陜西西安市未央?yún)^(qū)崇文路小學(xué) （710021） 陳 妮

陜西師范大學(xué)附屬小學(xué) （710119） 郝高峰

縱觀整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，五年級歷來以難點(diǎn)多、概念多、問題多的“三多”現(xiàn)象著稱。初等數(shù)論的啟蒙知識便集中在五年級。如賁友林老師在教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)（復(fù)習(xí)）”時(shí)就和學(xué)生羅列了11種“數(shù)”（因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、質(zhì)因數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)）。這些名稱各異的“數(shù)”，有的是具有某一類特征的數(shù)的統(tǒng)稱，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，有的是刻畫數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，如因數(shù)、倍數(shù)等。面對如此多的“數(shù)”，學(xué)生在學(xué)習(xí)中常會出現(xiàn)由“易”到“難”的過程，剛開始學(xué)習(xí)“倍數(shù)和因數(shù)”時(shí)，學(xué)生都覺得簡單易學(xué)，隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的推進(jìn)，煩惱隨之而來——概念間相互干擾，易混難辨，復(fù)習(xí)時(shí)更是“剪不斷，理還亂”。歸根結(jié)底，還是對概念理解不透的緣故。那么，如何改變這一現(xiàn)狀呢？基于整體視角，強(qiáng)化核心概念應(yīng)是一個(gè)有效的策略。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂，多以“因數(shù)”和“倍數(shù)”的概念統(tǒng)領(lǐng)其他概念，這本無可厚非。但筆者認(rèn)為還可以在期末復(fù)習(xí)時(shí)再進(jìn)一步，以“質(zhì)因數(shù)”作為核心概念，如此才能有效貫通初等數(shù)論在小學(xué)階段的有關(guān)內(nèi)容，觸及知識的本質(zhì)。

一、思考

為什么要在期末復(fù)習(xí)時(shí)強(qiáng)化“質(zhì)因數(shù)”這個(gè)概念？又為什么說“質(zhì)因數(shù)”觸及知識的本質(zhì)呢？

（一）算術(shù)基本定理

眾所周知，算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一條非?；厩抑匾亩ɡ恚褜Ψ橇阕匀粩?shù)的研究轉(zhuǎn)化為對其含有的最基本的元素，即質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）的研究。算術(shù)基本定理可以表述為：任何一個(gè)大于1 的自然數(shù)都可以分解為若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，而且分解是唯一的。這與小學(xué)數(shù)學(xué)中的分解質(zhì)因數(shù)相對應(yīng)?？梢哉f，數(shù)論研究的本質(zhì)就是質(zhì)數(shù)性質(zhì)的研究。

質(zhì)數(shù)的英文為“prime number”。Prime number之所以最終被翻譯為“質(zhì)數(shù)”，是因?yàn)閺囊驍?shù)分解的角度看它是不可再分的。而合數(shù)可以看作是由若干個(gè)質(zhì)數(shù)“合”成的。可見，任何一個(gè)大于或等于2的自然數(shù)都與它的質(zhì)因數(shù)有密切關(guān)系。即質(zhì)數(shù)本身就可以看作它自己的質(zhì)因數(shù)，而合數(shù)則是由它的若干個(gè)質(zhì)因數(shù)的積“合”成的。從質(zhì)因數(shù)的角度研究自然數(shù)更有利于觸及其本質(zhì)。

（二）教學(xué)中對“質(zhì)因數(shù)”的處理

現(xiàn)行教材中有關(guān)“質(zhì)因數(shù)”內(nèi)容的呈現(xiàn)方式不盡相同，“留”卻不能盡其用，“舍”偏又“舍不得”，頗有“食之無味，棄之可惜”之感。現(xiàn)以下面三個(gè)版本的教材為例予以比較（見表1）。

表1 三個(gè)版本的教材中的“質(zhì)因數(shù)”知識

通過比較不難發(fā)現(xiàn)，為了減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，各版教材在“因數(shù)與倍數(shù)”單元中均有明顯淡化質(zhì)因數(shù)概念的意圖。其中，人教版教材在教學(xué)因數(shù)、質(zhì)數(shù)的概念時(shí)并未提及質(zhì)因數(shù)，只在“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，因約分和通分要用到最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的相關(guān)知識，才在“你知道嗎”欄目中簡單提及“分解質(zhì)因數(shù)”及“短除”；北師大版教材雖未提及“質(zhì)因數(shù)”等概念，卻在“因數(shù)與倍數(shù)”“分?jǐn)?shù)的意義”兩個(gè)單元中多次以“你知道嗎”的形式提及相關(guān)內(nèi)容；蘇教版教材雖然通過例題明確引出質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)的概念，卻再無下文。盡管如此，但也從另一個(gè)側(cè)面說明，各版本教材都認(rèn)為“質(zhì)因數(shù)”這部分內(nèi)容不能隨意從教材中移除。

