王磊

【摘 要】? 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域非常重要的解題思想之一，在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，能夠讓一些原本復(fù)雜、較難解答的習(xí)題得以輕松解答，同時也能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性.因此，探索數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，有著非常積極的研究價值.全文主要圍繞“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”兩個方面分析數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，拋磚引玉，希望能有一定參考價值.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；解題教學(xué)

1? 數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵與價值

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，“數(shù)”與“形”是兩個重要的因素，兩者相互呼應(yīng)，彼此轉(zhuǎn)化，“數(shù)”即數(shù)字與數(shù)理關(guān)系，“形”即形狀與圖形變化，“數(shù)”具有規(guī)則性，“形”具有直觀性，將數(shù)與形象結(jié)合，通過“數(shù)”與“形”之間的互通、轉(zhuǎn)化，來剖析某一個數(shù)學(xué)問題[1].

在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要有兩種模式，一種是“以數(shù)解形”，一種是“以形助數(shù)”.“以數(shù)解形”指的是面對抽象的、復(fù)雜的圖形，運用數(shù)字去定義圖形，用數(shù)理關(guān)系去映射圖形的特點，在運用數(shù)學(xué)方法去進行數(shù)算，解開數(shù)字及數(shù)理關(guān)系，也就解答了圖形的特點.“以形助數(shù)”，則是面臨繁雜的數(shù)字或數(shù)理關(guān)系，用直觀的圖像將其呈現(xiàn)出來，很多時候“一圖勝千字”，可直觀觀察出圖像的特點，進而對數(shù)理關(guān)系進行解答[2].

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，能夠提升學(xué)生的解題能力，使得學(xué)生面臨繁雜的習(xí)題時，能夠運用簡便的方法去進行解答[3].同時，教師教導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，還能夠鍛煉學(xué)生思維靈活性，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個方面，運用多種方法去解答習(xí)題[4].

2? 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略

2.1? 以數(shù)解形

對于一些復(fù)雜的圖形，用肉眼難以去觀察到圖形的規(guī)律，那么這個時候用數(shù)字去定義圖形，再去解答代數(shù)，找到數(shù)理關(guān)系的規(guī)律，也就找到了圖形的規(guī)律[5].

例1? 如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=4，E為BC的中點，F(xiàn)為BD上的一個動點，求△CFE的周長的最小值.

解題思路? 在正方形ABCD中，AB等于4，E為BC的中點，則BE和EC均為2，要求得△CFE的周長的最小值，則只需要求得EF+FC的最小值即可.而為了求得EF+FC的最小值，敏銳觀察到這是初中數(shù)學(xué)典型的“將軍飲馬”“取中修路”模型的變形，特點是“兩定一動”，BD就是“路”，E與C為“路”一側(cè)的定點，F(xiàn)為動點.因此，順勢做AF連接線，如下圖2所示，AF與FC沿著BD軸對稱，其長度相同，EF+FC的最小值，即為EF+AF的最小值，很方便地觀察到在F點（AE與BD的交點）時，得到EF+AF的最小值.解題思路清晰之后，再逐步去計算即可.

解題? 由題意可知AB=4，BE=EC=2，△CFE的周長為EF+FC+EC

連接AF，AF與FC沿著BD軸對稱，則EF+FC=EF+AF

∵F為BD上動點，EF+AF≥AE，

A、F、E三點共線的時候，EF+AF值最小

∴在F＇點（AE與BD的交點）時，得到EF+AF的最小值，

此時EF+AF=AE=

∴△CFE的周長的最小值為EC+AE=2+2√5

2.2? 以形助數(shù)

面對一些較為復(fù)雜的數(shù)理關(guān)系，則利用畫圖的方式，用直觀的圖像將其呈現(xiàn)出來，去直觀觀察或分析圖像的特點，進而對數(shù)理關(guān)系進行解答，得出答案.

例4? 若a2+b2=5，求2a+3b的最大值？

解題思路? 單純進行計算并不容易，可通過數(shù)形結(jié)合的方式進行解答.第一步，觀察到a2+b2=5，敏銳得知這是一個圓形，在橫軸為a，縱軸為b的坐標系中以O(shè)為圓心做圓，則可得圓的半徑為.第二步，觀察2a+3b的最大值，則主要研究方向為將其轉(zhuǎn)化為幾何表達，設(shè)2a+3b=m，則可得b=-a+m，為b與a關(guān)聯(lián)的一次函數(shù)，且該一次函數(shù)在圓的范圍（與圓相交），那么就可以從圖形中觀察到，要求得m的最大值，就是一次函數(shù)b=-a+m與縱軸交點的縱坐標的最大值，而一次函數(shù)b=-a+m與圓a2+b2=5相切的時候，得到最大值，如圖6所示.第三步，在圖形上標記出數(shù)值，按照這一解題思路順序，依次進行解答即可，解題過程則如下圖7所示.

解答 如圖6所示，圓形a2+b2=5，其半徑為

設(shè)2a+3b=m，則可得b=-a+m

b=-a+m與圓a2+b2=5相交，在相切時可得m最大值

再如圖7所示，b=-a+m與圓相切時，

與縱軸的交點為A（0，m），與橫軸的交點為B（m，0）

在△AOB中，由勾股定理得AB=m

S△AOB=m·=m·m

∴m=

4 結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合是一個非常優(yōu)秀的解題方法，將數(shù)與形這兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域至關(guān)重要的因素結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的互通、轉(zhuǎn)化，來解答數(shù)學(xué)習(xí)題，將繁復(fù)的數(shù)學(xué)習(xí)題用簡單的方法解答出來.

參考文獻：

[1]香欽源.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2023（17）：20-21.

[2]林越.數(shù)形相依 珠聯(lián)璧合——數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的策略探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（14）：17-19.

[3]楊遠鴻.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用——以初中函數(shù)問題為例[J].數(shù)理天地（初中版），2023（01）：52-53.

[4]王瑩.試析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2022（07）：185-187.

[5]岳自利.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2022（05）：71-73.