王榮波

摘 要：極限是高等數(shù)學(xué)中的最基本、最重要的概念，它是建立微積分理論的基礎(chǔ)。極限的思想方法是深入研究函數(shù)（如導(dǎo)數(shù)、定積分等）的有力工具，它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞：極限教學(xué)；培養(yǎng)學(xué)生；計(jì)算能力；研究

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）10-016-01

極限是高等數(shù)學(xué)中的最基本、最重要的概念，它是建立微積分理論的基礎(chǔ)。極限的思想方法是深入研究函數(shù)（如導(dǎo)數(shù)、定積分等）的有力工具，它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終。因此，建立極限思想，熟練掌握求極限的方法，對學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)和相關(guān)專業(yè)課程意義十分重大。然而，由于極限計(jì)算中涉及到諸多初等數(shù)學(xué)知識，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危@就增加了學(xué)生求極限的難度。又由于極限概念的高度抽象性，致使我們很難用極限定義本身去求極限。在極限教學(xué)實(shí)踐中，探究行之有效的、針對不同層次的學(xué)生進(jìn)行不同要求并行之有效的求極限的方法是高職數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題。

一、深刻理解極限的概念是明確極限計(jì)算原理的必要條件

極限的抽象性在于不同于函數(shù)值那樣具體直觀，它使用的手段是觀察分析，強(qiáng)調(diào)的是自變量變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢。而這種變化趨勢往往看不見摸不著，需要我們?nèi)ハ胂蠛屯茰y。

我們知道，極限的概念是由于求解某些實(shí)際問題的真值而產(chǎn)生的。如古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。莊子的“天下篇”有關(guān)極限的描述及生活中的有關(guān)極限的實(shí)例，為學(xué)生理解極限的概念提供了具體直觀的模型。它使我們知道了衣服是洗不干凈的原因，金無足赤的原理，極限并不神秘，它就在我們身邊。因此，案例的選擇，對案例的深刻剖析，抓住極限的本質(zhì)特征是極限教學(xué)成功的關(guān)鍵。

二、從極限最基本的求法中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、觀察問題和解決問題的能力

極限的四則運(yùn)算法則是進(jìn)行極限常規(guī)計(jì)算的依據(jù)，兩個(gè)重要極限公式是求特定極限的有效工具。因此，這兩個(gè)知識點(diǎn)是教學(xué)的重點(diǎn)。對法則和公式雖然可以不加證明，但對證明的思路有必要加以說明，對它們的合理性應(yīng)該加以解釋，而不應(yīng)強(qiáng)迫學(xué)生去接受。強(qiáng)調(diào)法則成立的條件的必要性和充分性，注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。把握重要極限公式的特征，以便正確的運(yùn)用法則和公式求有關(guān)極限。特別強(qiáng)調(diào)的是，極限符號下面的極限過程是一致的。

當(dāng)函數(shù)的解析式 為有理整式時(shí)，極限的計(jì)算結(jié)果會使學(xué)生恍然大悟，原來極限值就等于函數(shù)值，即 。如果問題都像這樣簡單，那么極限的計(jì)算也就沒有什么艱難曲折了。

在有的時(shí)候，我們往往只需要知道極限的結(jié)果，對過程我們可以不關(guān)心，這對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的學(xué)生來講是非常有利的。這就是“黑箱原理”（黑箱手段就是將研究對象封閉、凝固而不予打開，不探究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，不追問其具體細(xì)節(jié)，只看輸入和輸出。）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用。

從眾多的例題的解答過程說明，極限的計(jì)算需要我們對它進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如何變形，要針對具體情況而定。這就要求學(xué)生要進(jìn)行一定量的練習(xí)，才能熟練掌握極限的計(jì)算方法。

三、深入剖析極限運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力

模仿例題和套用法則或公式是培養(yǎng)學(xué)生極限的計(jì)算能力的重要途徑。以重要極限公式2為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察變形過程的規(guī)律性，理解為什么要要這樣變形，計(jì)算的結(jié)果和題目中的參數(shù)之間有無直接的關(guān)聯(lián)？接著讓學(xué)生求類似的極限。通過學(xué)生的計(jì)算，可以把他們劃分為三個(gè)層次：第一層次，他們真正理解了公式的特征，明白計(jì)算原理，能夠獨(dú)立完整的寫出解題過程，得出正確結(jié)果；第二層次，能記住公式，也知道公式的特征，但在變形方面有障礙，其原因是對指數(shù)的運(yùn)算不熟悉，于是他們就開始模仿例題，生搬硬套也能得出正確結(jié)果；第三層次，這類學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，理解能力有限，甚至不會正確的書寫數(shù)學(xué)符號，更不能寫出解題過程，但是他們知道計(jì)算的結(jié)果。因?yàn)樗麄兟犆靼琢私Y(jié)果與題目之間的關(guān)聯(lián)，所以，也就能猜出正確的結(jié)果。接下來，就要按照以上三個(gè)層次進(jìn)行真正意義上的因材施教了。對第一層次的學(xué)生，要求他們做更復(fù)雜，技巧性更強(qiáng)的題目，使這部分學(xué)的極限計(jì)算能力得到進(jìn)一步升華。對第二層次的學(xué)生，要給他們補(bǔ)習(xí)相關(guān)的初等數(shù)學(xué)知識，明白每一步計(jì)算的原理，按照個(gè)人的理解寫出解題過程。對第三層次的學(xué)生，盡可能的教會他們正確的書寫數(shù)學(xué)符號（特別是極限符號），能仿照例題寫出解題過程，達(dá)到第二層次的水平。

求極限是高職生特別是高職理工科學(xué)生必須練好的一門的基本功。然而面對錯(cuò)綜復(fù)雜的極限計(jì)算題，許多學(xué)生感到茫然不知所措。為了幫助學(xué)生學(xué)好極限，有必要對求極限的方法進(jìn)行歸納和總結(jié)。求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會，在練習(xí)中進(jìn)步。進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運(yùn)算過程去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題?？梢猿浞终{(diào)動學(xué)生思維的積極性，提高他們綜合運(yùn)用已學(xué)知識解答數(shù)學(xué)問題的技能技巧，也可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)他們長知識、長智慧，同時(shí)開闊學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。