實(shí)際教學(xué)更是如此。囿于各種原因，雖然有爭論，但大部分教師還是會補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，不過也和教材一樣，只是將“質(zhì)因數(shù)”“分解質(zhì)因數(shù)”作為短除或者短除法求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的附屬品，并沒有充分挖掘其所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)教育價(jià)值。

（三）“質(zhì)因數(shù)”的教學(xué)價(jià)值探尋

這部分的所有概念均源于“因數(shù)”和“倍數(shù)”兩個(gè)概念。比如質(zhì)數(shù)是只有1 和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)；偶數(shù)是有因數(shù)2（或是2的倍數(shù)）的數(shù)等。質(zhì)因數(shù)也不例外，它是質(zhì)數(shù)和因數(shù)的組合體。因此其他概念表面上都可以越過“質(zhì)因數(shù)”，直接或間接與“因數(shù)”建立起聯(lián)系，從而形成一個(gè)龐大的概念網(wǎng)。需要教師注意的是，這些概念之間只是建立起了“形”上的聯(lián)系，缺少“質(zhì)”的溝通。基于算術(shù)基本定理，從“質(zhì)因數(shù)”的視角反觀這些概念，恰恰能實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。

1.因數(shù)和倍數(shù)

因?yàn)橐驍?shù)和倍數(shù)本身就是一對相互依存的概念，所以我們只討論質(zhì)因數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。從質(zhì)因數(shù)的視角看，不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的因數(shù)就是由其所含有的質(zhì)因數(shù)決定的。比如12=22×3，那么20，21，22和30，31分別組合就會產(chǎn)生12 的6 個(gè)不同的因數(shù)。即1=20×30，2=21×30，4=22×30，3=20×31，6=21×31，12=22×31。

2.最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的若干個(gè)質(zhì)因數(shù)會“合”成它除1以外的所有因數(shù)，所以幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)當(dāng)然是由它們公有的質(zhì)因數(shù)合成的（1 除外）。那么最大公因數(shù)就是幾個(gè)數(shù)所有的公有質(zhì)因數(shù)的積。而最小公倍數(shù)不僅包含幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，還得乘上它們各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。短除法只是簡潔地記錄了這一過程。在最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)上不斷增加質(zhì)因數(shù)，就會構(gòu)成其他的公倍數(shù)。如A=2×3×3，B=2×3×5。（A，B）=2×3=6，［A，B］=2×3×3×5=90。

3. 2、3、5的倍數(shù)的特征

2 和5 的倍數(shù)特征看個(gè)位，恰恰是因?yàn)?0 只含有2和5兩個(gè)質(zhì)因數(shù)，即10=2×5?？梢?，一個(gè)整十?dāng)?shù)一定是2或5的倍數(shù)，所以只看個(gè)位就可以了。3的倍數(shù)的特征看各個(gè)數(shù)位，也是因?yàn)?，99，999，……中含有質(zhì)因數(shù)3。比如要判斷354 是不是3 的倍數(shù)，之所以可以根據(jù)3+5+4=12來判斷，是因?yàn)榘傥簧系摹?”表示的3 個(gè)100 可以看作3 個(gè)99 和3 個(gè)1，十位上的“5”表示的5 個(gè)10 可以看作5 個(gè)9 和5 個(gè)1，個(gè)位上的4 就是4 個(gè)1，而“3 個(gè)99”“5 個(gè)9”都含有質(zhì)因數(shù)3，即是3的倍數(shù)，只需要考慮剩下的“3個(gè)1”“5 個(gè)1”和“4 個(gè)1”，而這恰好暗合了各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和。同理，偶數(shù)和奇數(shù)（0 和1 除外）也和是否含有質(zhì)因數(shù)2密切相關(guān)。

