敖羚峰

［摘? 要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是在知識(shí)傳授的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究能力，這項(xiàng)能力將有益于學(xué)生的終身學(xué)習(xí). 新一輪的課程改革也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，在傳統(tǒng)教學(xué)課程的基礎(chǔ)上推出了一類新型教學(xué)課程——數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 文章以“探究楊輝三角的性質(zhì)”一課為例，探討實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的策略.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)探究；高中數(shù)學(xué)；楊輝三角

研究背景

隨著新課改的推進(jìn)，新課標(biāo)在傳統(tǒng)教學(xué)課程的基礎(chǔ)上推出了一類新型教學(xué)課程——數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，并配備了相應(yīng)的課時(shí). 它們分布于教材的各個(gè)板塊，既獨(dú)立于各個(gè)章節(jié)，與各個(gè)章節(jié)是平行的關(guān)系，又是對相關(guān)章節(jié)內(nèi)容的應(yīng)用與拓展. 新教材發(fā)生了很大的變化，由原先的5萬字變成了現(xiàn)在的15萬字，新增內(nèi)容有較大篇幅用于建設(shè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 由此可見，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)板塊有重要的地位. 從數(shù)學(xué)教育的發(fā)展來看，這也是一種趨勢，此類課程區(qū)別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課，重在培養(yǎng)學(xué)生的活動(dòng)與探究能力，有助于開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情懷，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的“育人價(jià)值”.

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)應(yīng)該如何實(shí)施呢？筆者以上過的一節(jié)優(yōu)質(zhì)課“探究楊輝三角的性質(zhì)”為例（本節(jié)課內(nèi)容位于人教A版必修第一冊〈2019版〉教材），談?wù)剬?shí)施策略.

實(shí)施策略

1. 創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生想探究［1］

愛因斯坦說過，“興趣是最好的老師”. 只有創(chuàng)設(shè)良好的且與生活息息相關(guān)的教學(xué)情境，學(xué)生才會(huì)萌發(fā)強(qiáng)烈的探究欲望，一節(jié)探究課才能順利開展.

在“引入”階段中，教師首先通過大量圖片展示了現(xiàn)實(shí)生活中的不同類型的彈珠游戲機(jī)，學(xué)生此時(shí)被熟悉的游戲所吸引；接著邀請學(xué)生在現(xiàn)場一起玩了一個(gè)游戲——高爾頓板游戲，并觀察現(xiàn)象. 如圖1所示，學(xué)生重復(fù)玩游戲，在游戲中觀察現(xiàn)象，并得到一個(gè)結(jié)論：最終小球的分布為中間多、兩邊少.

教師在游戲中提問道：為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？能否從數(shù)學(xué)的角度予以解釋？在教師不斷的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過討論與分析，通過數(shù)學(xué)建模的方式，將該問題抽象為了數(shù)學(xué)模型——路徑模型. 如圖2所示，可以用組合數(shù)公式計(jì)算小球從頂點(diǎn)位置落到任意位置的路徑數(shù). 同一層上，哪個(gè)位置的路徑數(shù)越大，到達(dá)該位置的可能性也就越高. 通過計(jì)算，得到如圖3所示的楊輝三角和三角形組合數(shù)表.

在這個(gè)過程中，通過游戲的方式，激發(fā)學(xué)生開展探究的興趣與動(dòng)力. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并得到楊輝三角. 一方面，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)探究能力；另一方面，通過探究得到楊輝三角，真切感受數(shù)學(xué)源于生活且服務(wù)于生活. 在這一階段，通過聯(lián)系生活實(shí)際，利用現(xiàn)場游戲，讓學(xué)生想探究.

2. 提供示范，讓學(xué)生能探究

由于學(xué)生還不具備較強(qiáng)的獨(dú)立探究意識(shí)與能力，因此在學(xué)生開展獨(dú)立探究活動(dòng)之前，教師應(yīng)該立足探究對象，設(shè)計(jì)容易思考與上手的問題，并為學(xué)生搭建好“腳手架”，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，逐步開展探究活動(dòng). 學(xué)生在一步步的引導(dǎo)中，將逐步掌握數(shù)學(xué)探究方法，逐步理解可以從哪些角度展開探究，如何進(jìn)行探究. 在這個(gè)過程中，既充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)地位以及學(xué)生的主體地位，也為后續(xù)學(xué)生開展自主探究活動(dòng)提供了示范作用.

楊輝三角的應(yīng)用廣泛，那么它究竟具備什么性質(zhì)呢？又如何探究它的性質(zhì)呢？教師介紹道：接下來，我們將一起運(yùn)用數(shù)學(xué)探究“三部曲”（觀察探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律—?dú)w納猜想，交流展示—論證推理，生成性質(zhì)）來探尋楊輝三角的奧秘.

首先，觀察探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 教師提問道：請觀察（圖3）左邊的數(shù)表，有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生回答道：整體是對稱的. 例如，第3行第一個(gè)數(shù)字與最后一個(gè)數(shù)字均為1，第二個(gè)數(shù)字與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)字均為3. 但這還只是停留于數(shù)字層面.

