若數(shù)學(xué)教學(xué)一直停留在淺層的理解、記憶和應(yīng)用上，那么學(xué)生的學(xué)是被動(dòng)的、消極的.在教學(xué)中，教師要關(guān)注教學(xué)細(xì)節(jié)，把握好教學(xué)時(shí)機(jī)，通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)、巧妙提問(wèn)、變式探究等活動(dòng)誘發(fā)學(xué)生深度思考，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 巧借“意外”，引發(fā)深度教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了確保課堂教學(xué)效果和教學(xué)品質(zhì)，教師會(huì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和本班學(xué)情精心預(yù)設(shè)教學(xué)活動(dòng).但課堂是動(dòng)態(tài)變化的，因受學(xué)生因素、環(huán)境因素等一些不可控因素的影響，課堂教學(xué)中可能會(huì)出現(xiàn)一些意外.對(duì)于這些意外，教師要合理分析，巧妙應(yīng)用，以此通過(guò)深度的挖掘讓深度教學(xué)自然而然地發(fā)生.

案例1確定圓的條件

在“圓的定義”教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)預(yù)設(shè)，教師指定一位學(xué)生上臺(tái)畫(huà)圓，其他學(xué)生認(rèn)真觀察畫(huà)圓過(guò)程，以此通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生更好地體驗(yàn)圓，提煉出確定圓的兩個(gè)要素即圓心和半徑.在課堂上，教師根據(jù)預(yù)設(shè)讓學(xué)生演示畫(huà)圓的過(guò)程，但是學(xué)生在畫(huà)圓時(shí)圓規(guī)的腳打滑，學(xué)生繪制出來(lái)的圖形與圓明顯不同.為了彌補(bǔ)這一遺憾，教師決定自己畫(huà)圓，為了避免剛才情況的再次發(fā)生，在繪制前刻意在圓規(guī)腳的一端按了按，沒(méi)想到這端固定住了，另外一端卻打滑了，因而也沒(méi)有成功畫(huà)成圓.在教學(xué)中，大多教師可能會(huì)重新繪制圓，從而按照預(yù)設(shè)繼續(xù)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).不過(guò)，筆者在教學(xué)中選擇利用這個(gè)意外，讓學(xué)生思考：“為什么剛剛繪制的兩個(gè)圖形都不是圓呢？”學(xué)生通過(guò)思考、交流，發(fā)現(xiàn)第一次沒(méi)有畫(huà)成圓，是因?yàn)楣潭税霃剑瑳](méi)有固定圓心，而第二次恰恰相反，是固定了圓心，卻沒(méi)有固定半徑.找到問(wèn)題的根源后不難發(fā)現(xiàn)，若想繪制圓，需要固定圓心、固定半徑，由此亦可提煉出確定圓的兩個(gè)要素.

在本案例教學(xué)過(guò)程中，教師尊重意外，引導(dǎo)學(xué)生思考“畫(huà)不成圓”的原因，通過(guò)交流達(dá)成了共識(shí)，提煉出確定圓的兩個(gè)因素.

2 借助“想當(dāng)然”，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些“想當(dāng)然”的現(xiàn)象，其反映出學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，在沒(méi)有形成完善的合情推理的知識(shí)鏈時(shí)就急于給出結(jié)果，從而因驗(yàn)證過(guò)程的缺失而影響學(xué)習(xí)效果.“想當(dāng)然”現(xiàn)象的存在為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)了阻礙，在日常教學(xué)中，教師要讓學(xué)生去探究“想當(dāng)然”背后的知識(shí)鏈，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)推理與驗(yàn)證，從而讓學(xué)生的思維在操作、觀察、猜想、反思、驗(yàn)證的過(guò)程中從低階走向高階[J].

案例2探究“圓O上離點(diǎn)A最近的點(diǎn)”

師：已知點(diǎn)A是圓O外一點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出圓上離點(diǎn)A最近的點(diǎn).

生1：過(guò)O，A兩點(diǎn)作直線OA，直線OA與圓O交于M，N兩點(diǎn).如圖1，點(diǎn)M離點(diǎn)A最近.

師：為什么？

生1：很明顯啊.

師：我們知道數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在解答時(shí)一定要做到有理有據(jù).你們有沒(méi)有辦法證明點(diǎn)M離點(diǎn)A最近呢？

生2：根據(jù)以前所學(xué)，若想證明“最近”，可能會(huì)用到以下兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).一是兩點(diǎn)之間線段最短；二是垂線段最短.顯然本題從“兩點(diǎn)之間線段最短”這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā)更容易驗(yàn)證.于是我想到在圓O上任取一點(diǎn)C（異于點(diǎn)M），這樣只要證明AMlt;AC即可.連接OC，AC，在△OCA中，OC+ACgt;OA=OM+MA.又OC=OM，故ACgt;AM.

師：非常好！利用三角形三邊關(guān)系順利完成了驗(yàn)證.

師：認(rèn)真觀察圖1，大家是否還有其他發(fā)現(xiàn)呢？

生3：點(diǎn)N是圓上距離點(diǎn)A最遠(yuǎn)的點(diǎn).在圓O上任取一點(diǎn)C（異于點(diǎn)N），總有OA+ON=OA+OCgt;AC，故AN最長(zhǎng).

師：非常好的發(fā)現(xiàn).剛剛我們研究的點(diǎn)A在圓外，若點(diǎn)A在圓內(nèi)，你能找出圓上離點(diǎn)A最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)嗎？

接下來(lái)，在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生繼續(xù)探究，以此深化對(duì)知識(shí)的理解.在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些“想當(dāng)然”的現(xiàn)象，在教學(xué)中，要盡量避免那些“想當(dāng)然”，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的推理和驗(yàn)證，以此確保結(jié)論準(zhǔn)確、有效.

