【摘要】模型觀念具有高度的培養(yǎng)價值.指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵，認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型對解決實際問題的積極意義，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解水平與應(yīng)用能力的關(guān)鍵.教師應(yīng)認(rèn)識到模型觀念的培養(yǎng)意義，并做好相關(guān)教學(xué)工作.文章詳細(xì)說明了模型觀念的含義，探討了模型觀念對于解決抽象問題、生活問題、幾何問題的積極作用，并結(jié)合具體教學(xué)案例，探究了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中模型觀念的培養(yǎng)路徑，指出教師可以通過整合教學(xué)內(nèi)容、合理舉例、組織系列活動、設(shè)計科學(xué)練習(xí)等方式幫助學(xué)生樹立模型觀念，期望為教師教學(xué)提供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；模型觀念；理解；路徑

【基金項目】本文系江蘇省中小學(xué)“十四五”教研重點自籌課題《初中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育實踐研究》（課題編號：2021JY14-ZB81）的階段性研究成果之一.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須為學(xué)生提供更多認(rèn)識數(shù)學(xué)模型、建立模型的機會，使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中了解數(shù)學(xué)模型的用途，提高學(xué)生的認(rèn)知水平.為此，初中數(shù)學(xué)教師有必要深入研究關(guān)于模型觀念的教育文獻，同時立足教學(xué)實踐總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，為優(yōu)化課堂教學(xué)、指導(dǎo)學(xué)生樹立模型觀念做好準(zhǔn)備.

一、模型觀念的含義

模型觀念是對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識、看法與看待問題的方式.其中，模型指的是數(shù)學(xué)模型，即借助數(shù)學(xué)邏輯方法、數(shù)學(xué)語言構(gòu)成的科學(xué)或工程模型，一般表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)符號、數(shù)字及字母建立起來的數(shù)學(xué)概念、公式、圖像、圖表等.根據(jù)教學(xué)實踐，數(shù)學(xué)模型可被理解為實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化，一般以接近實際事物的抽象形式存在，具有科學(xué)性、邏輯性、可觀性等特征.觀念指的是人們基于自身知識基礎(chǔ)及生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗而形成的對事物的理解和看法，是人們思維活動的產(chǎn)物.

新課標(biāo)在課程目標(biāo)部分解釋了模型觀念的內(nèi)涵，指出“模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識”.基于新課標(biāo)，我們可以明確模型觀念有如下含義：一是認(rèn)識到建立數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的基本途徑；二是用抽象的思維方法從現(xiàn)實生活或具體情境中提煉數(shù)學(xué)問題；三是根據(jù)數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式，用數(shù)字、幾何圖形等建立代數(shù)關(guān)系式或幾何模型.

二、模型觀念的培養(yǎng)作用

（一）可指導(dǎo)學(xué)生解決抽象難題

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不可避免地會遇到一些較為抽象的難題，教師通過培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，可以使學(xué)生在解讀、分析問題的過程中抓住問題本質(zhì)，基于問題的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程、不等式等數(shù)學(xué)模型，尋求解決抽象難題的突破口，繼而輕松解決抽象難題.例如，“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽”有這樣一道抽象難題：華羅庚教授在一首詩文中勉勵青少年，“猛攻苦戰(zhàn)是第一，熟練生出百巧來.勤能補拙是良訓(xùn)，一分辛勞一分才”.現(xiàn)在將詩文中不同的漢字對應(yīng)不同的自然數(shù)，相同的漢字對應(yīng)相同的自然數(shù)，結(jié)果不同漢字所對應(yīng)的自然數(shù)可以排成一串連續(xù)的自然數(shù).如果這28個自然數(shù)的平均值是23，“分”字對應(yīng)的自然數(shù)的最大可能值是多少？基于模型觀念，解決此題可先明確問題潛藏的數(shù)量關(guān)系，嘗試運用數(shù)學(xué)符號表示問題中的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律，繼而解決問題.如，題目中有28個字，“分”與“是”出現(xiàn)2次，“一”出現(xiàn)3次，其他字各出現(xiàn)1次.28個自然數(shù)的平均數(shù)是23，其中有24個是連續(xù)的自然數(shù).基于模型觀念，以23為中心向左、向右各寫12個數(shù)，得到25個連續(xù)的自然數(shù)：11，12，13，…，34，35.因為只有24個不同的數(shù)字，因此要去掉最小的11（剩下24個連續(xù)的自然數(shù)），增加1個13、1個35，這樣，總和比23×26多出（13-11）+（35-23）=14.如果再增加2個16，那么28個數(shù)的平均數(shù)正好是23.所以出現(xiàn)2次的“分”可以是35，不能再大了.如果“分”≥36，那么這28個數(shù)的和至少是13+14+…+36+36+13+13+14=23×28+20，平均數(shù)大于23.