4.約分和通分

約分就是同時(shí)剔除分子和分母中的公有質(zhì)因數(shù)的過程，即運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子、分母同時(shí)除以它們的公有質(zhì)因數(shù)，直至只剩下各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。通分就是不斷增添分子和分母的公有質(zhì)因數(shù)的過程。這里分子、分母同乘4 就相當(dāng)于同時(shí)2次增添共有質(zhì)因數(shù)2。

通過“質(zhì)因數(shù)”打通了這些概念之間的“隔斷墻”，讓這些在“因數(shù)”“倍數(shù)”概念統(tǒng)攝下的概念群真正融為一個(gè)整體后，“數(shù)”在學(xué)生的心中就不再是一個(gè)靜態(tài)的、固定的符號。學(xué)生知道它可以變換成不同的樣態(tài)后，在看見數(shù)，比如“20”時(shí)就會想：20是由2×2×5 合成的。這個(gè)想法也可以遷移到運(yùn)算中。這樣更利于學(xué)生深入研究數(shù)，并且逐步由“數(shù)”向“式”過渡。而這一切都植根于算術(shù)基本定理。

二、實(shí)踐

在課時(shí)教學(xué)時(shí)，教師將“質(zhì)因數(shù)”概念內(nèi)隱其中，在一定程度上可以將難點(diǎn)分散，減輕學(xué)生的概念負(fù)擔(dān)；在單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以通過“因數(shù)”和“倍數(shù)”將精簡后的諸多概念連成線、織成網(wǎng)，幫助學(xué)生整體建構(gòu)知識體系。如此，到期末復(fù)習(xí)時(shí)，教師就可以捅破最后一層“窗戶紙”，以“質(zhì)因數(shù)”作為核心概念貫通小學(xué)“初等數(shù)論”內(nèi)容復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生撥云見日，明確知識的本質(zhì)?；诖耍P者做了如下嘗試。

（一）以“質(zhì)數(shù)”為引，確立核心概念

【教學(xué)片段1】

師：在“因數(shù)與倍數(shù)”單元，我們學(xué)了許多不同的“數(shù)”，它們有些是一類數(shù)的統(tǒng)稱，有些則反映了數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。你能分得清嗎？

生1：偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)均表示一類具有共同特點(diǎn)的數(shù)；因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及質(zhì)因數(shù)等，是表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系的數(shù)。

師：說得真好。那么在“偶”“奇”“質(zhì)”“合”這四類數(shù)中，人們對哪一類數(shù)情有獨(dú)鐘？

生2：質(zhì)數(shù)！因?yàn)樗挥?和它本身兩個(gè)因數(shù)。

生3：我還知道很多數(shù)學(xué)家都喜歡研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。我們書上介紹過的“哥德巴赫猜想”就跟質(zhì)數(shù)有關(guān)，我還聽說過“孿生素?cái)?shù)”呢。

生4：質(zhì)數(shù)在密碼學(xué)中還有廣泛的應(yīng)用！

師：質(zhì)數(shù)，又叫素?cái)?shù)。數(shù)學(xué)有一門分支叫“數(shù)論”，主要是研究自然數(shù)的性質(zhì)，包括質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。與質(zhì)數(shù)相對的概念叫“合數(shù)”。我們常說“人如其名”，你有沒有想過，質(zhì)數(shù)“質(zhì)”在哪里？合數(shù)又是由什么“合”成的呢？

生5：合數(shù)是由質(zhì)數(shù)合成的。如6=2×3，6 就是由質(zhì)數(shù)2 和質(zhì)數(shù)3“合”成的。質(zhì)數(shù)就是數(shù)的本質(zhì)、數(shù)根，不需要用別的數(shù)合成。

師：合數(shù)20是由“2×2×5”“合”成的。我們知道，任何一個(gè)合數(shù)都能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積的形式，而且如果不考慮順序，這個(gè)分解式是唯一的。這幾個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，因此都叫這個(gè)數(shù)的“質(zhì)因數(shù)”。今天的復(fù)習(xí)課，我們就圍繞“質(zhì)因數(shù)”展開。

（二）以“質(zhì)因數(shù)”為核心，明晰概念本質(zhì)

