摘要：構(gòu)建“共生”課堂，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)智慧，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章研究者以“平方差公式”的教學(xué)為例，從對(duì)“共生”的理解出發(fā)，詳細(xì)闡述了“共生”課堂的實(shí)施，并提出構(gòu)建“共生”課堂需在不斷提問中推動(dòng)思維生成，在互動(dòng)交流中推動(dòng)能力生成，如此才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：共生；平方差公式；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1 問題的提出

“共生”一詞的提出源于一道思考題.上周的組內(nèi)教研活動(dòng)中，教師探討這道思考題究竟有多少種解法，筆者給出了本班學(xué)生的各種解題方法，組內(nèi)教師紛紛為學(xué)生開闊的思維所嘆服.事實(shí)上，這源于全班的智慧共生，從而悄然萌生了“共生”課堂.

“共生”的本意即為“共同生成”，“共生”課堂就是讓學(xué)生在與數(shù)學(xué)、與同伴、與教師、與教學(xué)內(nèi)容的互動(dòng)中生成思維、智慧和能力.因此，“共生”課堂應(yīng)以學(xué)生為主體，以問題為依托，以體驗(yàn)為基石，以思考為關(guān)鍵，以發(fā)展為目的.唯有構(gòu)建“共生”課堂，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)智慧，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).那么，該如何構(gòu)建“共生”課堂呢？下面筆者以“平方差公式”的教學(xué)為例，談?wù)劇肮采睌?shù)學(xué)課堂的實(shí)施策略.

2 “共生”課堂的實(shí)施

環(huán)節(jié)1：巧妙設(shè)問，直接入課

問題1經(jīng)過課前預(yù)學(xué)，想必你們對(duì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)和理解，誰能闡述一下對(duì)它的理解？

學(xué)生活動(dòng)：由于預(yù)學(xué)中學(xué)習(xí)單的引領(lǐng)，不少學(xué)生已然對(duì)其有了初步認(rèn)識(shí)，從而很快作出闡述——我知道了平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”，就是經(jīng)計(jì)算使得積的形式變成和的形式；而因式分解和它剛好相反，即將一個(gè)多項(xiàng)式的和的形式變成積的形式.

追問1：那是不是就是說“因式分解是逆用了平方差公式”？我們一起來觀察a2-b2=（a+b）（a-b），該公式左邊有什么特征？右邊呢？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生很快給出解答“這個(gè)公式的左邊是兩項(xiàng)式，即兩數(shù)平方差；而右邊是兩數(shù)和與兩數(shù)差的相乘式”.

教師總結(jié)：從上述闡述可知，a2-b2=（a+b）[J]5（a-b）的左邊兩項(xiàng)式的符號(hào)為一正一負(fù)，而右邊為兩多項(xiàng)式的積.

問題2以下式子可以用平方差公式因式分解嗎？請(qǐng)?jiān)趪L試后一一說明.

①-1+x2；②-4-9x2；

③2x2-y2；④25x2-16y2.

學(xué)生活動(dòng)：問題拋出后，學(xué)生自然而然地進(jìn)行嘗試，并很快有了想法.對(duì)于式子①，有學(xué)生認(rèn)為該式為兩個(gè)數(shù)之和，因此不能運(yùn)用平方差公式；但這樣的想法很快就被否決，因?yàn)橛袑W(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將其改寫成x2-1，而兩個(gè)數(shù)分別為x和1，符合且可以運(yùn)用平方差公式.進(jìn)一步，有學(xué)生提出式子②由于兩個(gè)數(shù)是同號(hào)的，因此不可用平方差公式，其余學(xué)生一致贊同.同樣，對(duì)于式子③，有學(xué)生立刻給出結(jié)論“可以運(yùn)用”，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)分別為2x和y；但他的表達(dá)很快被否定了，有學(xué)生提出“由于2不是平方形式，因此不可運(yùn)用”.最后，學(xué)生一致認(rèn)為式子④可以用公式，因?yàn)槠淇梢砸暈?x和4y的平方差，從而得到25x2-16y2=（5x+4y）（5x-4y）.

問題3對(duì)于上述四個(gè)式子，你們的分析十分到位，那你們是如何理解“兩數(shù)的平方差＝兩數(shù)和×兩數(shù)差”的？能具體說一說嗎？

學(xué)生活動(dòng)：運(yùn)用平方差公式，兩個(gè)式子要均可寫成平方的形式，同時(shí)需滿足兩個(gè)式子異號(hào)，結(jié)果就是兩個(gè)平方下的兩項(xiàng)和與兩項(xiàng)差的積.

環(huán)節(jié)2：自主提問，探究漸深

問題4下面就請(qǐng)一名學(xué)生出題，其余學(xué)生試著因式分解.

