數(shù)列求和問(wèn)題主要考查同學(xué)們對(duì)數(shù)列定義的掌握程度，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用情況.解答數(shù)列求和問(wèn)題的方法很多，下面主要談一談以下四種求和路徑的特點(diǎn)以及應(yīng)用技巧.

一、利用公式法

若可以判定某數(shù)列為等差數(shù)列，則可利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[Sn=na1+nn-12d]來(lái)求和；若可以判定某數(shù)列為等比數(shù)列，則可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式[Sn=a1（1-qn）1-q，q≠1na1，q=1]來(lái)求和.運(yùn)用公式法求和，需根據(jù)已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)、公比、公差、項(xiàng)數(shù)，并將其代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中進(jìn)行計(jì)算.

例1.已知等比數(shù)列[an]滿(mǎn)足[a2+a4=20，] [a3+a5=40]，求該數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn].

解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得[a3+a5=q（a2+a4）]，

而[a2+a4=20，a3+a5=40]，可得公比[q=2]，

則[a2+a4=a1?q+a1q3=2a1+8a1=10a1=20]，

解得[a1=2]，

可得[Sn=a1（1-qn）1-q=2×（1-2n）1-2=2n+1-2].

該數(shù)列為等比數(shù)列，可根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式建立方程組，求得公比和首項(xiàng)，就可以直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.

例2.已知等差數(shù)列[an]的前三項(xiàng)依次為[a，4，3a]，其前[n]項(xiàng)和為[Sn]，且[Sk=110].設(shè)數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式為[bn=Snn]，證明：數(shù)列[bn]是等差數(shù)列，并求其前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：因?yàn)閇a，4，3a]為等差數(shù)列，

所以[a+3a=8]，可得[a=2]，

則[a1=a=2，d=4-a=2]，

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得[Sk=2k+k（k-1）2×2=110]，

解得[k=10]或[k=-11]（舍去），所以[a=2，k=10].

所以[Sn=n（n+1）]，則[bn=Snn=n+1]，

則[bn+1-bn=（n+2）-（n+1）=1]，

所以數(shù)列[bn]是首項(xiàng)為[2]，公差為[1]的等差數(shù)列，

所以[Tn=n（2+n+1）2=n（n+3）2].

在利用公式法求和時(shí)，往往要先利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等來(lái)建立關(guān)于首項(xiàng)和公差（公比）的方程組；然后通過(guò)解方程組求得首項(xiàng)和公差（公比）；再利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.

二、裂項(xiàng)相消

若數(shù)列的通項(xiàng)公式可拆分為兩項(xiàng)之差的形式，如[1n（n+k）=1k1n-1n+k]、[1n+n+1=n+1-n]，則可利用裂項(xiàng)相消法來(lái)求數(shù)列的和.裂項(xiàng)后，各項(xiàng)中互為相反數(shù)的項(xiàng)便會(huì)相消，即可通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算求得問(wèn)題的答案.

例3.已知[an]是公差不為零的等差數(shù)列，其中[an]的首項(xiàng)[a1=2]，且[a2，a4，a8]成等比數(shù)列.若[bn=2n（an+2）]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和.

解：設(shè)數(shù)列[an]的公差為[d]，其中[d≠0]，

因?yàn)閇a1=2]且[a2，a4，a8]成等比數(shù)列，

所以[（2+3d）2=（2+d）（2+7d）]，解得[d=2]，

所以[an=a1+（n-1）d=2n]，

則[bn=2n（an+2）=2n（2n+2）=1n（n+1）=1n-1n+1]，

所以[Sn=b1+b2+???+bn]

[=1-12+12-13+???+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.]

數(shù)列的通項(xiàng)公式為[bn=1n（n+1）]，其分母為連續(xù)自然數(shù)之積，于是將其裂項(xiàng)為[1n-1n+1]，那么數(shù)列和式中的[-12與12、-13與13、??????、-1n與1n]便可相互抵消，剩下首項(xiàng)和末項(xiàng).

例4.已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]滿(mǎn)足[2Sn=（an-1）?（an+2）]，且[angt;0（n∈N*）].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列[bn]滿(mǎn)足[bn=3n（2n-1）nan（n∈N*）]，記數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn]，試證明：[Tn≥32].

解：（1）易得[an=n+1]；（過(guò)程略）

（2）[bn=3n（2n-1）n（n+1）=3n+1n+1-3nn]，

所以[Tn=b1+b2+???+bn]

[=322-3+333-322+???][+3nn-3n-1n-1+3n+1n+1-3nn]

[=3n+1n+1-3]，

則[Tn+1-Tn=3n+2n+2-3n+1n+1=3n+1（2n+1）（n+1）（n+2）gt;0]，

所以數(shù)列[Tn]單調(diào)遞增，所以[Tn≥T1=92-3=32].

