肖安群

［摘 要］小學(xué)生的思維以形象為主，而抽象、概括能力又是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，兩者之間的矛盾可以通過畫數(shù)學(xué)化解。文章通過研究畫數(shù)學(xué)，旨在讓學(xué)生畫出數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在一致性，畫出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，畫出問題解決的模型，畫出數(shù)學(xué)思考的過程，進(jìn)而深層感悟“數(shù)學(xué)味”，促成思維進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)提升。

［關(guān)鍵詞］畫數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；模型意識

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）05-0056-04

小學(xué)生的思維以形象為主，數(shù)學(xué)的深層認(rèn)識卻需要抽象思維，兩者之間就存在“層差”，加上基于小學(xué)數(shù)學(xué)多數(shù)結(jié)論的形成以歸納為主，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力是一個大難點(diǎn)。另外，基于數(shù)學(xué)問題解決及模型運(yùn)用的需要，學(xué)生要用數(shù)學(xué)信息表達(dá)生活內(nèi)容，但因其綜合度高，小學(xué)生難以完成，需要給小學(xué)生一個適合的元認(rèn)知策略，以輔助他們完成。這些問題可以通過畫數(shù)學(xué)這一手段來解決：把抽象的數(shù)學(xué)具象化，在畫中厘清結(jié)構(gòu)、洞察關(guān)系、感悟本質(zhì)、提升思維，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、畫異同——明白內(nèi)在一致性

（一）畫出整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的一致性

整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算算理有著內(nèi)在統(tǒng)一性，這個內(nèi)在統(tǒng)一性可以通過畫數(shù)學(xué)的方式統(tǒng)一起來，建立結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式。

例如，教學(xué)42÷2時，教材是采取“分一分”的方法來呈現(xiàn)思考過程的，即先把4捆小棒（4個十）平均分兩份，每份2捆（2個十），再把2根小棒（2個一）平均分兩份，每份1根（1個一），這是按照“十”與“一”兩個計(jì)量單位上的量的多少進(jìn)行平均分。筆者將教材例題改編為32÷2和35÷2進(jìn)行教學(xué)：對于32÷2，由于3個十不能平均分為2個整十，要“拆整為零”，在對2個十進(jìn)行平均分后，把剩下的1個十拆開，與個位上的2個一合為12個一后再平均分，這樣把高級單位降為低級單位，可以創(chuàng)造繼續(xù)平均分的條件（如圖1）；對于35÷2，有兩次這樣的降位過程，第一次是十位余下1個十到個位，第二次是1個一余到十分位，這兩次降位，可以利用元和角之間的關(guān)系，用畫圖策略厘清算理（如圖2）。

對比這3個算式的教學(xué)，抓住計(jì)數(shù)單位這個根本原理，通過畫圖，用降位的方式，按計(jì)數(shù)單位逐位平均分，算理上便形成了一致性，使平均分的軌跡得以顯現(xiàn)，計(jì)算背后的道理也得以形象化。

（二）畫出數(shù)與運(yùn)算的一致性

數(shù)與運(yùn)算是一致的，終極指向都是計(jì)數(shù)單位上的量的多少。例如，教學(xué)9+7時，可以從兩個角度來理解計(jì)算過程。首先，“分”與“合”算理的理解，把7分為1和6，其中的1和9合成1個十，再和剩下的6個一合成16，可以通過圈小棒圖來理解“滿十進(jìn)1”的道理。其次，是在計(jì)數(shù)器上畫一畫，將這一抽象概括的過程清晰地展示出來：滿十進(jìn)1后，這個1在十位，表示1個十，6在個位，表示6個一，合起來是16，這是個兩位數(shù)，每個數(shù)位上的位值不同，計(jì)數(shù)單位也就不同。

學(xué)生通過畫能夠真正明白：加法計(jì)算時要“滿十進(jìn)1”，這是計(jì)算的法則，同樣也是計(jì)數(shù)和數(shù)數(shù)的要求，兩者道理是相通的。所以說，數(shù)與運(yùn)算具有一致性。

二、畫思路——悟出本質(zhì)和道理

解決問題的方法背后，往往有著深奧的道理。通過畫數(shù)學(xué)，學(xué)生能將模糊的思維畫清晰，頓悟相關(guān)條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，能透過表面洞察知識背后的本質(zhì)。