其次，歸納猜想，交流展示. 教師又提問道：能否從中獲得一般規(guī)律？

通過師生合作、共同探究的方式，完整呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究“三部曲”. 在探究中，學(xué)生逐步掌握了數(shù)學(xué)探究方法. 這一環(huán)節(jié)給學(xué)生提供了一個(gè)數(shù)學(xué)探究藍(lán)本，起到了示范作用. 學(xué)生參照藍(lán)本，有法可循，能夠獨(dú)立開展后續(xù)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

3. 小組合作，讓學(xué)生會(huì)探究

良好的探究藍(lán)本與教師引導(dǎo)，僅僅停留于理論層面，很難讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)探究方法. 只有讓學(xué)生通過小組合作，仿照示例，獨(dú)立開展探究活動(dòng)，才有助于學(xué)生真正學(xué)會(huì)探究. 因此，教師還需要給學(xué)生留下足夠的合作探究時(shí)間，讓學(xué)生合作完成相關(guān)的探究活動(dòng).

（1）觀察探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

布置課堂研討任務(wù)：以小組為單位，仿照探究范例，從橫向、縱向、斜列、整體、局部等多角度探究楊輝三角的數(shù)字規(guī)律，用組合數(shù)予以表示，并嘗試證明探究結(jié)果.

因?yàn)閷W(xué)生對數(shù)學(xué)探究還不夠熟練，所以不能讓學(xué)生盲目開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 在提供探究示范藍(lán)本的前提下，還需要布置明確的探究任務(wù)，給出明確的探究提示與探究方向，由此保證學(xué)生能夠依照提示和方向順利開展探究活動(dòng). 此外，還需要留出充足的時(shí)間供學(xué)生進(jìn)行思考與討論，真正將數(shù)學(xué)探究落到實(shí)處.

（2）歸納猜想，交流展示.

在一番探究與討論之后，學(xué)生仿照范例，交流各自的探究結(jié)果. 具體方式為：先講數(shù)字上的規(guī)律，再將其轉(zhuǎn)化為組合數(shù)進(jìn)行表示. 學(xué)生從橫行與斜列兩個(gè)維度分別得到了以下猜想.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生充分發(fā)揮想象力，通過觀察，逐步總結(jié)數(shù)字規(guī)律，再利用組合數(shù)予以表示，最后進(jìn)行交流. 在這個(gè)探究過程中，學(xué)生采用“不完全歸納”的探究方式，從特殊情形出發(fā)逐步總結(jié)一般規(guī)律，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)探究能力.

（3）論證推理，生成性質(zhì).

接下來，引導(dǎo)學(xué)生類比示例，從組合數(shù)的定義和意義兩個(gè)角度對猜想進(jìn)行論證，從而將其升級(jí)為性質(zhì).

論證猜想3：學(xué)生通過對比等式左右兩側(cè)發(fā)現(xiàn)，左側(cè)的10的次方代表每一個(gè)數(shù)字的位數(shù)，每一個(gè)數(shù)字恰為相應(yīng)的組合數(shù)；右側(cè)的11n可以寫為11n=（10+1）n，由二項(xiàng)式定理將該式展開，恰好為等式的左側(cè). 于是猜想3得證.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生從組合數(shù)的定義和意義兩個(gè)角度對所得的猜想進(jìn)行了推理論證，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的完整性與嚴(yán)謹(jǐn)性. 這一環(huán)節(jié)與前兩個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)合起來，構(gòu)成了課堂數(shù)學(xué)探究的完整步驟，更進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.

在這個(gè)過程中，學(xué)生通過小組合作，在教師的指導(dǎo)下，自主展開了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，并依次經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究“三部曲”，生成了性質(zhì). 在探究的各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)踐中，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)探究方法.

5. 設(shè)置懸念，讓學(xué)生愛探究

除了上述性質(zhì)外，楊輝三角還有很多美好的性質(zhì). 例如，將楊輝三角中的奇數(shù)部分涂黑，可以得到分形數(shù)學(xué)中的謝爾賓斯基三角形，使用它還可以進(jìn)行平面拓展與空間拓展，法國的埃菲爾鐵塔與大量的電子元件中就使用了這個(gè)模型. 此外，很多藝術(shù)家也使用分形原理進(jìn)行藝術(shù)創(chuàng)作，獲得了大量的藝術(shù)作品. 通過大量圖片的展示，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

通過分形數(shù)學(xué)的展示和手算開方的探究，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美，產(chǎn)生更強(qiáng)的探究欲望. 給學(xué)生布置課后探究任務(wù)，留下懸念，讓學(xué)生在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中獲得成就感，體會(huì)數(shù)學(xué)探究的價(jià)值，從而愛上數(shù)學(xué)探究.

結(jié)語

在實(shí)際教學(xué)中，教師在教給學(xué)生課本知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)充分挖掘素材，適當(dāng)?shù)亟M織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力. 在這個(gè)過程中，需要教師做到：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望；給學(xué)生提供探究藍(lán)本，讓學(xué)生有法可循；給學(xué)生提供足夠的探究時(shí)間與探究指導(dǎo)，幫助學(xué)生順利開展探究活動(dòng)；最好還要設(shè)置一定的懸念，讓學(xué)生在課后能夠繼續(xù)探究下去. 數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)，對學(xué)生而言，將是終身受益的.

參考文獻(xiàn)：

［１］ 陳慧. 在探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力［Ｊ］. 教育觀察，２０１８，７（１８）：９８－９９.

［２］ 張明歡，周欣，張啟明. “楊輝三角”的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施［Ｊ］. 初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，２０２０（２０）：２１－２３.