姜秀萍

【摘要】三角形是初中平面幾何問題中最為基本的一個(gè)圖形，除了特殊的等腰三角形、直角三角形，斜三角形也是一類?？嫉娜切?三角形問題一般聚焦于研究三角形的角和邊的大小，綜合性較強(qiáng)，涉及平面幾何知識(shí)和銳角三角函數(shù)定義等.本文以一道斜三角形內(nèi)角大小問題作為典型例題，探討以下幾種解法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；斜三角形；三角函數(shù)

對(duì)于斜三角形問題，因?yàn)槠洳⒉惶厥?，所以可以嘗試構(gòu)造直角三角形或者等腰三角形這一類特殊的三角形來解決.同時(shí)還要能夠理解并運(yùn)用一些基本的銳角三角函數(shù)值來進(jìn)行計(jì)算.一般來說，合理構(gòu)造垂線，在多個(gè)直角三角形內(nèi)研究，最后歸納總結(jié)，即可得到問題的答案.

題目? 如圖1所示，P為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB.

圖1

解法1? 三角形外部延長(zhǎng)構(gòu)造

解析? 如圖2所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接PD，AD，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，

則DP=CP=2BP，∠DPB=180°－∠APC－∠APD=60°，點(diǎn)A到PD，BC的距離相等.

所以△DPB是斜邊為2，直角邊為1的直角三角形，

所以∠DBP=90°.

因?yàn)椤螦BP=45°=12∠DBP，

所以BA平分∠CBD，則點(diǎn)A到BC，BE的距離相等.

所以點(diǎn)A到PD，BE的距離相等，則DA平分∠PDE，

∠ADP=12×（180°－30°）=75°，

則∠ACB=∠ADP=75°.

在三角形外部構(gòu)造可以讓圖形更加清晰，便于解決，而延長(zhǎng)構(gòu)造時(shí)一般是選擇某一條線段的長(zhǎng)度為基準(zhǔn)，在構(gòu)造完成之后，要達(dá)到可以得到全等或者相似三角形的效果或者是可以得到一個(gè)直角三角形，然后在其中求解.

解法2? 三角形內(nèi)部構(gòu)造垂線

解析? 如圖3所示，過點(diǎn)C作AP的垂線CD，垂足為點(diǎn)D，連接BD.

在△PCD中，∠APC=60°，

所以∠DCP=30°，PC=2PD.

因?yàn)镻C=2PB，

所以BP=PD，

則△BPD是等腰三角形，

∠BDP=∠DBP=30°.

因?yàn)椤螦BP=45°，

所以∠ABD=15°.

因?yàn)椤螧AP=∠APC－∠ABC=60°－45°=15°，

所以∠ABD=∠BAD=15°，

則BD=AD.

因?yàn)椤螪BP=45°－15°=30°，∠DCP=30°，

所以BD=DC，所以△BDC是等腰三角形.

因?yàn)锽D=AD，

所以AD=DC.

因?yàn)椤螩DA=90°，

所以∠ACD=45°，

所以∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°.

在內(nèi)部構(gòu)造垂線，可以將條件聚焦.作垂線得到三角形的高，就可以考慮從面積方面或者是用勾股定理來解決.此方法的本質(zhì)是“化斜為直”將原本難以求解的斜三角形轉(zhuǎn)化為多個(gè)直角三角形求解.然后將內(nèi)角的大小通過各三角形角度之間的關(guān)系求解出來即可.但是在題目較為復(fù)雜時(shí)，圖形可能不如外部構(gòu)造清晰.

解法3? 利用銳角三角函數(shù)

解析? 如圖4所示，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

則∠AHP=90°.

因?yàn)椤螦PH=60°，

所以AH=PH·tan∠APH=3PH.

在Rt△ABH中，∠ABH=45°，

所以BH=AH=3PH，

BP=BH－PH=（3－1）PH，

PC=2BP=（23－2）PH.

在Rt△AHC中，

tan∠ACH=AHHC=3PH（23－3）PH=2+3，

所以∠ACB=75°.

初中數(shù)學(xué)中對(duì)于銳角三角函數(shù)的要求不高，只需要學(xué)生掌握基本的定義，能夠知道一些特殊角的三角函數(shù)值即可.在構(gòu)造出直角三角形之后，通過將角或者邊的大小利用三角函數(shù)和題目已知條件表示出來，即可求解.

結(jié)語

以上三種方法從不同的角度解決了這道斜三角形求解內(nèi)角大小的問題.總的來說，解答此類問題的關(guān)鍵就是構(gòu)造出合適的直角三角形.斜三角形問題綜合性較強(qiáng)，考查頻率較高，這就要求學(xué)生不僅需要理解并鞏固所學(xué)知識(shí)，還要有合理構(gòu)造輔助線的能力.學(xué)生要在平時(shí)練習(xí)時(shí)，實(shí)際的例題時(shí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提高解答三角形類問題的水平.

參考文獻(xiàn)：

［1］蔣敏.“化斜為直”巧解斜三角形［J］.初中生世界，2023（Z3）：84-85.

［2］王莉璠.探求拋物線中的斜三角形面積［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（08）：25-26.

［3］張志剛.斜三角形的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用——從一道2022年聯(lián)考?jí)狠S題談起［J］.數(shù)理化解題研究，2023（19）：75-79.