王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 太和 236652)

從一道與類拋體運(yùn)動(dòng)內(nèi)容有關(guān)的高考題目說(shuō)起.

圖1 小球彈簧系統(tǒng)圖示

求:(1)彈簧壓縮至A點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能;

(2)小球經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度大小;

(3)小球過(guò)O點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的軌跡方程.

1 試題簡(jiǎn)評(píng)

這道題目是2022高考物理遼寧卷的第14題,也是整份試卷的倒數(shù)第二題,處于壓軸題目的重要位置:人們通常把一份試卷中題目難度相對(duì)較大、所占分值比例相對(duì)較高的最后兩三道題目稱之為試卷的壓軸題,它是拉開不同能力考生分?jǐn)?shù)差距的題目,所以格外受到人們的關(guān)注.題目設(shè)置的物理情景是壓縮的彈簧將帶電小球以一定的速度推入勻強(qiáng)電場(chǎng),之后在電場(chǎng)和重力場(chǎng)形成的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),這樣設(shè)置問(wèn)題把力學(xué)和電學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合,可以綜合考查學(xué)生對(duì)電場(chǎng)力、能量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,以及靈活應(yīng)用物理知識(shí)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的能力[1].題目?jī)?nèi)容不長(zhǎng),只有二百多字符的內(nèi)容,但卻把與所求問(wèn)題相關(guān)的物理情景交代得清楚明白,通讀題目一遍,即可明晰對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程,不存在任何歧義或費(fèi)解之處,體現(xiàn)了編者高超的原創(chuàng)題目的編擬水平.

2 試題解析

解析(1)因?yàn)樗降孛鍭B是光滑的,所以,在小球與彈簧接觸并受彈簧彈力而運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中(包含小球剛要脫離彈簧的時(shí)刻),小球與彈簧組成系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,

(3)因?yàn)閺?fù)合場(chǎng)的方向水平向右,所以,小球于O點(diǎn)離開光滑圓弧軌道進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)所在的第一象限后,作類平拋運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示.由圖2可知,類平拋運(yùn)動(dòng)中方向水平向右的“類拋體重力加速度”大小與重力加速度大小相同,也為g,所以,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),開口向右的拋物線.以小球離開O點(diǎn)的時(shí)刻為0時(shí)刻,時(shí)間t后,小球在坐標(biāo)系內(nèi)的橫、縱坐標(biāo)分別為:

圖3 小球運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

兩式結(jié)合,消去t可得到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為y2=6Rx.

3 試題變式

實(shí)際上,對(duì)于這道高考題目,在保持原來(lái)的物理情景(包含題設(shè)建立的物理模型)基本不變的情況下,適當(dāng)改換題目條件,可以得到與這道高考題目考查知識(shí)點(diǎn)類似但難度更高的不同變式來(lái).

圖4 系統(tǒng)所在空間水平電場(chǎng)圖

解析作出帶電小球在電場(chǎng)中僅受重力和電場(chǎng)力的受力示意圖,如圖5所示.易知,這兩個(gè)力的合力方向斜向下,與水平面成30°角,合力大小為F合力=2mg,所以,物體在復(fù)合場(chǎng)中的受力情形,可以等效為“等效重力場(chǎng)”中的受力情形,其“等效重力加速度”的方向即為圖5中的合力方向,“等效重力加速度”大小為g′=2g.

(2)因?yàn)閳A形軌道是光滑的,所以小球在B點(diǎn)離開彈簧,進(jìn)入由重力場(chǎng)和電場(chǎng)組合而成的復(fù)合場(chǎng)之后,其機(jī)械能守恒(這里的“機(jī)械能守恒”指的是等效重力加速度為g′=2g的等效重力場(chǎng)中小球的機(jī)械能守恒,在“等效重力場(chǎng)”中物體的“等效重力勢(shì)能”等于物體質(zhì)量、物體的相對(duì)高度和“等效重力加速度”的乘積).過(guò)O點(diǎn)作垂直于“等效重力加速度”方向(即CP方向)的垂線ON交圓形軌道于N點(diǎn),如圖6所示(為避免無(wú)關(guān)線條的干擾,圖6中水平向右的電場(chǎng)線沒有畫出),過(guò)B作BM⊥ON,垂足為M,顯然,OM為等效重力場(chǎng)中的“等效水平面”.

由幾何知識(shí)易知,△CON為等邊三角形

所以,∠CNO=60°

所以,∠BCN=30°

因此,∠CNB=75°

所以,∠MNB=45°

所以,△BMN是等腰直角三角形.

小球于等效重力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,在B、O兩點(diǎn)的等效機(jī)械能相等,故有:

圖6 軌道添加輔助線圖示

時(shí)間t后,小球在坐標(biāo)平面中的橫、縱坐標(biāo)分別為:

兩式結(jié)合消去t,得到小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為:

該拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為:

以x軸為等效重力場(chǎng)的零勢(shì)能參考面.因?yàn)樾∏蛟趶?fù)合場(chǎng)中運(yùn)行過(guò)程中,相對(duì)復(fù)合場(chǎng)機(jī)械能守恒,而小球運(yùn)行至拋物線的頂點(diǎn)Q處時(shí),距離等效重力場(chǎng)的“水平面”——零勢(shì)能參考面最遠(yuǎn),所以,小球在Q點(diǎn)運(yùn)行速度最小.由小球在O、Q兩點(diǎn)機(jī)械能相等可得:,

將題目所給條件及以上推理相關(guān)結(jié)果代入可得:

(4)作拋物線在豎直方向上的切線DE(注:這里的“豎直方向”不是“等效重力場(chǎng)”中的豎直,而是真實(shí)重力場(chǎng)中的豎直),與拋物線的切點(diǎn)為D,顯然,D點(diǎn)是水平向右的電場(chǎng)內(nèi)小球離開O點(diǎn)在空間運(yùn)行過(guò)程中最靠左邊的點(diǎn),所以,小球在D點(diǎn)的電勢(shì)能最大.

應(yīng)該說(shuō),我們上面通過(guò)聯(lián)立方程組的方法進(jìn)行推理得出結(jié)論的過(guò)程,雖然是可行的,但過(guò)于麻煩.還可以通過(guò)簡(jiǎn)單的邏輯推理,得出小球在剛離開圓弧形軌道時(shí)電勢(shì)能最大的結(jié)論.因?yàn)樾∏蚴请x開圓形軌道后在復(fù)合場(chǎng)中作拋物線軌跡運(yùn)動(dòng)的,所以拋物線與圓形軌道連接點(diǎn)O是兩曲線相切的切點(diǎn),因?yàn)閳A形軌道在O點(diǎn)的切線是豎直的,所以拋物線軌跡在O點(diǎn)的切線也將是豎直的,而拋物線豎直的切線只有一條,所以O(shè)點(diǎn)是小球運(yùn)動(dòng)軌跡中水平向右電場(chǎng)內(nèi)最靠左邊的點(diǎn),因此小球在O點(diǎn)的電勢(shì)能最大.

4 結(jié)束語(yǔ)

2022高考物理的第14題,巧妙設(shè)置物理模型,將力學(xué)與電學(xué)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來(lái),可以綜合考查學(xué)生對(duì)彈性勢(shì)能、機(jī)械能守恒、拋體運(yùn)動(dòng)等公式的掌握情況,以及靈活應(yīng)用物理知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力[3].適當(dāng)改換題設(shè)條件,可以得到與原高考題目材料背景相近,考查知識(shí)點(diǎn)類似的不同變式,通過(guò)對(duì)變式的解析,可以使學(xué)生對(duì)同類物理問(wèn)題有更為深入的理解.