賈 平

(蘇州科技城外國語高級中學(xué) 江蘇 蘇州 215000)

1 引言

帶電粒子在磁場中運動的周期性回歸問題(即帶電粒子在不同形狀的磁場中做周期性運動后回到初始位置的問題)是高中磁場類題目中的一個難點[1],因其能有效考查學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力,讀圖形畫圖形能力、空間思維能力,此類問題成為高考的熱點[2].命題人在命制帶電粒子在磁場中的周期性運動問題時,需要明晰粒子運動軌跡,以確保命題準(zhǔn)確和嚴(yán)謹(jǐn).本文以2022年蘇州高三上學(xué)期期末試卷壓軸題為例,著重闡述帶電粒子在三角形磁場區(qū)域中的運動軌跡,為高中物理教學(xué)提供有價值的參考.

【例題】如圖1所示,邊長為a的正三角形PMN區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向外,在PMN區(qū)域外存在足夠大的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小也為B、方向垂直于紙面向里.大量質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子,以大小不同的速度從MN的中點O垂直射入正三角形PMN區(qū)域內(nèi)部,不計重力及粒子間的相互作用,一部分粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后垂直MN回到O點.求:垂直MN回到O點的粒子速度的最大值.

圖1 例題題圖

2 粒子的常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況

本節(jié)討論θ為60°、120°、240°、300°的粒子常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況.

(1)θ=60°

當(dāng)θ=60°時,粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖2所示.

圖2 偏轉(zhuǎn)圓心角為60°時粒子的3次和15次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運動半徑R滿足

該粒子可以垂直回到O點.運動半徑為

粒子的初射速度為

粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)總時間

軌跡與磁場邊界的交點個數(shù)均為4n+1,粒子共有12n+3次偏轉(zhuǎn).

(2)θ=120°

當(dāng)θ=120°時,粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖3所示.

圖3 偏轉(zhuǎn)圓心角為120°時粒子的5次和25次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

如圖3(a)所示,粒子共有5次偏轉(zhuǎn),軌跡與磁場底邊交點個數(shù)為1(不計回到O點),與側(cè)邊的交點個數(shù)為2.如圖3(b)所示,粒子共有25次偏轉(zhuǎn),軌跡與磁場底邊交點個數(shù)為5,與側(cè)邊的交點個數(shù)為10.

粒子運動半徑R滿足

該粒子可以垂直回到O點,運動半徑為

粒子的初射速度為

粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)總時間

粒子軌跡與三角形區(qū)域底邊有4n+1個交點,與側(cè)邊的各有2(4n+1)個交點,共5(4n+1)次偏轉(zhuǎn).

(3)θ=240°

當(dāng)θ=240°時,粒子的軌跡剛好能經(jīng)過三角形區(qū)域底邊M、N,如圖4所示.

圖4 偏轉(zhuǎn)圓心角為240°時粒子的21次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運動半徑R滿足

該粒子可以回到O點,運動半徑為

則粒子的初射速度為

粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)總時間

共(20n+21)次偏轉(zhuǎn).

(4)θ=300°

當(dāng)θ=300°時,粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖5所示.

圖5 偏轉(zhuǎn)圓心角為300°時粒子的9次、21次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運動半徑R滿足

粒子可以垂直回到O點,此時粒子運動半徑為

則粒子的初射速度為

粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)總時間

粒子與三邊的交點數(shù)均為(4n+3),共3(4n+3)次偏轉(zhuǎn).

綜上所述,當(dāng)粒子運動半徑滿足

即三角形區(qū)域邊長a與粒子運動半徑R的比值為偶數(shù)倍時,帶電粒子經(jīng)過若干次偏轉(zhuǎn)后總能垂直回到O點,但運動軌跡有所不同.

3 粒子的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況

本節(jié)首先分析帶電粒子在磁場區(qū)域中5次偏轉(zhuǎn)的其他情況,再構(gòu)建模型,將該模型拓展到更多次偏轉(zhuǎn),考慮到偏轉(zhuǎn)圓心角均不是特殊角度,因此稱為非常規(guī)偏轉(zhuǎn).

(1)5次偏轉(zhuǎn)情況分析

除了圖3(a)給出粒子在磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)5次的情況外,圖6給出帶電粒子偏轉(zhuǎn)5次的其他情況.

圖6 帶電粒子經(jīng)過5次偏轉(zhuǎn)回到O點的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)

圖6中,帶電粒子從A1(O)點出發(fā),經(jīng)過①軌跡首次到達(dá)PN邊A3點,而后沿著②的軌跡到達(dá)PM邊的A5,再經(jīng)過③軌跡到達(dá)A2,再經(jīng)過④軌跡到達(dá)A4,最后經(jīng)過⑤軌跡垂直回到A1點.粒子偏轉(zhuǎn)軌跡與磁場側(cè)邊的交點數(shù)均為2,與底邊交點數(shù)為1.粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡依次通過A1→A3→A5→A2→A4→A1.

