浙江杭州市錢(qián)塘區(qū)江灣小學(xué) （310018） 胡錦洪

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（簡(jiǎn)稱(chēng)“三會(huì)”）。量感是小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，是對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀(guān)感知。具體來(lái)說(shuō)，量感即視覺(jué)或觸覺(jué)對(duì)各種物體的規(guī)模、速度、程度等方面的感覺(jué)，是對(duì)物體大小、長(zhǎng)短、多少、方圓、粗細(xì)、快慢、輕重等量態(tài)的感性認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)量感有助于學(xué)生養(yǎng)成用定量分析的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣，為形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)奠定基礎(chǔ)。筆者認(rèn)為，學(xué)生量感的形成并非教師直接傳授，而是在教師精心設(shè)計(jì)下，學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中逐漸領(lǐng)悟。學(xué)生需經(jīng)歷自主探索、嘗試發(fā)現(xiàn)、抽象本質(zhì)、遷移運(yùn)用和主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。本文結(jié)合杭州市錢(qián)塘區(qū)文海小學(xué)樓宸瑞教師所授“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課，談?wù)勔源蟾拍顬楹诵模囵B(yǎng)學(xué)生量感的策略與途徑。

一、確定大概念，架構(gòu)素養(yǎng)與知識(shí)橋梁

大概念是一種抽象和概括的核心知識(shí)，具有聯(lián)系和整合的作用，并能廣泛應(yīng)用于各種情境。它能夠從事實(shí)、經(jīng)驗(yàn)和概念中提煉出共同的核心特征，不僅在課程知識(shí)學(xué)習(xí)和核心素養(yǎng)發(fā)展中起到中介轉(zhuǎn)化整合作用，還能促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，提高知識(shí)遷移和應(yīng)用能力，有效促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。關(guān)于如何確定課程對(duì)應(yīng)的大概念，提供以下兩條基本途徑。

一是依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》核心概念找大概念。例如，小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。這些核心概念經(jīng)過(guò)抽象概括，符合學(xué)生的發(fā)展需求。教師可以把握這些核心概念，進(jìn)而挖掘教學(xué)所需的大概念。具體而言，教師應(yīng)思考核心概念培養(yǎng)與課程知識(shí)學(xué)習(xí)之間的紐帶，或者說(shuō)起到課程知識(shí)學(xué)習(xí)與核心概念培養(yǎng)的抓手是什么。以“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課為例，核心概念是量感。教師需要明確培養(yǎng)學(xué)生量感的抓手是什么。對(duì)于“幾何與圖形”領(lǐng)域，課程內(nèi)容是這樣描述的：認(rèn)識(shí)圖形主要是對(duì)圖形的抽象，認(rèn)識(shí)圖形的特征，積累和思考經(jīng)驗(yàn)。圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量有密切關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位過(guò)程，感受統(tǒng)一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形的周長(zhǎng)。引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)一些常見(jiàn)圖形周長(zhǎng)的過(guò)程中，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感。教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)與測(cè)量密切相關(guān)，測(cè)量的本質(zhì)就是度量。因此，“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課對(duì)應(yīng)的大概念就是度量。

二是通過(guò)對(duì)教材的深度理解去找大概念。大概念深藏于教材知識(shí)的內(nèi)核與深處，要讓大概念呈現(xiàn)出來(lái)，可以從知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展、事物的本質(zhì)和屬性來(lái)理解教材，也可以從比較分析不同版本教材知識(shí)的共性去深度理解教材。以“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課為例，從事物的本質(zhì)與屬性出發(fā)，周長(zhǎng)可理解為繞有限面積區(qū)域邊緣的單位長(zhǎng)度的累加，也就是圖形一周的長(zhǎng)度。度量的對(duì)象是“周”，度量的屬性是“長(zhǎng)”。變的是度量的對(duì)象、工具和空間，不變的是長(zhǎng)度度量。因此，從知識(shí)本質(zhì)屬性來(lái)看，“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”對(duì)應(yīng)的大概念為度量。對(duì)比人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)版本教材，均有讓學(xué)生借助不同測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中進(jìn)一步理解周長(zhǎng)。因此，從各版本教材編寫(xiě)意圖的共性中，可以發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)測(cè)量的重要性，從而確立本課的大概念為度量。

