尤海濤

【摘? 要】? 進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)及其應(yīng)用成了帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的重要基礎(chǔ).數(shù)學(xué)建模作為現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)知識(shí)溝通的渠道，對(duì)幫助學(xué)生強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力均積極作用.為此，在全新的課程標(biāo)準(zhǔn)下，必須深刻理解建模能力培養(yǎng)的重要性.本文根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷，從“滲透點(diǎn)”選擇、問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)、多角度思考引導(dǎo)以及生活實(shí)際應(yīng)用提出幾點(diǎn)數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)策略，期望為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透帶來(lái)突破.

【關(guān)鍵詞】? 核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)；建模能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確表示必須全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，學(xué)生能夠經(jīng)由核心素養(yǎng)價(jià)值觀的學(xué)習(xí)形成正確的價(jià)值觀念，從而達(dá)到學(xué)科關(guān)鍵能力與必備品格的強(qiáng)化[1].數(shù)學(xué)建模能力是核心素養(yǎng)的重要組成部分，其強(qiáng)調(diào)基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和場(chǎng)景下發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析問(wèn)題，并結(jié)合問(wèn)題完成模型建立、參數(shù)確認(rèn)與計(jì)算求解，以及完成模型改進(jìn)與優(yōu)化，最終達(dá)到有效解決問(wèn)題的目的.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是連接數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要載體，同時(shí)也是帶動(dòng)學(xué)生快速建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的關(guān)鍵能力[2].為此，在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透的背景下，借助有效的教學(xué)手段來(lái)提升學(xué)生的建模能力，是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)工作的重難點(diǎn).

1? 基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)重要性

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中相關(guān)要求，強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，必須引導(dǎo)學(xué)生能夠通過(guò)自主探索、動(dòng)手操作以及小組合作等豐富的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)核心素養(yǎng)的滲透[3].此外，還明確指出教師必須推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能夠與日常生活建立關(guān)聯(lián)性，從而激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，成長(zhǎng)為課堂的主人公，并通過(guò)這種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)化，最終形成問(wèn)題解決能力與空間想象力.數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)要求在課程實(shí)施期間，以更為豐富有效的手段來(lái)完成情境氛圍的打造，進(jìn)而有效激發(fā)學(xué)生的參與主動(dòng)性，投入到建?；顒?dòng)中[4].為此，面對(duì)全新的教學(xué)要求，通過(guò)對(duì)建模能力的培養(yǎng)，能夠更好地達(dá)到有效滲透核心素養(yǎng)的效果，更利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高和知識(shí)的吸收、利用.

2? 基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)策略

2.1? 結(jié)合教材內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)建模的“滲透點(diǎn)”

在數(shù)學(xué)日常教學(xué)工作中，要實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的滲透，形成全新的滲透模型思想，并非在教學(xué)內(nèi)容中融入生硬的建模內(nèi)容，也不是在完成課程講解之后，再進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用開(kāi)展.而是需要教師能夠在日常教學(xué)中，深刻理解教材內(nèi)容信息，有意識(shí)地把握各個(gè)章節(jié)中潛藏的“滲透點(diǎn)”，借助經(jīng)典的建模問(wèn)題來(lái)給予學(xué)生科學(xué)引導(dǎo)[5].只有當(dāng)教師把握住了“滲透點(diǎn)”，才能夠?yàn)閷W(xué)生打造一個(gè)經(jīng)歷建模、知識(shí)形成的學(xué)習(xí)課堂，讓學(xué)生能夠更為直觀地感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生參與建模的興趣和欲望.根據(jù)高中數(shù)學(xué)人教版的教材內(nèi)容來(lái)看，其涉及的數(shù)學(xué)模型非常多，且能夠基于現(xiàn)實(shí)實(shí)現(xiàn)確定其“滲透點(diǎn)”.

例如? （1）分段函數(shù)滲透點(diǎn)包括日常水費(fèi)、出租車費(fèi)用等計(jì)算、個(gè)人所得稅、機(jī)場(chǎng)行計(jì)價(jià)和話費(fèi)套餐選擇等；（2）對(duì)數(shù)函數(shù)滲透點(diǎn)包括考古學(xué)中的年代鑒定方法、地震中里氏震級(jí)的計(jì)算、生長(zhǎng)素濃度對(duì)植物生長(zhǎng)所帶來(lái)的影響等；（3）概率包括預(yù)銷售預(yù)測(cè)、競(jìng)選活動(dòng)、鍵盤(pán)上的字母排列規(guī)律、彩票中獎(jiǎng)概率等.