（一）畫出數(shù)學(xué)方法背后的道理

例如，在教學(xué)“搭配問題”中，用2件不同的上衣和3條不同的褲子搭配，共有6種不同的搭配方式，算式是2×3=6，那為什么算式恰好是2×3=6？直接理解這個乘法算式的道理對學(xué)生來說很難，但通過畫圖和連線，能讓知識變得形象（如圖3）。

（二）畫出數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的本質(zhì)

在探究除法豎式的秘密中，俞正強(qiáng)老師問學(xué)生：“加、減、乘法都是把需要計(jì)算的數(shù)寫成上下兩排，再畫一道橫線，最后把結(jié)果寫在橫線下面，那為什么除法的結(jié)果是放在算式的最上面？”俞正強(qiáng)老師解釋：其中的關(guān)鍵是除法的豎式能有效展現(xiàn)平均分的過程。為了說清這個道理，俞正強(qiáng)老師正是用畫數(shù)學(xué)的方式來解釋。如將6個桃子平均分給3只小猴，每只小猴拿到幾個桃子？畫出的思路如圖4所示：第一行的圖示表示被除數(shù)6，即原來有6個桃子；第二行的圖示表示6個桃子被3只小猴拿走了，每只小猴拿到2個桃子，即2×3=6；第三行的圖示表示原有的6個桃子都被拿走了，剩下0個桃子，即6-6=0（個）。

很少有人去質(zhì)疑除法豎式為什么這樣寫，大都認(rèn)為這樣的格式是天然生成的，但若細(xì)問成因，則難究其根。而用畫圖的策略，則能明白過程、直達(dá)本質(zhì)、答疑解惑。

三、畫過程——豐富模型意識

畫數(shù)學(xué)的過程往往會運(yùn)用到思維模型。學(xué)生會調(diào)用自己的生活經(jīng)驗(yàn)和模型策略經(jīng)驗(yàn)，不自覺地將問題對象模型化。以乘法分配律教學(xué)內(nèi)容為例。

師：通過計(jì)算，我們知道了2×（5+3）和2×5+2×3的結(jié)果相等，它們的結(jié)果為什么相等呢？有什么辦法來說明呢？

生1：我是畫購買筆和練習(xí)本的情況來理解的（如圖5）。

生2：我是用符號來表示的（如圖6）。

生3：用長方形的面積也能表示（如圖7）。

師：你們畫得非常棒！對于算式2×（5+3）=2×5+3，你認(rèn)為對嗎？又該怎樣說明呢？

生4：這個算式是錯的，可以用錢數(shù)來說明（如圖8）。

數(shù)學(xué)模型是對生活原型的概括和提煉，它是以合適的數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言，精準(zhǔn)表達(dá)事物的特征、相互關(guān)系和存在的規(guī)律。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過程之一就是自主建立數(shù)學(xué)模型，對小學(xué)生來說，依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和模型經(jīng)驗(yàn)，由具體的情境素材提煉成抽象的數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)歷畫的過程，可使原先堵塞的環(huán)節(jié)被打通，學(xué)習(xí)思路豁然開朗。

四、畫重點(diǎn)——形成高階思維

日本數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時發(fā)揮作用，使他們終身受益。然而在實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)教師都有這樣的苦惱：用怎樣的方式才能有效促使學(xué)生擁有深刻的數(shù)學(xué)思維呢？研究表明，后天的經(jīng)歷和學(xué)習(xí)對思維的提升有很大的幫助。針對小學(xué)生的年齡特征，畫數(shù)學(xué)可以有效地提升學(xué)生的思維層次。

（一）經(jīng)歷畫的過程，讓探究深一些

教學(xué)要求學(xué)生畫出圓柱（如圖9-1）的展開圖。

生1：這個圓柱的展開圖是1個正方形和2個圓。

生2：不對，這個圓柱的展開圖是1個長方形和2個圓。

生3：這個圓柱的展開圖是1個長方形和2個圓，長方形的長等于圓的周長（πd），長方形的寬等于圓柱的高。由于長方形的長比圓的直徑的3倍多一些，所以我畫的圖示中長方形的長比圓的3段直徑的長度長一些（如圖9-2）。

