(xiàn)學科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性、整體性與順序性,同時幫助學生建立原有知識與新知識的聯(lián)系,把握新知識的生長點,形成整體觀念.

2.2 緊扣學生現(xiàn)實,制造疑難和困惑

問題3如何研究正弦函數(shù)y=sinx的圖象?

學生根據(jù)先前畫圖象的經(jīng)驗,可以通過“描點法”畫函數(shù)圖象.

教師追問:怎樣描點?學生認為可以取特殊點.

學生取點出現(xiàn)的可能情況有以下幾種:

教師追問:描點的過程中有沒有遇到困難?

設計意圖：借助學生已有的作圖經(jīng)驗,讓其親自經(jīng)歷動手描點的過程,感受到圖象的精確度會受每個點的精確度的影響,進而產(chǎn)生盡可能要精確描點的意愿,引發(fā)學習的內(nèi)在需求.

2.3 依托數(shù)學思考,感受信息技術(shù)運用的優(yōu)勢

教師引導:剛才通過粗略計算描點不夠準確,怎么辦?追本溯源,回歸到正弦函數(shù)的定義,看看有沒有發(fā)現(xiàn)?

教師引導:研究問題,先特殊再一般,剛才研究了特殊點在單位圓中對應的幾何量,那么對于任意的一點(x0,sinx0)如何在單位圓中找到對應的幾何量呢?

學生自然想到借助單位圓能夠明確x0和sinx0在單位圓中對應的幾何量.

教師追問:如何精確描出任意點(x0,sinx0)?

學生感到有困難,讓單位圓在紙上滾動不實現(xiàn),只能粗略估計橫坐標x0的位置,這不是又不精確嗎?

教師不失時機地利用幾何畫板動態(tài)展示滾動與平移過程,具體步驟為:在單位圓上任取一點B,∠AOB的弧度數(shù)為x0,將單位圓在x軸上滾動,得到點的橫坐標x0,其縱坐標與點B的縱坐標相同,將MB平移到x0的位置,得到點T,如圖2.

圖2 描點T(x0,sin x0)

設計意圖：通過教師的引導、追問,引發(fā)學生不斷深入思考,分散學習難點,使學生感受到傳統(tǒng)教學手段不易實現(xiàn),進而體味到信息技術(shù)運用的必要性和優(yōu)越性,發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).

2.4 借助信息技術(shù),促進數(shù)學思維的深層發(fā)展

問題5我們已經(jīng)學會了精確繪制正弦函數(shù)圖象的某一個點,如何畫出函數(shù)y=sinx的圖象呢?

學生馬上會想到,可以運用幾何畫板精確畫出問題3中情況1和情況2所取的點,然后用光滑的曲線連接就可以得到y(tǒng)=sinx的圖象,如圖3、圖4所示.

圖3

圖4

教師追問:大家都這樣認為嗎?

教師引導:對比圖3和圖4,大家發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同之處?

學生發(fā)現(xiàn):形狀相同,取點均在區(qū)間[0,2π]上.

教師追問:正弦函數(shù)的定義域是什么?

學生注意到正弦函數(shù)的定義域為實數(shù)集.

教師追問:畫出了正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,2π]的圖象,你能想象出正弦函數(shù)在整個定義域上的圖象嗎?若能,依據(jù)是什么?

學生結(jié)合前面學過的誘導公式一,將y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次平移2π個單位長度),就可以得到y(tǒng)=sinx的圖象.師生總結(jié)描述正弦曲線.

設計意圖：通過運用幾何畫板作圖以及觀察圖3和圖4的異同和取點的區(qū)間,引發(fā)學生的認知沖突,促使學生深度思考,進而培養(yǎng)思維的深刻性和批判性,提高思維品質(zhì),直觀感受正弦函數(shù)圖象的周期性變化,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng),再次體味到信息技術(shù)運用的優(yōu)越性.

問題6在精確度要求不高的情況下,如何快速畫出正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象?