假定正三角形區(qū)域邊長a=1,通過Geogebra繪制圖像,θ為28.377°,粒子的運動半徑R≈1.267,即該情況下帶電粒子能垂直回到O點且粒子偏轉(zhuǎn)半徑R大于3次偏轉(zhuǎn)時的運動半徑R0,此時粒子的出射速度大于v0.

(2)模型構(gòu)建

帶電粒子與三角形區(qū)域發(fā)生n次偏轉(zhuǎn)(n為奇數(shù)),偏轉(zhuǎn)軌跡與磁場區(qū)域的交點數(shù)記為:s-b-s,s表示軌跡與鄰邊交點個數(shù),b表示軌跡與底邊交點個數(shù)(不計粒子最后垂直回到O點),滿足2s+b=n.

以5次偏轉(zhuǎn)為例(n=5),底邊交點個數(shù)b為1或3,則偏轉(zhuǎn)軌跡交點有兩種可能的類型:2-1-2和1-3-1.對于1-3-1型,由于粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外的運動半徑相同,當(dāng)粒子在底邊有3次交替穿越時,不可能在兩鄰邊只穿過1次,因此1-3-1類型的偏轉(zhuǎn)軌跡不存在.有以下推論:軌跡與磁場鄰邊、底邊交點個數(shù)差不大于2,即有|b-s|≤1.對于2-1-2類型,粒子以以下兩種方式偏轉(zhuǎn):

1)A1→A2→A3→A4→A5→A1,如圖2(a)所示,θ為120°,為常規(guī)偏轉(zhuǎn).

2)A1→A3→A5→A2→A4→A1,如圖6所示,θ為28.377°,為非常規(guī)偏轉(zhuǎn).

(3)多次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)討論

帶電粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外經(jīng)過7次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況為2-3-2型,即與底邊有3個交點,與鄰邊各有2個交點,粒子軌跡與磁場區(qū)域3邊交點的共有3種可能情況:1)A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A1,粒子無法以該路徑運動;2)A1→A3→A5→A7→A2→A4→A6→A1,如圖7(a)所示,粒子運動半徑R≈0.407,θ≈71.459°;3)A1→A4→A7→A3→A6→A2→A5→A1,如圖7(b)所示,粒子運動半徑R≈1.622,為7次偏轉(zhuǎn)的最大半徑,θ≈23.197°,此時粒子的出射速度大于v0.

圖7 帶電粒子經(jīng)過7次偏轉(zhuǎn)的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)軌跡

帶電粒子9次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況為3-3-3型,粒子偏轉(zhuǎn)共有4種可能情況:

2)A1→A3→A5→A7→A9→A2→A4→A6→A8→A1,粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖8(a)所示,粒子運動半徑R≈0.275,θ=105.184°;

圖8 帶電粒子經(jīng)過9次偏轉(zhuǎn)的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)軌跡

3)A1→A4→A7→A1,該情況恰好變成3次偏轉(zhuǎn)情況,θ=60°,如圖2(a)所示,為常規(guī)偏轉(zhuǎn);

4)A1→A5→A9→A4→A8→A3→A7→A2→A6→A1,粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖8(b)所示,粒子的運動半徑R=2.049,θ=19.107°,為9次偏轉(zhuǎn)的最大運動半徑.

當(dāng)帶電粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外發(fā)生11、13、15次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)時,偏轉(zhuǎn)路徑、偏轉(zhuǎn)半徑和偏轉(zhuǎn)圓心角如表1所示.

表1 帶電粒子在磁場中11、13、15次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)參數(shù)

4 結(jié)論

本文根據(jù)帶電粒子首次偏轉(zhuǎn)到PN邊界的圓心角是否為特殊角,將偏轉(zhuǎn)軌跡分成常規(guī)和非常規(guī)兩類,對粒子的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)進行建模并歸納總結(jié):若正三角形內(nèi)外分布著兩個方向相反但磁感應(yīng)強度相同的勻強磁場,當(dāng)帶電粒子從正三角形底邊垂直出射時,不存在能垂直回到原點的最大粒子速度.

本題模型符合命題設(shè)計要求,具有創(chuàng)新性,切入角度新穎,能夠很好地考查學(xué)生的思維和學(xué)科素養(yǎng).但在命制三角磁場內(nèi)外偏轉(zhuǎn)問題時,需要對帶電粒子可能的運動軌跡有所明晰,以確保命題準(zhǔn)確和嚴(yán)謹(jǐn)性.對該問題的研究也為教師開展教學(xué)研究和思考提供一定的借鑒.