[摘? 要] “等分除模型”問題是指學(xué)生知道總數(shù)和份數(shù)，把一個(gè)數(shù)平均分成幾份求一份數(shù)是多少的問題。剛好分完和分后有余是“等分除模型”中常見的問題，二年級(jí)學(xué)生解決這類問題時(shí)會(huì)采用不同的表征方式：動(dòng)作表征、符號(hào)表征、語(yǔ)言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征。

[關(guān)鍵詞] 等分除模型;策略研究;前測(cè)分析

一、問題的提出

“等分除模型”問題是指學(xué)生知道總數(shù)和份數(shù)，把一個(gè)數(shù)平均分成幾份求一份數(shù)是多少的問題。筆者以“等分除模型”教學(xué)為例，探究學(xué)生采用的表征方式以及解決剛好分完和分后有余這兩種方式的解決問題的策略。為了了解學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，筆者設(shè)計(jì)了相關(guān)的問題，并努力借助這些開放性的問題了解學(xué)生對(duì)“等分除”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為基于學(xué)習(xí)路徑的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)。

二、研究目的及主要問題

1. 研究目的

分析二年級(jí)的學(xué)生在解決“等分除模型”時(shí)有哪些表征方式，為小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

2. 研究的主要問題

（1）二年級(jí)學(xué)生在解決剛好分完這種“等分除模型”時(shí)有哪些表征方式;

（2）二年級(jí)學(xué)生在解決分后有余這種“等分除模型”時(shí)有哪些表征方式。

三、研究設(shè)計(jì)

1. 研究對(duì)象

按照現(xiàn)行的小學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)教材，筆者選擇了二年級(jí)6個(gè)班共264名學(xué)生作為研究對(duì)象，他們均未在學(xué)校里學(xué)習(xí)過有關(guān)除法的內(nèi)容。

2. 測(cè)試和訪談?lì)}目

本次測(cè)試采用紙筆答題，分不同時(shí)間段進(jìn)行前測(cè)：第一次是學(xué)生學(xué)習(xí)蘇教版二年級(jí)上冊(cè)第四單元“表內(nèi)除法（一）”前，引導(dǎo)學(xué)生完成剛好分完和分后有余這兩種“等分除模型”的題目，考查學(xué)生是否能用畫圖、減法算式、除法算式和文字等方式表征分物的過程;第二次是學(xué)生學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”前，引導(dǎo)學(xué)生完成分后有余這種“等分除模型”的題目，考查學(xué)生是否能用畫圖、減法算式、除法算式和文字等方式表征分物的過程，從剛好分完的除法模型中正遷移到分后有余的除法模型。

第一次前測(cè)：

1. 把12個(gè)圓片平均分成3份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

第1次分3個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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第2次分3個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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第3次分3個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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第4次分3個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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（3）你能用除法算式來(lái)表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個(gè)除法算式，除了能表示“把12個(gè)圓片平均分成3份”這種情境，還能表示哪些現(xiàn)實(shí)情境？（至少寫2種）

2. 把16個(gè)圓片平均分成5份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

第1次分5個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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第2次分5個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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第3次分5個(gè)，剩下（? ）個(gè)。

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（3）你能用除法算式來(lái)表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個(gè)除法算式，除了能表示“把16個(gè)圓片平均分成5份”這種情境，還能表示哪些現(xiàn)實(shí)情境？（至少寫2種）

第二次前測(cè)：

1. 把21個(gè)圓片平均分成6份。

（1）畫一畫，分一分。

（2）用減法表示分的過程。

（3）你能用除法算式來(lái)表示嗎？

（4）你能用一句話描述分物的過程嗎？

（5）這個(gè)除法算式，除了能表示“把21個(gè)圓片平均分成6份”這種情境，還能表示哪些現(xiàn)實(shí)情境？（至少寫2種）

3. 測(cè)試和訪談過程

第一次測(cè)試時(shí)間選擇在學(xué)生沒有接觸過表內(nèi)除法等知識(shí)前;第二次測(cè)試時(shí)間選擇在學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法后，但是還沒有學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法等知識(shí)。測(cè)試對(duì)象為二年級(jí)不同教師執(zhí)教的兩個(gè)平行班級(jí)共88名學(xué)生。學(xué)生在解答過程中，教師沒有做任何提示和指導(dǎo)，整個(gè)測(cè)試過程基本反映了學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知水平。測(cè)試后，教師對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行批改和整理、分析，并選擇部分學(xué)生進(jìn)行訪談，了解他們的思考過程。