二、外顯大概念，建立不同維度的目標(biāo)

外顯大概念是對(duì)所培養(yǎng)學(xué)生的核心目標(biāo)進(jìn)行表征和表述，具體化為可以預(yù)見(jiàn)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課中，從三個(gè)維度對(duì)大概念進(jìn)行描述。一是“認(rèn)識(shí)什么”，即認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)的感念。①學(xué)生能說(shuō)出周長(zhǎng)就是封閉圖形一周的長(zhǎng)度。②學(xué)生能邊描述邊演示指出找圖形周長(zhǎng)的一般方法，即確定起點(diǎn)，沿邊線(xiàn)一周后再回起點(diǎn)。③學(xué)生能辨認(rèn)平面圖形（三角形、正方形、長(zhǎng)方形、組合圖形、不封閉圖形）有沒(méi)有周長(zhǎng)，并能通過(guò)改造使不封閉圖形具有周長(zhǎng)。二是“理解什么”，即理解周長(zhǎng)的含義。①學(xué)生應(yīng)能自主選擇不同的度量工具，對(duì)平面圖形進(jìn)行周長(zhǎng)測(cè)量。②學(xué)生應(yīng)能解釋“盡管度量工具不同，但周長(zhǎng)保持一定”的原理，即周長(zhǎng)為封閉圖形一周展開(kāi)后線(xiàn)段的總長(zhǎng)度。③學(xué)生應(yīng)能總結(jié)出周長(zhǎng)即為度量單位的累積，并能根據(jù)平面圖形周長(zhǎng)展開(kāi)后各線(xiàn)段間的關(guān)系特征推導(dǎo)出平面圖形的周長(zhǎng)，如正方形、菱形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、五邊形、六邊形等。三是“能做什么”，即比較周長(zhǎng)大小。①學(xué)生能正確辨認(rèn)圖形周長(zhǎng)的大小。②學(xué)生能運(yùn)用平移的方法解釋周長(zhǎng)不變的本質(zhì)，體會(huì)周長(zhǎng)大小比較簡(jiǎn)便的原理。③學(xué)生能舉例說(shuō)明“圖形的面積越大，周長(zhǎng)也越大”的錯(cuò)誤。

三、建構(gòu)大概念，感悟度量周長(zhǎng)的本質(zhì)

建構(gòu)大概念的過(guò)程，就是學(xué)生不斷探索、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)與感悟的過(guò)程，學(xué)生在學(xué)習(xí)完“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”后，除了認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)、理解周長(zhǎng)、掌握比較周長(zhǎng)的方法外，學(xué)生還應(yīng)領(lǐng)悟度量這一思想方法。具體而言，認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)首先要確定度量單位，然后計(jì)算圖形包含多少個(gè)這樣大小的度量單位，即度量單位的累加。當(dāng)學(xué)生有了這種體驗(yàn)和感悟，他們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)面積、角、體積等相關(guān)知識(shí)時(shí)，便能遷移這種經(jīng)驗(yàn)和方法。他們會(huì)發(fā)現(xiàn)面積、角、體積與周長(zhǎng)學(xué)習(xí)之間的相通之處：面積是多個(gè)面積單位的組合，角是多個(gè)角的單位累加，體積是多個(gè)體積單位的堆積。這些都與度量有關(guān)，都是先確定度量單位，然后計(jì)算有幾個(gè)這樣的度量單位。通過(guò)計(jì)數(shù)去刻畫(huà)度量的過(guò)程，這就是以大概念為核心，逐漸發(fā)展學(xué)生量感的過(guò)程。

（一）由感知到體驗(yàn)，完善周長(zhǎng)認(rèn)識(shí)

1.通過(guò)操作，感知周長(zhǎng)

