李春林

(甘肅省天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A.{x|0

C.{x|1

2.已知復(fù)數(shù)-3+2i是方程2x2+12x+q=0的一個(gè)根,則實(shí)數(shù)q的值是( ).

A.0 B.8 C.24 D.26

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

4.已知向量a,b滿足(a-b)·b=2,且b=(-1,1),則向量a在向量b上的投影向量為( ).

A.(2,2) B.(-2,2) C.(1,1) D.(-1,1)

6.有三個(gè)數(shù):a=20.5,b=sin1,c=log23,大小順序正確的是( ).

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

8.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日舉辦,組委會(huì)將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機(jī)派往黃龍?bào)w育中心、杭州奧體中心、浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作,每座體育館至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黃龍?bào)w育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黃龍?bào)w育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奧體中心”,則( ).

A.事件A與B相互獨(dú)立

B.事件A與C為互斥事件

二、多選題：本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.下列結(jié)論正確的有( ).

A.若隨機(jī)變量ξ,η滿足η=2ξ+1,則D(η)=2D(ξ)+1

C.若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1,則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x),f(1)=2,f(3x+2)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)滿足g(x)=-g(4-x),若y=f(x)與y=g(x)恰有2 023個(gè)交點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),…,(x2023,y2023),則下列說(shuō)法正確的是( ).

A.f(2 023)=2 B.x=1為y=f(x)的對(duì)稱軸

12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,G為C1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在棱C1C上運(yùn)動(dòng),M為空間中任意一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有( ).

A.直線BD1⊥平面A1C1D

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

14.已知(1-2x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則展開(kāi)式中含x的系數(shù)為_(kāi)___.

16.若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

四、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn+2=2an.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=45° ,BC=3,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90° (如圖2),點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn).

圖1 第18題圖(a)

(1)求證:CD⊥ME;

(2)已知____,試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得EN⊥BM,并求二面角M-BN-C的余弦值.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)當(dāng)a∥b時(shí),求2cos2x-2sinx·cosx的值;

20.已知函數(shù)f(x)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;

(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

21.某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試,共有8 000人參加,分為初試和復(fù)試,初試通過(guò)后方可參加復(fù)試.為了解考生的考試情況,隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)繪制成如圖3所示的樣本頻率分布直方圖.

圖3 樣本頻率分布直方圖

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的平均數(shù);

(2)若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,σ≈9,試估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于80分的人數(shù);

附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ

22.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),且|DF|=3.

(1)求拋物線C的方程;

(2)設(shè)直線l:2x-y+4=0,點(diǎn)B是l與y軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A(2,1)作與l平行的直線l1,過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l2與拋物線C相交于P,Q兩點(diǎn),直線PB,QB分別交直線l1于點(diǎn)M,N,證明:|AM|=|AN|.

參考答案

1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B

8.D 9.CD 10.ABD 11.BCD 12.ACD

17.(1)當(dāng)n=1時(shí),a1+2=2a1,解得a1=2.

得Sn-Sn-1=2(an-an-1).

即an=2(an-an-1),易知an-1≠0.

所以{an}是以a1=2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.

故an=2n.

18.(1)因?yàn)镃D⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,AD,BD?平面ABD,

所以CD⊥平面ABD.

因?yàn)锳B?平面ABD,

所以CD⊥AB.

又M,E分別為AC,BC的中點(diǎn),

所以ME∥AB.

所以CD⊥ME.

圖4 第18題解析圖

設(shè)AD=CD=x,在Rt△ABD中,

解得x=2,

所以BD=1.

因?yàn)镋N⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,則n=(1,2,-1).

取平面BNC的一個(gè)法向量m=(0,0,1),則

又二面角M-BN-C的平面角為銳角,

設(shè)N(0,a,0),0≤a≤2 ,則

因?yàn)镋N⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,則n=(1,2,-1).

取平面BNC的一個(gè)法向量m=(0,0,1),則

又二面角M-BN-C的平面角為銳角,

方案三:選③,設(shè)BD=x(0

因?yàn)锳D⊥CD,∠ACD=45°,

所以△ADC為等腰直角三角形.

所以AD=CD=3-x.

在三棱錐A-BCD中,AD⊥DC,AD⊥BD,且BD∩DC=D,BD,DC?平面BCD,

所以AD⊥平面BCD.

化簡(jiǎn),得(x-1)2(x-4)=0,

解得x=1或x=4(舍去).

設(shè)N(0,a,0),0≤a≤2 ,則

因?yàn)镋N⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,則n=(1,2,-1).

取平面BNC的一個(gè)法向量m=(0,0,1),

又二面角M-BN-C的平面角為銳角,

所以f(x)=(a+b)·b

所以x=1是f(x)的極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn).

所以f(x)的極大值為f(1)=-1,無(wú)極小值.

(2)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-xex+x+m,x∈(0,+∞),則

因此,當(dāng)00,即h′(x)>0,則h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>x0時(shí),t(x)<0,即h′(x)<0,則h(x)單調(diào)遞減,故[h(x)]max=h(x0)=lnx0-x0ex0+x0+m=0-1+m≤0,解得m≤1.

所以當(dāng)m≤1時(shí),f(x)≤g(x)恒成立,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1].

21.(1)由題意得,樣本平均數(shù)的估計(jì)值為

(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62.

(2)學(xué)生初試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ≈9,則

μ+2σ=62+2×9=80.

所以估計(jì)初試成績(jī)不低于80分的人數(shù)為0.022 75×8 000=182人.

圖5 第22題第(1)問(wèn)解析圖

所以拋物線C的方程為y2=4x.

(2)如圖6,直線l:2x-y+4=0,令x=0得y=4,所以點(diǎn)B(0,4).

因?yàn)橹本€l1平行于直線l:2x-y+4=0,且過(guò)點(diǎn)A(2,1),所以直線l1:2x-y-3=0.

圖6 第22題第(2)問(wèn)解析圖

設(shè)直線l2:x-2=t(y-1),

y2-4ty+4t-8=0.

所以△=16(t2-t+2)>0.

設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),

由韋達(dá)定理可得

y1+y2=4t,y1y2=4t-8.

因?yàn)閤A=2,

所以xM+xN=2xA.

即A是線段MN的中點(diǎn).

所以|AM|=|AN|.