四、“等分除模型”的測(cè)試結(jié)果分析

1. 二年級(jí)學(xué)生初次解決“等分除模型”時(shí)能想到不同的表征方式

從表1可知，二年級(jí)學(xué)生在解決剛好分完和分后有余這兩個(gè)問題時(shí)能想到用不同的方式進(jìn)行表征。其中解決剛好分完問題時(shí)想到用1種方法進(jìn)行表征的占59.1%，解決分后有余問題時(shí)想到用1種方法進(jìn)行表征的占31.8%。據(jù)筆者觀察，學(xué)生的這一種方法主要是動(dòng)作表征。

2. 二年級(jí)學(xué)生再次解決分后有余時(shí)能想到更多的表征方式

從表2可知，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法知識(shí)時(shí)，經(jīng)歷了動(dòng)作表征、符號(hào)表征、語(yǔ)言表征和現(xiàn)實(shí)情境表征等過程，對(duì)剛好分完這種問題有了全面的認(rèn)識(shí)。因此，學(xué)生在第二次前測(cè)時(shí)，比第一次前測(cè)分后有余問題時(shí)有了更多的表征方式：第一次解決分后有余問題時(shí)不能進(jìn)行表征的占48.9%，第二次解決分后有余問題時(shí)不能進(jìn)行表征的占5.7%;第一次解決分后有余問題時(shí)用1種方法進(jìn)行表征的占31.8%，第二次解決分后有余問題時(shí)用1種方法進(jìn)行表征的占46.6%?？梢姡瑢W(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時(shí)的各種表征方式對(duì)有余數(shù)的除法有積極促進(jìn)作用。

3. 二年級(jí)學(xué)生解決“等分除模型”時(shí)多用動(dòng)作表征和除法算式表征

從表3可以看出無(wú)論是解決剛好分完問題還是解決分后有余問題，大多數(shù)學(xué)生都是用動(dòng)作表征分物的過程，其中學(xué)生解決剛好分完問題時(shí)運(yùn)用動(dòng)作表征的占59.1%，解決分后有余問題時(shí)運(yùn)用動(dòng)作表征的占31.8%。為了進(jìn)一步了解學(xué)生用動(dòng)作表征的過程，筆者訪談了部分學(xué)生：如把12個(gè)圓片平均分成3份時(shí)，有的學(xué)生是1個(gè)1個(gè)地分圓片，把12個(gè)圓片分到不能再分為止;有的學(xué)生第一次分3個(gè)圓片，第二次分3個(gè)圓片，以此類推分完為止;有的學(xué)生想到了乘法口訣“三四十二”，就立即4個(gè)4個(gè)地分，直接分完了。

二年級(jí)學(xué)生首選動(dòng)作表征解決“等分除模型”;其次是符號(hào)表征，學(xué)生解決剛好分完問題時(shí)運(yùn)用符號(hào)表征的占57.9%，解決分后有余問題時(shí)運(yùn)用符號(hào)表征的占23.9%;再次是語(yǔ)言表征，學(xué)生解決剛好分完問題時(shí)運(yùn)用語(yǔ)言表征的占23.9%，解決分后有余問題時(shí)運(yùn)用語(yǔ)言表征的占8.0%。

五、結(jié)論

1. 這組題目的測(cè)試和分析后得出的結(jié)論

（1）二年級(jí)學(xué)生解決“等分除模型”時(shí)能想到不同的表征方式，比如動(dòng)作表征、符號(hào)表征（減法算式和除法算式）、語(yǔ)言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征。

（2）當(dāng)二年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法后，相比第一次前測(cè)分后有余問題，第二次前測(cè)時(shí)有了更多的表征方式。

（3）二年級(jí)學(xué)生解決“等分除模型”時(shí)多用動(dòng)作表征和除法算式表征。

（4）二年級(jí)學(xué)生在解決“等分除模型”時(shí)，個(gè)體之間存在差異性。

2. 對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（1）在表內(nèi)除法的新課教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)豐富的體驗(yàn)活動(dòng)，幫助學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)作表征、符號(hào)表征（減法算式和除法算式）、語(yǔ)言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征等活動(dòng)，建立平均分的表象。

（2）在有余數(shù)除法的新課教學(xué)中，教師要從復(fù)習(xí)表內(nèi)除法導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分物時(shí)會(huì)出現(xiàn)剛好分完和分后有余這兩種情況，并溝通表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法之間的聯(lián)系。

（3）在教學(xué)活動(dòng)前進(jìn)行前測(cè)，有利于教師更好地把握學(xué)情，了解大多數(shù)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

作者簡(jiǎn)介：賈俊?。?981—），本科學(xué)歷，二級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。