生1只感受到展開圖的大致形狀，卻把握不住展開圖與立體圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系；生2能夠修正生1的錯誤，知道展開圖的長不是對應(yīng)著直徑；生3在畫圖中，能將長方形的長準(zhǔn)確對應(yīng)圓的直徑的3倍多一些的關(guān)系，思維層級明顯上升。這樣的作圖分析過程，能讓學(xué)生把抽象的對應(yīng)關(guān)系在具體的圖示中顯現(xiàn)出來，助力思維的提升。

（二）經(jīng)歷畫的過程，讓算理淺顯易懂

隔位退位減法是教學(xué)的一大難點(diǎn)，學(xué)生難以理解借1的必要性和借1的方法。以“201-186”為例，筆者和學(xué)生共同畫圖（如圖10-1）。結(jié)合圖示，筆者組織學(xué)生進(jìn)一步討論：201-186的豎式中有兩個退位點(diǎn)，這兩個退位點(diǎn)在圖示中的哪里？基于討論，筆者和學(xué)生繼續(xù)完善圖示（如圖10-2）。

通過這個完善過程，將抽象的退位對應(yīng)關(guān)系用流程圖表達(dá)出來，用形的變化表達(dá)數(shù)的變化過程，把問題的本質(zhì)形象地展示出來，使抽象的算理與圖的軌跡一一對應(yīng)，讓算理變得淺顯易懂。

（三）經(jīng)歷畫的過程，讓思維轉(zhuǎn)向

數(shù)與形的對應(yīng)，還可以設(shè)計(jì)為逆向思考形式。例如，教學(xué)折線統(tǒng)計(jì)圖后，讓學(xué)生將原龜兔賽跑故事以及將故事新編設(shè)計(jì)成折線圖（實(shí)線表示烏龜?shù)倪\(yùn)動軌跡，虛線表示兔子的運(yùn)動軌跡）。

生1：我是按原故事來畫折線圖的，烏龜最終贏得了比賽（如圖11-1）。

生2：我將故事進(jìn)行新編，兔子雖然偷懶了，但它乘勝追擊，最終兩者同時到達(dá)終點(diǎn)（如圖11-2）。

生3：我也將故事進(jìn)行新編，兔子沒有偷懶，迅速到達(dá)了終點(diǎn)。當(dāng)然，烏龜很有毅力，最終也堅(jiān)持到達(dá)了終點(diǎn)（如圖11-3）。

從讓學(xué)生看圖說意到畫圖表意，開放性的教學(xué)讓學(xué)生的思維更廣闊、創(chuàng)新點(diǎn)更多、思維層級更高。

（四）經(jīng)歷畫的過程，學(xué)會推導(dǎo)結(jié)論

部分教師在教學(xué)3的倍數(shù)的特征時，讓學(xué)生在百數(shù)表中通過猜想和歸納得出結(jié)論后，就結(jié)束探究活動，迅速進(jìn)入應(yīng)用練習(xí)環(huán)節(jié)，原因是這部分教師認(rèn)為這個特征只能用中學(xué)代數(shù)知識來證明，小學(xué)生推導(dǎo)起來難度太大。

筆者在教學(xué)這一課時，運(yùn)用畫圖的策略，將每個數(shù)位上的算珠3個3個地圈起來后，在余下的算珠中找到了“數(shù)字和”，用畫圖支持了“數(shù)字和”的判斷結(jié)論，打破了小學(xué)生不能講清數(shù)字和道理的論斷。

經(jīng)歷畫的過程、看形想數(shù)，學(xué)生能進(jìn)一步明確對應(yīng)關(guān)系，找到數(shù)量關(guān)系的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓條件之間的隱形對應(yīng)關(guān)系顯性化，提升思維層級。畫數(shù)學(xué)，如同一臺“X光機(jī)”，讓看不見的深層理論關(guān)系浮出水面，凸顯成像。

孔凡哲認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有主觀能動性的組織，人形成一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，一旦出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)信息，就會立即用相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對所面臨的信息進(jìn)行加工處理，從而表現(xiàn)出數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的能動性，其中，同化和順應(yīng)是學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種基本形式。而畫出思維的過程，特別容易實(shí)現(xiàn)這種同化和順應(yīng)（如圖12）。

綜上所述，畫出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，打開數(shù)學(xué)思考的大門，就是為思維搭梯子，為方法找鑰匙，為拓展開窗戶。由圖出發(fā)，不止于圖，圖思結(jié)合，螺旋上升，走向抽象和邏輯推理，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會變得無比有趣。