學(xué)生活動(dòng)：“自主出題”這樣的開放性活動(dòng)是學(xué)生喜聞樂見的，學(xué)生爭先恐后進(jìn)行嘗試.首先，一學(xué)生拋出問題“因式分解：4x2-16y2”，很快有思維敏捷的學(xué)生給出答案“可以將其視為2x和4y的平方差，因此答案為（2x+4y）（2x-4y）”.在該生給出結(jié)果后，一學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并指出“括號(hào)內(nèi)還有公因式，答案應(yīng)為4（x+2y）（x-2y）”.與此同時(shí)，一名學(xué)生提出不同解法“先提取公因式，再用平方差公式，得到相同結(jié)果4（x+2y）（x-2y）”，這樣就不會(huì)出現(xiàn)上面的問題，即“括號(hào)內(nèi)仍有公因式”.接著，一名學(xué)生拋出一個(gè)有難度的問題“因式分解：（x-1）2-4y2”，這一問題極好地刺激了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.有學(xué)生在思考后給出想法“運(yùn)用整體思想，兩個(gè)數(shù)分別是（x-1）和2y，進(jìn)而得到分解結(jié)果（x-1+2y）（x-1-2y）”.進(jìn)一步，還有學(xué)生拋出一個(gè)難度更大的問題“因式分解：（x-1）2-4（x+2）2”.有學(xué)生認(rèn)為這里的兩數(shù)分別是（x-1）和4（y+2），計(jì)算出其結(jié)果為（x+4y+7）（x-4y-9）.對(duì)于上述想法，有學(xué)生很快提出質(zhì)疑“這里應(yīng)視為（x-1）和2（y+2）的平方差，若怕出錯(cuò)也可以看作（x-1）和（2y+4）的平方差，經(jīng)計(jì)算得出其結(jié)果為（x+2y+3）（x-2y-5）”.其余學(xué)生也紛紛認(rèn)為后一名學(xué)生的想法是正確的，并得出在運(yùn)用整體思想解決這樣的問題時(shí)，將二次項(xiàng)前的系數(shù)寫成平方形式，可以杜絕錯(cuò)誤的發(fā)生.

教師總結(jié)：你們真是會(huì)思考、會(huì)反思、會(huì)提煉的好孩子！上述問題都是和a2-b2形式相同的二項(xiàng)式的差，不過此處的a和b可以是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式中的一種.

環(huán)節(jié)3：深度探討，提煉方法

問題5下面，老師出一道題考考大家.因式分解：x2-4y2-2x+1.請(qǐng)大家相互討論，是否可以運(yùn)用今天所學(xué)知識(shí)解決問題？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生展開了火熱的討論，很快有了想法，x2-4y2-2x+1中存在一個(gè)完全平方公式，可以將x2-2x+1轉(zhuǎn)化為（x-1）2，從而原題即可轉(zhuǎn)化為（x-1）2-4y2，這樣就和剛才的問題相同了.

教師總結(jié)：非常棒！你們可以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)完成四項(xiàng)式的分解，真是太讓老師驚喜了！事實(shí)上，這種解法在后續(xù)的學(xué)習(xí)中還會(huì)用到……

環(huán)節(jié)4：有效變式，拓展延伸

問題6求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生自主進(jìn)行討論，并很快有了見解——根據(jù)今日所學(xué)觀察這個(gè)式子，都是兩數(shù)之和，那么配個(gè)兩數(shù)之差即可.因此，可以將原式乘（2-1），從而得出結(jié)果232-1.由此可見，解決這樣的問題是需要技巧的，觀察到原題中沒有兩數(shù)之差，那就給其補(bǔ)上兩數(shù)之差，這樣就能使用平方差公式了.

問題7本題還可以延伸嗎？

學(xué)生活動(dòng)：有了上述問題的引領(lǐng)，學(xué)生各顯神通，得到如下變式：

變式1求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+1）.

變式2你能求出（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）個(gè)位上的數(shù)字嗎？

變式3求值：（3+1）（32+1）（34+1）……（316+1）.

變式4你能求出（4+1）（42+1）（44+1）……（416+1）個(gè)位上的數(shù)字嗎？

…………

3 “共生”課堂的感悟與思考

3.1 在不斷提問中推動(dòng)思維生成

在“共生”課堂中，教師提出問題并引領(lǐng)學(xué)生自主進(jìn)行深度思考和探索，探尋解決問題的策略，獲得思維的進(jìn)階.與此同時(shí)，教師拋出問題引發(fā)學(xué)生提問，讓學(xué)生在質(zhì)疑與爭辯中喚醒思考、挑戰(zhàn)、質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、超越等思維的激情，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維[J].本課中，教師拋出一個(gè)能引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑的問題，學(xué)生興致勃勃地參與到提出問題的環(huán)節(jié)中去，隨著思維的深入，所提的問題越發(fā)具有深度，使得學(xué)生在不斷提出問題和解決問題的過程中磨礪思維，極好地發(fā)展了高階思維能力[J].

3.2 在互動(dòng)交流中推動(dòng)能力生成

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，整個(gè)過程都應(yīng)是學(xué)習(xí)者與數(shù)學(xué)的共生過程.一是學(xué)生心靈與數(shù)學(xué)的共生過程，很好地在自主探究中生成數(shù)學(xué)能力；二是學(xué)生與學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)的共生，也就是在互動(dòng)交流中生成數(shù)學(xué)能力；三是師生間圍繞數(shù)學(xué)的共生，也就是教師作為引導(dǎo)者、合作者和指導(dǎo)者，圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)提出問題，為學(xué)生能力的生成提供幫助.對(duì)于一節(jié)課而言，新知的構(gòu)建、能力的發(fā)展都是通過師生共生，在互動(dòng)交流中完成的[J].本節(jié)課中，教師在課始直接拋出問題引發(fā)學(xué)生的探索欲望，之后讓學(xué)生自主提問暴露思維，深化對(duì)平方差公式的理解，再通過拓展延伸深化學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí).這樣的學(xué)習(xí)過程就是數(shù)學(xué)與師生的共生過程，從而有效推動(dòng)了數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

總之，構(gòu)建“共生”課堂就是教師將數(shù)學(xué)教學(xué)中所有要素進(jìn)行有機(jī)整合，以最恰當(dāng)、最有效的方式呈現(xiàn)出來，共同生成精彩的教學(xué)活動(dòng).在這樣的“共生”課堂中，師與生、生與生、數(shù)學(xué)與師生互動(dòng)共生，最終達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的最優(yōu)發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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