黃世海

【摘要】在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)于函數(shù)還只有基本的理解，常見的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)等.一般來說，函數(shù)類題目重在對(duì)二次函數(shù)定義及其應(yīng)用的考查.此外，還需要學(xué)生掌握常見的函數(shù)處理技巧，并能夠內(nèi)化其中的數(shù)學(xué)思想方法.本文從多個(gè)角度探究一道函數(shù)解析式問題的解法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解析式

題目? 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（2，4），且它的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

問題分析? 此題給出了二次函數(shù)的頂點(diǎn)，這不僅意味著確定了函數(shù)的對(duì)稱軸，還得到了函數(shù)的最值（可能是最大值也有可能是最小值），在求解時(shí)可從此條件出發(fā)，再結(jié)合它的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0）這一條件解出所設(shè)解析式中的未知數(shù)，即可得到該二次函數(shù)解析式.

角度1? 設(shè)它的解析式為y=ax2+bx+c，則由已知可得a+b+c=0，再由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得含a，b，c的另兩個(gè)方程，從而建立方程組，求得a，b，c的具體值.

解析? 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，

因?yàn)樵摱魏瘮?shù)圖象的頂點(diǎn)為（2，4），

所以可得－b2a=24ac－b24a=4，

即b=－4a4ac－b2－16a=0，

又因?yàn)樗膱D象過點(diǎn)（1，0），

則代入得a+b+c=0.

結(jié)合b=－4a可得c=3a，

將b=－4a，c=3a代入4ac－b2－16a=0，

整理得a（a+4）=0，

因?yàn)閍≠0，

所以a=－4，將其代入b=－4a，c=3a，

可得b=16，c=－12，

于是這個(gè)函數(shù)的解析式為

y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函數(shù)解析式的基本形式，在運(yùn)算上可能較為復(fù)雜，先是由基本形式的已知的結(jié)論代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，解得未知數(shù)的值，再利用圖象過頂點(diǎn)的方式轉(zhuǎn)而得到另一等式，即可得到解析式.

角度2? 設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，則由它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4）和（1，0）以及其對(duì)稱軸為直線x=2，可建立a，b，c的一次方程，從而求出a，b，c的值.

解析? 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，

因?yàn)橹本€x=2是這個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，

所以－b2a=2，即b=－4a，

由這個(gè)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，4）和（1，0），

可得4a+2b+c=4，a+b+c=0，

解得a=－4，b=16，c=－12，

于是所求的二次函數(shù)解析式為y=－4x2+16x－12.

角度2? 同樣利用的是二次函數(shù)解析式的基本形式，與角度1不同的是，其利用了對(duì)稱軸和與x軸交于點(diǎn)（1，0）解出了另一交點(diǎn)，三點(diǎn)即可確定二次函數(shù)的解析式.

角度3? 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），可設(shè)其解析式為y=a（x－m）2+n，此時(shí)只需要由另一個(gè)已知條件確定a的值即可.

解析? 由已知可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x－2）2+4，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），

所以a（1－2）2+4=0，

從而得到a=－4，

所以所求的二次函數(shù)解析式為y=－4（x－2）2+4，

即y=－4x2+16x－12.

角度3利用了已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的結(jié)論，結(jié)合題目中的另一條件直接解得二次函數(shù)解析式，此角度最為簡(jiǎn)單，但是需要學(xué)生記住已知結(jié)論.

角度4? 如圖1所示，由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（x1，0）可確定圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（x2，0），從而可以設(shè)函數(shù)的解析式為y=a（x－x1）（x－x2），再由頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出a的值.

解析? 由已知可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，因?yàn)閳D象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），由對(duì)稱性可知，它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），

從而設(shè)這個(gè)函數(shù)的解析式為y=a（x－1）（x－3）.

因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)（2，4），所以代入求得a=－4.

于是所求的二次函數(shù)解析式為y=－4（x－1）（x－3），

即y=－4x2+16x－12.

此方法利用的是二次函數(shù)的兩個(gè)與x軸的交點(diǎn)所能夠設(shè)的解析式的結(jié)論，同樣需要學(xué)生理解并熟練運(yùn)用.

結(jié)語(yǔ)

上述4種角度雖在方法和解題順序上有所差異，但本質(zhì)上都是相同的，都是遵循著先設(shè)解析式，再利用題目條件解出解析式的具體值.在實(shí)際的解題過程中，根據(jù)問題的具體條件，選擇合適的解析式，可以提升解題的速度，同時(shí)在平時(shí)做題的過程中，要善于總結(jié)歸納各種條件所能夠設(shè)的解析式的形式.

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