數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式可以裂為兩項(xiàng)之差的形式，于是運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，即可快速解題.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解題的難點(diǎn)是如何將數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分成能夠相消的形式.一般來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)代入一些連續(xù)的自然數(shù)值，進(jìn)行配湊.

三、分組求和

若數(shù)列可以拆分為幾個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的和或者差，則可采用分組求和法解題.運(yùn)用分組求和法求數(shù)列的和，需先仔細(xì)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行合理的拆項(xiàng)、重組；然后分組進(jìn)行求和，并將所得的結(jié)果進(jìn)行相加減.

例5.求數(shù)列[32，94，258，6516，???]的前[n]項(xiàng)和[Sn].

解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an=n+12n]，

則數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn=32+94+258+6516+???+n+12n]

[=（1+2+3+???+n）+（12+14+18+???+12n）]

[=n（n+1）2+12（1-12n）1-12]

[=n2+n2-12n+1].

仔細(xì)研究數(shù)列的各項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an=n+12n]，于是將其拆分為兩個(gè)數(shù)列[1，2，3，???，n]與[12，14，18，???，12n]，即可將數(shù)列的各項(xiàng)分為兩組，分別運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.

例6.已知數(shù)列[Sn]是數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，且[Sn-2an=n-4].

（1）證明：[{Sn-n+2}]為等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列[Sn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：（1）過(guò)程略；

（2）由（1）可知[{Sn-n+2}]是首項(xiàng)為[4]，公比為[2]等比數(shù)列

則[Sn-n+2=2n+1]，所以[Sn=2n+1+n-2]，

則[Tn=（22+23+???+2n+1）][+（1+2+???+n）-2n]

[=4（1-2n）1-2+n（n+1）2-2n]

[=2n+3+n2-3n-82].

數(shù)列[Sn]的通項(xiàng)公式[Sn=2n+1+n-2]可看作是等差數(shù)列[n-2]與等比數(shù)列[2n+1]的通項(xiàng)公式的和，于是將數(shù)列分為兩組，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別運(yùn)用等差和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和即可.

四、錯(cuò)位相減

若數(shù)列的各項(xiàng)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，則可采用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.先將數(shù)列的前n項(xiàng)和式乘以等比數(shù)列的公比；再將該式與數(shù)列的前n項(xiàng)和式相減；最后簡(jiǎn)化，就能得到數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例7.已知數(shù)列[{an}，{bn}]分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，且數(shù)列[bn]的每一項(xiàng)都為正數(shù)，若[a1=b1=1]，[b5+a3=21，a5+b3=13]，求數(shù)列[anbn]的前[n]項(xiàng)和[Sn].

解：由題意可知，等比數(shù)列[bn]的公比[qgt;0]，

因?yàn)閇b5+a3=21，a5+b3=13]，

所以[1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，]解得[d=2，q=2，]

所以數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=2n-1]，數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式為[bn=2n-1]，

所以數(shù)列[anbn]的通項(xiàng)公式為[anbn=2n-12n-1]，

所以[Sn=1+32+522+???+2n-32n-2+2n-12n-1]①，

[2Sn=2+3+52+???+2n-32n-3+2n-12n-2]②，

將②[-]①可得[Sn=2+2+22+222+???+22n-2-2n-12n-1=6-2n+32n-1].

數(shù)列[anbn]的通項(xiàng)公式是等差數(shù)列[an]和等比數(shù)列[12n-1]的通項(xiàng)公式之積，于是運(yùn)用錯(cuò)位相減法，將②[-]①，通過(guò)求等比數(shù)列[22n-2]的前n項(xiàng)和求得[Sn].

例8.設(shè)數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]，且滿(mǎn)足[2Sn=3n+3].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列[bn]滿(mǎn)足[anbn=log3an]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：（1）[an=3，n=1，3n-1，n≥2;]（過(guò)程略）

（2）因?yàn)閇anbn=log3an]，所以[b1=13].

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n]，

所以[Tn=b1+b2+b3+???+bn]

[=13+[1×3-1+2×3-2][+???+（n-1）31-n]]，

可得[3Tn=1+[1×30+2×3-1+???+（n-1）32-n]]，

將上述兩式相減可得[2Tn=136-6n+32×3n]，

得[Tn=1312-6n+34×3n].

運(yùn)用錯(cuò)位相減法解題時(shí)的運(yùn)算量較大，同學(xué)們要將兩個(gè)和式中指數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)齊并作差，這樣才能有效減少錯(cuò)誤.

上述四種方法都是解答數(shù)列求和問(wèn)題的重要方法.總的來(lái)說(shuō)，同學(xué)們?cè)谇髷?shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要認(rèn)真觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求和.

（作者單位：江蘇省石莊高級(jí)中學(xué)）