2.2? 打造問(wèn)題情境，激發(fā)數(shù)學(xué)建模感知力

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求來(lái)看，數(shù)學(xué)模型是構(gòu)筑外部世界與數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要橋梁，是數(shù)學(xué)非常重要的應(yīng)用方式.這就意味著，教師在日常教學(xué)中，需要借助真實(shí)的問(wèn)題情境，來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)內(nèi)容和知識(shí)的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生在思考、分析中明確數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助建模、探究來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，深刻感悟數(shù)學(xué)知識(shí)形成的系統(tǒng)過(guò)程，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)藏的豐富模型思想理念，從而激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、抽象思維能力.為此，教師需要借助“情境—問(wèn)題—建模”的教學(xué)方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)核心素養(yǎng)教育的落實(shí)與建模思想的滲透，最大程度上達(dá)到提升建模能力的效果.

例如? 在“等比數(shù)列的定義”一課中，教師基于建模能力培養(yǎng)的基本要求，設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題情境：（1）我們都明白細(xì)胞是以分裂的方式來(lái)完成繁殖，圖1是某種細(xì)胞的分裂模型，那么細(xì)胞的分裂個(gè)數(shù)可以組成怎樣的數(shù)列關(guān)系呢？通過(guò)該情境和學(xué)習(xí)任務(wù)的明確，在展現(xiàn)跨學(xué)科特性的同時(shí)，也能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)由計(jì)算確定細(xì)胞裂解必然是前一次的2倍.（2）自古以來(lái)就有“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”的刻度計(jì)量方式，即一尺長(zhǎng)度的木棒，每日取其一半，那么永遠(yuǎn)也無(wú)法取完.這樣每日剩下的部分仍然是前一日的一半.若我們將“一尺之錘”視為單位“1”，那么我們可以獲得怎樣的數(shù)列關(guān)系呢？在滲透古代文化思想的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從生活中感悟數(shù)學(xué)建模思想.（3）某種計(jì)算機(jī)病毒能夠完成對(duì)地址簿的查詢，其能夠通過(guò)郵件的方式進(jìn)行傳播.若將病毒制造者所發(fā)送的病毒視為首輪，那么郵件接收者所發(fā)送的病毒即可視為第二輪，以此類推，若每一輪均有20臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染，在不重復(fù)的基礎(chǔ)上，其感染的數(shù)列是怎么的呢？通過(guò)持續(xù)深入的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)，可將數(shù)學(xué)建模思想與日常生活各個(gè)方面形成聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)數(shù)列特征的理解，同時(shí)讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這些特殊的數(shù)列本身就存在于我們生活的各個(gè)方面，感知其中豐富的模型思想，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)化能力的強(qiáng)化.

圖1

2.3? 鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，增強(qiáng)數(shù)學(xué)模型創(chuàng)造力

在數(shù)學(xué)日常教學(xué)期間，教師需要從以往單向知識(shí)灌輸，題海戰(zhàn)術(shù)的落后教學(xué)理念中走出來(lái)，盡管傳統(tǒng)教學(xué)方法能夠迅速達(dá)到知識(shí)傳播的效果，但這種教學(xué)模式與現(xiàn)階段核心素養(yǎng)創(chuàng)造思維和能力培養(yǎng)的要求相違背，極易出現(xiàn)“高分低能”的情況[6].面對(duì)教學(xué)改革的深入推進(jìn)，教師應(yīng)當(dāng)以引導(dǎo)學(xué)生感知知識(shí)形成過(guò)程、深刻把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)為根本原則，鼓勵(lì)學(xué)生能夠從不同的角度、不同的層面來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和內(nèi)容的探索，同時(shí)激發(fā)學(xué)生自我監(jiān)控的基本能力，帶動(dòng)學(xué)生能夠在自我反問(wèn)中強(qiáng)化模型建構(gòu)能力與創(chuàng)造力[7].

