趙悅 楊澤恒

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.拋物線與四邊形等幾何圖形結(jié)合，常出現(xiàn)已知兩個(gè)定點(diǎn)及拋物線上或與拋物線相關(guān)的直線上的動(dòng)點(diǎn)，求與這三點(diǎn)構(gòu)成特殊四邊形的第四個(gè)點(diǎn)這類題目.這類題目是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高綜合解決問題能力的好載體，中考也常聚焦這類問題.但這類問題有一定的開放性，圖形的不確定導(dǎo)致邏輯推理素養(yǎng)弱的學(xué)生無從下手，或遺漏結(jié)果.這就要求教師在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生先從特殊到一般，從不同省市中考題中抓住這類試題的共同特性，找到解題思路及一般方法；再從一般到特殊，根據(jù)具體題干信息及考查內(nèi)容，分別作答.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題教學(xué)

1? 二次函數(shù)與平行四邊形結(jié)合

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（－1，0），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有4x－12≤ax2+bx+c≤2x2－8x+6.

在第（1）問求出二次函數(shù)的解析式：y=x2－2x－3及點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，－3）的基礎(chǔ)上我們重點(diǎn)關(guān)注第（2）問的解題思路.

第（2）問：若二次函數(shù)圖象與x軸正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C.點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn).在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

解題思路? M點(diǎn)的動(dòng)及點(diǎn)N的不確定性，使問題顯得似乎不確定.點(diǎn)A是確定的已知點(diǎn)，較為自然的方法是從已知確定點(diǎn)A出發(fā)，按A與其他3個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)的關(guān)系依次分類，有3種情況，即AM為對(duì)角點(diǎn)、AC為對(duì)角點(diǎn)、AN為對(duì)角點(diǎn).以上分類使不確定的情況變成每一種確定的情況，從而能分別對(duì)確定的圖形求點(diǎn)N.

方法一? 教師在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生明確點(diǎn)A是已知點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知點(diǎn)與其余點(diǎn)的關(guān)系，即按點(diǎn)A與其他3個(gè)平行四邊形的頂點(diǎn)的關(guān)系依次分類，在正確分類基礎(chǔ)上抓住平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)特征求解.

解? 設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2－2m－3），點(diǎn)N坐標(biāo)為（n，0）.

如圖1，當(dāng)AM為對(duì)角點(diǎn)（非相鄰點(diǎn)）時(shí)，

由平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

xA+xM=xc+xNyA+yM=yC+yN，

即3+m=0+n0+m2－2m－3=－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=5，即N1（5，0）.

如圖2，當(dāng)AC為對(duì)角點(diǎn)時(shí)，

xA+xC=xM+xNyA+yC=yM+yN，

即3+0=m+n0－3=m2－2m－3+0.

解得m1=0（舍），m2=2.

所以n=1，即N2（1，0）.

如圖3，當(dāng)AN為對(duì)角點(diǎn)時(shí)，

xA+xN=xC+xMyA+yN=yC+yM，

即3+n=0+m0+0=－3+m2－2m－3.

解得m1=1+7，m2=1－7.

所以n=7－2或－2-7.

所以N3（7-2，0），N4（-2-7，0）.

綜上所述，N點(diǎn)坐標(biāo)為N1（5，0） 、N2（1，0）、N3（7-2，0）、N4（-2-7，0）.

方法二? 教師引導(dǎo)學(xué)生以所求點(diǎn)N與定點(diǎn)A為平行四邊形相鄰點(diǎn)或非相鄰點(diǎn)（對(duì)角點(diǎn)）分類，并抓住平行四邊形對(duì)邊平行且相等這一特征求解.并將兩種解題方法對(duì)比分析，體會(huì)兩種方法中共同蘊(yùn)含的分類思想及不同的知識(shí)點(diǎn).

變式動(dòng)點(diǎn)的條件，相應(yīng)考慮矩形、菱形等特殊平行四邊形也是中考中常出現(xiàn)的考題.

2? 二次函數(shù)拋物線與矩形結(jié)合

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，OA=1，對(duì)稱軸x=2，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn).

在求出拋物線解析式及點(diǎn)B，C坐標(biāo)的基礎(chǔ)上重點(diǎn)關(guān)注第（4）問.

第（4）問：點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解題思路 ?第（4）問中的動(dòng)點(diǎn)變?yōu)樵趯?duì)稱軸上的P點(diǎn)，同樣點(diǎn)P的動(dòng)及點(diǎn)Q的不確定性，使問題具有開放性，需要通過分類將整個(gè)問題的不確定性，變?yōu)槊恳活惖拇_定性.由已知確定的頂點(diǎn)C與其他3個(gè)頂點(diǎn)B，P，Q的關(guān)系進(jìn)行分類，或者利用定點(diǎn)C與動(dòng)點(diǎn)Q為對(duì)角點(diǎn)或者相鄰點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)行分類.

方法一? 分類后抓住矩形對(duì)角線中點(diǎn)的特征求解.

方法二? 抓住矩形對(duì)邊平行和鄰邊垂直的特征.引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析.

為鞏固分類思想和解題方法，兩題都可將求x軸上的點(diǎn)變?yōu)榍髖軸上的點(diǎn)，進(jìn)一步還可變?yōu)榍笃渌厥庵本€上的點(diǎn).

3? 二次函數(shù)拋物線與菱形結(jié)合

拋物線y=12x2+2x－6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.

在解決第（1）問的基礎(chǔ)上重點(diǎn)關(guān)注第（2）問.

第（2）問：點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D.試探：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？

解題思路? 通過點(diǎn)P得到的點(diǎn)D隨著P動(dòng)而動(dòng)，因而也需要通過已知確定的頂點(diǎn)B與其他點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行分類，再抓住菱形臨邊相等的特征求解.

由已知條件，點(diǎn)B只能分別與點(diǎn)D、點(diǎn)E為對(duì)角點(diǎn).據(jù)此再分別求解即可.