3 利用“變式探究”，引發(fā)高階思維

通過(guò)有效的“變式”可以深化對(duì)概念、定理等知識(shí)的理解，有利于提升學(xué)生的舉一反三能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.同時(shí)，變式探究在培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”的能力中也發(fā)揮著不可替代的作用.在教學(xué)中，教師可以通過(guò)“發(fā)散式”追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，讓學(xué)生認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].

案例3“圓心角、弧、弦關(guān)系定理”的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦關(guān)系定理”后，學(xué)生理解了在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條?。ㄍ瑑?yōu)弧或同劣?。?、兩條弦中，只要其中一組量相等，那么其他兩組量也會(huì)分別相等.在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生思考以下問(wèn)題.

問(wèn)題1如圖2，在圓O中，若AB=2CD，則∠AOB=2∠COD，AB=2CD是否成立？

生1：我認(rèn)為∠AOB=2∠COD，AB=2CD都成立.

生2：我認(rèn)為∠AOB=2∠COD，ABlt;2CD.

師：看來(lái)大家有不同的意見(jiàn)，請(qǐng)大家驗(yàn)證一下，到底哪個(gè)結(jié)論是正確的呢？

生3：在AB上取其中點(diǎn)E，則AE=BE=CD，于是可得∠AOE=∠BOE=∠COD，所以∠AOB=2∠COD.

師：很好.接下來(lái)誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，線段AB與CD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生4：根據(jù)定理易得AE=BE=CD，在△ABE中，ABlt;AE+BE，即ABlt;2CD.

師：說(shuō)得很好，同學(xué)們通過(guò)取弧的中點(diǎn)，將兩倍弧轉(zhuǎn)化為等弧問(wèn)題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)驗(yàn)證了結(jié)論.通過(guò)以上探究，你有哪些收獲？

生5：在應(yīng)用定理時(shí)不要盲目地套用，要學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

生6：當(dāng)條件改變時(shí)，結(jié)論往往也會(huì)發(fā)生改變，要學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問(wèn)題.

通過(guò)以上探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣高漲，教師繼續(xù)給出問(wèn)題，讓學(xué)生分析并解決問(wèn)題.

問(wèn)題2在圓O中，如果∠AOB=2∠COD，那么AB=2CD，AB=2CD是否成立？

學(xué)生通過(guò)利用∠AOB的平分線，易知AB=2CD，ABlt;2CD.

師：在此基礎(chǔ)上，你還能繼續(xù)提出問(wèn)題嗎？

生7：在圓O中，若AB=2CD，則AB=2CD，∠AOB=2∠COD是否成立？

…………

4 利用“關(guān)系”，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它們之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，可以說(shuō)數(shù)學(xué)教學(xué)就是研究這些關(guān)系的教學(xué).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從這些“關(guān)系”入手，將一些相關(guān)、相似的知識(shí)通過(guò)橫向、縱向拓展編制成知識(shí)網(wǎng)，以此構(gòu)建完善的認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、靈活性、創(chuàng)造性.

案例4點(diǎn)與圓、線與圓、圓與圓位置關(guān)系的融合

師：通過(guò)與所學(xué)知識(shí)進(jìn)行類比，我們得到“兩圓外離dgt;r1+r2”，對(duì)此你還有什么疑問(wèn)嗎？

生1：以上結(jié)論是通過(guò)類比和遷移的方式得到的猜想，缺乏一定的嚴(yán)謹(jǐn)性.猜想后應(yīng)該證明，這樣才能確保結(jié)論的科學(xué)性、可靠性.

師：非常有道理！需要如何證明呢？

生1：要分兩步證明.①由兩圓外離得到dgt;r1+r2；②由dgt;r1+r2得到兩圓外離.

師：很好，請(qǐng)大家交流一下，看看具體如何證明.

生2：設(shè)O1O2=d，圓O1與圓O2的半徑分別為r1，r2.由兩圓外離得到dgt;r1+r2易證.如圖3，連接O1O2，分別交兩圓于A，B兩點(diǎn)，故d=O1A+AB+O2B=r1+r2+AB，故dgt;r1+r2.

師：“由dgt;r1+r2得到外離”該如何證明呢？

生3：令點(diǎn)B為圓O2上一點(diǎn)，且離圓O1最近.由于dgt;r1+r2，所以d-r2gt;r1，也就是O1Bgt;r1，這樣就說(shuō)明圓O2上離圓O1最近的點(diǎn)都在圓O1外，所以圓O2上每個(gè)點(diǎn)都在圓O1外.同理可證圓O1上每個(gè)點(diǎn)都在圓O2外，故兩圓外離.

師：非常好，這樣將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在圓外的問(wèn)題，利用已有知識(shí)解決了問(wèn)題.根據(jù)以上證明的方法，如何證明dgt;r直線與圓相離呢？

以上將兩圓外離、直線與圓相離用點(diǎn)與圓的關(guān)系加以解釋，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的相互溝通，促進(jìn)了理解的深化，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，提升了思維的品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的融會(huì)貫通.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬愛(ài)珠.關(guān)注細(xì)節(jié)，推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂動(dòng)態(tài)重構(gòu)[J].名師在線，2021（4）：38-39.

[2]徐亮.從深度學(xué)習(xí)角度談初中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究，2021（35）：36-37.