例如? 在“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課中，基于建模能力培養(yǎng)的要求下，在進(jìn)入到課程之后，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓的定義內(nèi)容進(jìn)行回顧，引導(dǎo)學(xué)生從舊知識(shí)復(fù)習(xí)中完成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程內(nèi)容的導(dǎo)入.隨后鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)背誦或者翻閱的方式，一起完成對(duì)曲線方程建立五個(gè)步驟的回答，即完成坐標(biāo)系建立、設(shè)標(biāo)、列舉公式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn).隨后帶動(dòng)學(xué)生跟隨問(wèn)題主動(dòng)思考，進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，即通過(guò)橢圓形狀的觀察，你認(rèn)為它應(yīng)當(dāng)選擇何種坐標(biāo)系才能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)橢圓方程的簡(jiǎn)化呢？學(xué)生在對(duì)橢圓形狀觀察和討論中，發(fā)現(xiàn)橢圓實(shí)際上屬于對(duì)稱圖形，故基于橢圓兩焦點(diǎn)F1與F2的直線來(lái)作為x軸，線段F1F2的垂直平分線即可作為y軸，形成直角坐標(biāo)系xOy，見(jiàn)圖2.此外，教師引導(dǎo)學(xué)生從橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F1與F2的直線來(lái)作為x軸的角度出發(fā)，探索其左頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，再通過(guò)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O以及與x軸垂直的直線可視為y軸的思路，明確了第二種建系路徑.在不同角度的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠?qū)υO(shè)點(diǎn)后的列式和化簡(jiǎn)進(jìn)行系統(tǒng)化思考，促使學(xué)生的元認(rèn)知能力得到提升.隨后，再次提出問(wèn)題“在確定坐標(biāo)系之后，我們需要如何設(shè)點(diǎn)呢？”學(xué)生結(jié)合橢圓的第一定義提出了兩種不同的設(shè)點(diǎn)方案.

圖2

2.4? 聯(lián)系生活實(shí)際，提升數(shù)學(xué)模型應(yīng)用能力

學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是能夠進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用，且在問(wèn)題解決期間，有利于學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知.為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)經(jīng)常性運(yùn)用各種生活實(shí)際案例，讓生活與數(shù)學(xué)形成對(duì)接，帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來(lái)探索日常生活現(xiàn)象，解決生活中遭遇的各種問(wèn)題[8].

例如? 在差角公式的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，教師為學(xué)生打造了一個(gè)全新的生活案例.即足球是一項(xiàng)受到人們喜好的體育競(jìng)技活動(dòng)，但是要想通過(guò)足球比賽將球踢入到球網(wǎng)中卻并非簡(jiǎn)單的事.根據(jù)圖3來(lái)看，該球場(chǎng)的寬度為75m，長(zhǎng)度為110m，球門的長(zhǎng)度為7m，高度為2.5m.當(dāng)一名運(yùn)動(dòng)員沿著邊路帶球突破的過(guò)程中完成射門，在哪個(gè)位置能夠取得最大的射門成功率呢？

圖3

基于該問(wèn)題中最大的難點(diǎn)在于基于實(shí)際問(wèn)題來(lái)提取抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，即哪個(gè)位置射門成功率最大，即需要確定邊路的哪個(gè)點(diǎn)射門能夠達(dá)到對(duì)球門的最大張角.為此，首先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題提出建模假設(shè)，即（1）假設(shè)1：足球前進(jìn)的路徑不因風(fēng)力、空氣阻力發(fā)生改變；（2）假設(shè)2：以直線和質(zhì)點(diǎn)替代球柱、足球；（3）假設(shè)3：在水平面上足球可進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng).足球提出之后在空氣中呈現(xiàn)出弧線運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)問(wèn)題簡(jiǎn)化來(lái)進(jìn)行模型構(gòu)建.基于假設(shè)，提出足球場(chǎng)設(shè)定模型，即將足球場(chǎng)設(shè)定為ABCD矩形，取MN作為AB側(cè)的球門，運(yùn)動(dòng)員基于CB朝著AB運(yùn)動(dòng).設(shè)定運(yùn)動(dòng)員在E點(diǎn)射門，基于題意可獲得，，隨后設(shè)定，，.最終確定底邊37.34m的位置是最佳射門點(diǎn).

圖4

3? 結(jié)語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的重要能力之一，處于邏輯推理能力之后，直觀想象能力之前，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力非常重要的作用，同時(shí)也是新課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)學(xué)教學(xué)工作的滲透難點(diǎn).為此，教師必須深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)教材能力，通過(guò)合理選擇“滲透點(diǎn)”，以全新的教學(xué)手段，來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生形成主動(dòng)學(xué)習(xí)，從而提升數(shù)學(xué)建模能力，為數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).

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