教學(xué)中，樓老師設(shè)計(jì)了“摸周長(zhǎng)”活動(dòng)，并設(shè)置了兩道問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐操作中總結(jié)規(guī)律。問(wèn)題1：數(shù)學(xué)書(shū)封面和桌面是否存在周長(zhǎng)？出示活動(dòng)要求：摸一摸，摸數(shù)學(xué)書(shū)封面和桌面的一周。想一想，你有什么發(fā)現(xiàn)。說(shuō)一說(shuō)，和同桌交流你的想法。這一活動(dòng)旨在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)書(shū)和桌面的周長(zhǎng)實(shí)際上是它們的邊線(xiàn)的長(zhǎng)度，而非邊線(xiàn)內(nèi)的區(qū)域。問(wèn)題2：如何沿著邊線(xiàn)完整地觸摸圖形的輪廓？學(xué)生通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，要完整地觸摸圖形的輪廓，只需在邊線(xiàn)上選取一個(gè)起點(diǎn)，然后順著同一方向連續(xù)觸摸邊線(xiàn)，最后回到起點(diǎn)，這樣便能感知到圖形的周長(zhǎng)。通過(guò)參與“摸周長(zhǎng)”活動(dòng)，學(xué)生積累了基本的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)周長(zhǎng)有了直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，并初步建立了周長(zhǎng)的概念，即圖形的一周，從起點(diǎn)沿邊線(xiàn)回到起點(diǎn)。

2.通過(guò)比較，完善認(rèn)識(shí)

為了進(jìn)一步鞏固和完善學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)，樓老師設(shè)計(jì)了“描周長(zhǎng)”活動(dòng)。呈現(xiàn)活動(dòng)要求：任何圖形都有周長(zhǎng)嗎？如果有，用筆描出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)你想辦法讓它變成有周長(zhǎng)，再用筆描出來(lái)。通過(guò)小組談?wù)摚瑢W(xué)生能判斷圖1-1 和圖1-2 有周長(zhǎng)并很容易描出圖1-1 的周長(zhǎng)。在描圖1-2 的周長(zhǎng)時(shí)，有少部分學(xué)生錯(cuò)把圖形邊線(xiàn)以?xún)?nèi)的線(xiàn)也描了。課堂交流中，教師強(qiáng)調(diào)為什么邊線(xiàn)以?xún)?nèi)不是周長(zhǎng)，學(xué)生得出周長(zhǎng)是圖形一周邊線(xiàn)的長(zhǎng)度，與邊線(xiàn)以?xún)?nèi)無(wú)關(guān)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖1-3 沒(méi)有周長(zhǎng)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前的操作及對(duì)周長(zhǎng)的理解對(duì)圖1-3 進(jìn)行改造，讓這個(gè)圖形有周長(zhǎng)。改造過(guò)程中，大部分學(xué)生根據(jù)圖1-3的形狀特點(diǎn)，自然聯(lián)想到圓，將其補(bǔ)全為圓。這時(shí)教師呈現(xiàn)了將圖1-3 改造成不規(guī)則圖形，追問(wèn)學(xué)生這樣奇形怪狀的圖形有沒(méi)有周長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)學(xué)生小組討論得出這樣不規(guī)則的也有周長(zhǎng)，其理由是改造后的圖形滿(mǎn)足從起點(diǎn)沿邊線(xiàn)能回到起點(diǎn)，即是一個(gè)封閉圖形。這時(shí)教師板書(shū)完整呈現(xiàn)周長(zhǎng)的概念，即封閉圖形一周的長(zhǎng)度。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

（二）由測(cè)量到計(jì)算，揭示周長(zhǎng)本質(zhì)

1.自主測(cè)量，豐富操作

教學(xué)中，樓老師設(shè)計(jì)了“量周長(zhǎng)”活動(dòng)。出示活動(dòng)要求：

量一量，選擇合適的工具測(cè)量三角形ABC（如圖2 所示）的周長(zhǎng)。

圖2

想一想，你是怎么量的。

說(shuō)一說(shuō)，和大家交流你的想法。

測(cè)量的工具有尺子、圓規(guī)、繩子和卷紙。學(xué)生在自主測(cè)量三角形ABC的周長(zhǎng)活動(dòng)中，自主選擇測(cè)量工具，分工合作，積累了度量活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)此過(guò)程，為后續(xù)交流和分享測(cè)量結(jié)果奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，提供了豐富的資源。