1.投石問路：探索“質(zhì)因數(shù)”與“因數(shù)”的關(guān)系

【教學(xué)片段2】

師：老師寫一個(gè)數(shù)，你們能找到它的全部因數(shù)嗎？

（教師寫A，眾生搖頭，教師繼續(xù)寫A=2×2×3。）

師：現(xiàn)在呢？

生1：我能確定2 和3 都是它的因數(shù)，也是它的質(zhì)因數(shù)。

生2：4、6也是，因?yàn)?×2=4，2×3=6。

生3：還有12，2×2×3=12。

生4：還有1。因?yàn)?是所有非零自然數(shù)的因數(shù)。

師：我們來整理一下，A 的因數(shù)有1，2，3，4（2×2），6（2×3）和12（2×2×3），其實(shí)A 就是12?，F(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：我發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的因數(shù)就是由它的質(zhì)因數(shù)一個(gè)一個(gè)、兩個(gè)兩個(gè)，這樣幾個(gè)幾個(gè)“合”成的。

生6：我發(fā)現(xiàn)用“質(zhì)因數(shù)”找因數(shù)時(shí)會漏掉“1”，大家一定要記得加上“1”。

2.舉一反三：自主溝通“質(zhì)因數(shù)”與其他概念

【教學(xué)片段3】

師：同學(xué)們，你們想研究質(zhì)因數(shù)與誰之間的關(guān)系？請以小組為單位，自主選擇研究方向。注意用質(zhì)因數(shù)的積的形式表示數(shù)，這樣會更便于大家發(fā)現(xiàn)關(guān)系。（學(xué)生合作探究后交流）

組1：我們組研究的是質(zhì)因數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系。通過研究A=2×2×3，B=2×3×5 發(fā)現(xiàn)，最大公因數(shù)就是把它們公有的質(zhì)因數(shù)乘起來（如圖1）。我們還用列舉的方法驗(yàn)證了A 是12，B 是30，它們的最大公因數(shù)是6。

圖1

組2：我們選擇用12 和18 來研究最小公倍數(shù)。12=2×2×3，18=2×3×3（如圖2）。我們用短除法試了一下，除數(shù)2和3就是它們的公有質(zhì)因數(shù)，最后剩下的商2是12獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)，3是18自己獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。最小公倍數(shù)乘“一圈”原來是這個(gè)道理。我們還可以看出最大公因數(shù)乘“一邊”的道理。

圖2

組3：我們發(fā)現(xiàn)偶數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，而奇數(shù)都不含有質(zhì)因數(shù)2。

組4：我們也研究了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)在短除過程中可以很容易看清以前不明白的東西，比如“為什么兩個(gè)數(shù)的積等于它們的最大公因數(shù)乘最小公倍數(shù)”。我們還用這種方式試了一下約分（如圖3），這不就是劃去共同的質(zhì)因數(shù)嘛，太有意思了！

圖3

師：同學(xué)們，如果說約分是劃去分子、分母公有的質(zhì)因數(shù)。那么，通分就是——

生（齊）：不斷增加它們的質(zhì)因數(shù)。

（三）以“算術(shù)基本定理”為落腳點(diǎn)，筑起概念的“承重墻”

【教學(xué)片段4】

師：今天，我們從“質(zhì)因數(shù)”角度更加深入地復(fù)習(xí)了這些曾經(jīng)讓我們眼花繚亂的概念。你們有什么想和大家交流的嗎？

生1：讓人茅塞頓開！質(zhì)因數(shù)太厲害了！它竟然和這么多知識都有聯(lián)系。

生2：我明白了以前沒有想明白的一些問題。比如短除法中之所以在求最大公因數(shù)時(shí)乘“一邊”，是因?yàn)檫吷系某龜?shù)就是它們所有的公有質(zhì)因數(shù)。這樣乘起來一定是最大的。

生3：我覺得學(xué)習(xí)不能只記概念，弄明白背后的道理更重要。

生4：我知道了為什么人們那么愛研究質(zhì)數(shù)，它真的很“質(zhì)樸”！看到合數(shù)，我們也可以把它想成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的樣子。

師：同學(xué)們，一個(gè)大于等于2 的自然數(shù)一定能分解成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，而且這種分解方式是唯一的。這就是我們將來要學(xué)習(xí)的“算術(shù)基本定理”。正是有它的存在，我們才能透過“質(zhì)因數(shù)”洞察這部分知識的本質(zhì)。

總之，“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)需要教師立足整體視角，通過強(qiáng)化核心概念，幫助學(xué)生理解和掌握其中諸多的抽象概念，觸及知識本質(zhì)，完善知識結(jié)構(gòu)。