學生觀察圖3和圖4,發(fā)現(xiàn):圖3比圖4方便,僅需五個點就可以快速畫出正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象.

教師追問1:少于五個點可以嗎?

教師追問2:五個點可以任取嗎?

學生經(jīng)過動手實踐,體會到少于五個點和任取五個點會出現(xiàn)不能很好描述正弦函數(shù)圖象走勢的情況.

教師總結(jié):在精確度要求不高時,這五個點就是畫正弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵點,描點后用光滑的曲線連接起來,就能得到正弦函數(shù)在[0,2π]的簡圖(信息技術(shù)展現(xiàn)),這種方法叫做“五點法”,非常實用簡便.

設計意圖：透過現(xiàn)象把握本質(zhì),通過對圖3和圖4的比較發(fā)現(xiàn)繪制正弦圖象的五個關(guān)鍵點,運用信息技術(shù)實現(xiàn)光滑曲線的連接過程,將“五點法”作圖步驟可視化,深化學生對正弦函數(shù)圖象形狀的認識,體味數(shù)學學科對簡潔美的追求.

2.5 采用類比遷移,引發(fā)自主探究學習

問題7如何作出余弦函數(shù)y=cosx的圖象?

學生根據(jù)先前的作圖經(jīng)驗,給出如下方法:

(1)類比正弦函數(shù),借助單位圓.

(2)精確度要求不高的情況下,利用“五點法”作圖.

(3)利用誘導公式,建立正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系.

教師引導:學習知識就要學會橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系,類比正弦函數(shù)圖象的畫法研究余弦函數(shù)圖象的畫法非常好!

對于前兩種方法給與肯定,不具體展開.

圖5 y=sin x和的圖象

教師追問1:你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢?

設計意圖：將作余弦函數(shù)圖象的問題拋給學生,學生類比正弦函數(shù)圖象的作圖過程,通過獨立思考得到不同的作余弦函數(shù)圖象的方法.通過設計問題串引導學生深入思考,應用信息技術(shù)展示已知圖象與未知圖象的聯(lián)系,使學生感受圖象變換的奧妙,同時加強“五點法”的鞏固與應用.整個過程中充分展示了信息技術(shù)與數(shù)學思考互相促進發(fā)展的過程,使信息技術(shù)的運用不再流于單純的演示,而是目的明確、有效促進學生數(shù)學思維深層發(fā)展的必然過程;同時數(shù)學思維的不斷深入,離不開信息技術(shù)動態(tài)直觀的演示,有助于學生更好地理解數(shù)學知識.

2.6 構(gòu)建知識網(wǎng)絡,提升數(shù)學核心素養(yǎng)

問題8本節(jié)課你有哪些收獲?

學生回答:

(1)學會了繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,明白畫函數(shù)圖象的方法不唯一,有“五點法”“圖象變換法”“定義法”.

(2)感悟了數(shù)形結(jié)合、類比和轉(zhuǎn)化的思想方法,以及分析問題常用到的特殊到一般、分析、比較等思維方法.

(3)真正感受到了信息技術(shù)的功能,尤其是動態(tài)性和直觀性.

教師與學生共同整理研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的思路并構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡圖,如圖6.

圖6

設計意圖：學生的學習是知識增長、能力提升和情感發(fā)展的過程,通過對學習的反思,促使學生形成新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu),能夠從整體把握研究函數(shù)的一般方法,實現(xiàn)從“授之以魚”過渡到“授之以漁”,使學生獲得良好的情感體驗,從“要我學”逐步轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W”,進而實現(xiàn)“我會學”,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).

3 結(jié)束語

合理運用信息技術(shù)可以輔助數(shù)學教學,不僅可以加強數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程,加深對數(shù)學概念的理解和認識,體現(xiàn)知識之間的邏輯聯(lián)系,更能體現(xiàn)以“獨立思考、合作交流、啟發(fā)引導”為特征的教與學的方式.數(shù)學教學與信息技術(shù)的深度融合不是一蹴而就的,需要不斷摸索、創(chuàng)新和反復實踐檢驗.