2.集體反饋，多元測(cè)量

在課堂上，樓老師收集并展示了學(xué)生三種不同的測(cè)量方法。方法1：首先使用尺子分別測(cè)量線(xiàn)段BA、AC和CB的長(zhǎng)度，隨后將這三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度相加，即可得到三角形ABC的周長(zhǎng)。方法2：用圓規(guī)測(cè)量，先用圓規(guī)量取BA的長(zhǎng)，然后表示在尺子上。用同樣的方法，將AC和CB繼續(xù)表示在尺子上。最后通過(guò)讀取尺子上的刻度得出三角形ABC的周長(zhǎng)。方法3：將三角形在尺子上轉(zhuǎn)動(dòng)一周得到三角形ABC的周長(zhǎng)。三種方法呈現(xiàn)后，教師提問(wèn)：“這三種方法都有什么共同之處？”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，測(cè)量三角形ABC的周長(zhǎng)實(shí)際上就是計(jì)算三角形展開(kāi)后三條線(xiàn)段的總長(zhǎng)度。

3.實(shí)踐活動(dòng)，溝通長(zhǎng)度

在教學(xué)過(guò)程中，樓老師設(shè)計(jì)“我畫(huà)你猜”活動(dòng)（如圖3 所示），讓學(xué)生根據(jù)提供的三組線(xiàn)段，判斷它們分別可能是由哪些封閉圖形展開(kāi)后得到的。對(duì)于第1 組線(xiàn)段，學(xué)生推斷其是由正方形或菱形展開(kāi)而成，并闡述了理由：每條線(xiàn)段長(zhǎng)度相等。對(duì)于第2 組線(xiàn)段，學(xué)生認(rèn)為它們是由長(zhǎng)方形或平行四邊形展開(kāi)得到的，并通過(guò)長(zhǎng)方形和平行四邊形的特征說(shuō)明了判斷依據(jù)。對(duì)于第3 組線(xiàn)段，學(xué)生的結(jié)論是由五邊形展開(kāi)得到的。通過(guò)“我畫(huà)你猜”活動(dòng)，樓老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段長(zhǎng)度與圖形周長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生能根據(jù)圖形周長(zhǎng)展開(kāi)后的線(xiàn)段長(zhǎng)度、大小關(guān)系，推斷出相應(yīng)圖形，從而培養(yǎng)了學(xué)生的空間意識(shí)和想象能力。

圖3

（三）結(jié)合周長(zhǎng)比較，感知“周、面”區(qū)別

在教學(xué)中，樓老師設(shè)計(jì)了“比周長(zhǎng)”活動(dòng)。出示活動(dòng)要求：

估一估，這三個(gè)圖形誰(shuí)的周長(zhǎng)更長(zhǎng)（如圖4所示）。

圖4

做一做，選擇合適的方法比較周長(zhǎng)。

想一想，觀(guān)察這三個(gè)圖形的周長(zhǎng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1.直觀(guān)猜想，感知差異

教師通過(guò)提問(wèn)：估一估，你覺(jué)得三個(gè)圖形中哪個(gè)周長(zhǎng)更長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由。部分學(xué)生認(rèn)為圖①周長(zhǎng)更長(zhǎng)，因?yàn)槠涿娣e最大。然而，也有學(xué)生指出，周長(zhǎng)大小不能只看圖形面積。但更多學(xué)生還是認(rèn)為，面積越大，周長(zhǎng)就越長(zhǎng)。在學(xué)生間的辯論過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生探討周長(zhǎng)與面積之間是否存在關(guān)系，以激發(fā)學(xué)生探究周長(zhǎng)本質(zhì)的熱情，并營(yíng)造了積極的學(xué)習(xí)氛圍。

2.組織驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)不同

關(guān)于較多學(xué)生提出的“面積越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)”的觀(guān)點(diǎn)，教師組織學(xué)生以小組形式，開(kāi)展驗(yàn)證活動(dòng)。通過(guò)“計(jì)數(shù)”的方法，學(xué)生得出了①②③三個(gè)圖形的周長(zhǎng)分別為18 厘米、18 厘米和30 厘米。為了讓學(xué)生有更深入的理解，教師提問(wèn)：是否還有其他比較方法？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過(guò)平移方式來(lái)判斷周長(zhǎng)大小。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，將圖②四個(gè)角凹陷進(jìn)去的兩條1 厘米邊長(zhǎng)平移，可得到圖①，因此圖①與圖②的周長(zhǎng)相等。將圖③凹陷進(jìn)去的兩條1 厘米邊長(zhǎng)向上平移，與圖①②進(jìn)行周長(zhǎng)比較，顯然③號(hào)圖形的周長(zhǎng)更長(zhǎng)。這一驗(yàn)證活動(dòng)的開(kāi)展，使學(xué)生意識(shí)到面積大的圖形周長(zhǎng)并非最長(zhǎng)，而周長(zhǎng)最長(zhǎng)的圖形其面積也不一定最大。這促使學(xué)生改變了對(duì)“面積越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)”的錯(cuò)誤認(rèn)知。

3.整體觀(guān)察，揭示本質(zhì)

在驗(yàn)證活動(dòng)結(jié)束后，教師進(jìn)一步追問(wèn)：經(jīng)過(guò)周長(zhǎng)比較的實(shí)踐，你們有什么發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生從一開(kāi)始的“計(jì)數(shù)”方式統(tǒng)計(jì)周長(zhǎng)所包含的1 厘米正方形邊長(zhǎng)數(shù)量，逐步過(guò)渡到運(yùn)用平移方法，直接整體觀(guān)察圖形大小關(guān)系，來(lái)判斷周長(zhǎng)的大小關(guān)系。學(xué)生能通過(guò)平移的方法來(lái)比較周長(zhǎng)，這一方法抓住了周長(zhǎng)本質(zhì)。盡管線(xiàn)段平移后，圖形的“形”發(fā)生改變，但其周長(zhǎng)大小保持不變。

四、評(píng)價(jià)大概念，促進(jìn)知識(shí)遷移及應(yīng)用

評(píng)價(jià)大概念可以參照外顯大概念提出的“認(rèn)識(shí)什么”“理解什么”“能做什么”三個(gè)維度設(shè)計(jì)大概念評(píng)價(jià)的框架和細(xì)則，也可以借鑒澳大利亞昆士蘭科技大學(xué)克里斯提那·查莫斯（Christina Chalmers）團(tuán)隊(duì)的研究成果，設(shè)計(jì)涵蓋形成性評(píng)價(jià)和終結(jié)性評(píng)價(jià)的四類(lèi)工具：①收集，即收集學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的作品；②展示，即提供學(xué)生課堂展示表現(xiàn)的機(jī)會(huì)；③呈現(xiàn)，即利用外部表征工具對(duì)大概念和學(xué)習(xí)過(guò)程中理解程度進(jìn)行外現(xiàn)；④論證，即使用提問(wèn)、訪(fǎng)談、觀(guān)察、測(cè)評(píng)等方法確證學(xué)生理解大概念的程度。

在大概念的評(píng)價(jià)中，應(yīng)更加注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，也就是學(xué)生對(duì)大概念的掌握程度，以及他們能否將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中，不僅僅是對(duì)周長(zhǎng)表面含義的理解，而是能夠深入領(lǐng)悟到周長(zhǎng)實(shí)際上是長(zhǎng)度單位的累加，任何圖形的周長(zhǎng)都可以轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的線(xiàn)段長(zhǎng)度。還要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，周長(zhǎng)的“形”在于“周”，而其屬性在于“長(zhǎng)”。學(xué)生只有把握住“度量”這個(gè)大概念，才能夠熟練地解決生活中物體周長(zhǎng)比較的問(wèn)題。