（二）可幫助學(xué)生解決生活問題

（三）可幫助學(xué)生化簡幾何問題

初中數(shù)學(xué)幾何內(nèi)容以研究圖形的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)為主，幾何問題也由此展開.一般情況下，幾何問題并不會在題目中給出過多信息，需要學(xué)生基于幾何圖像分析并解決問題.教師指導(dǎo)學(xué)生運用模型觀念分析問題本質(zhì)、構(gòu)建幾何模型，可以使學(xué)生快速完成幾何證明.例如，如圖所示，若AB∥CD，此時，∠B，∠D，∠E之間有什么關(guān)系？請證明.基于模型觀念解決問題，可以過點E作直線l∥AB，構(gòu)建平行線模型，再結(jié)合AB∥CD證得∠B+∠D+∠E=360°.

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中模型觀念的培養(yǎng)路徑

（一）關(guān)注模型觀念本質(zhì)，整合教學(xué)內(nèi)容

培養(yǎng)初中生的模型觀念需要借助合適的教學(xué)內(nèi)容.目前的初中數(shù)學(xué)教科書并未明確給出構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方式方法，需要教師從教科書給出的概念、原理、習(xí)題中挖掘與模型觀念培養(yǎng)有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并將其以恰當(dāng)?shù)男问匠尸F(xiàn)給學(xué)生.教師應(yīng)當(dāng)基于數(shù)學(xué)模型應(yīng)用性、抽象性的本質(zhì)深入解讀教材文本，并利用導(dǎo)學(xué)案、演示文稿等教學(xué)工具組織教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)模型、形成模型觀念提供資源支持.以蘇科版七年級數(shù)學(xué)上冊“從問題到方程”一課的教學(xué)為例.方程是一種數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們解決現(xiàn)實問題.將問題轉(zhuǎn)化為方程的過程即基于模型觀念解決問題的過程.基于此，教師可挖掘蘇科版教材內(nèi)的模型觀念培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容，同時以PPT的形式展示出來.如：籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定，勝一場得2分，負(fù)一場得1分.某籃球隊賽了12場，共得20分.怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？教師可引導(dǎo)學(xué)生抓住問題本質(zhì)，以圖表的形式展示問題中的相等關(guān)系（見下表）.

假設(shè)該籃球隊勝了x場，那么該籃球隊的負(fù)場數(shù)為（12-x）場，總場數(shù)為[x+（12-x）]場，即12場，總分?jǐn)?shù)為[2x+（12-x）]分，即20分.由此得到方程模型2x+（12-x）=20.

重點解析：數(shù)學(xué)問題存在已知量、未知量，分析已知量、未知量的數(shù)量關(guān)系，運用方程思想與模型思想分析問題中的等量關(guān)系，并基于等量關(guān)系構(gòu)建方程模型解決問題，這一過程就是基于模型觀念解決問題的過程.

這樣利用教科書給出的內(nèi)容挖掘其中的模型觀念培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容，同時整合課外的教學(xué)資源完善演示文稿內(nèi)容，集中說明數(shù)學(xué)模型是什么、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型所用到的思想與方法等，可幫助學(xué)生初步形成模型觀念.

（二）考慮數(shù)學(xué)現(xiàn)實，合理舉例培養(yǎng)模型觀念

新課標(biāo)明確指出，模型觀念包括“初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程”.部分學(xué)生的抽象思維水平低，難以憑借自身所掌握的知識、經(jīng)驗挖掘問題本質(zhì)，掌握建立數(shù)學(xué)模型的原理及方法.教師應(yīng)當(dāng)考慮到學(xué)生的現(xiàn)實發(fā)展情況，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生按照“認(rèn)識—理解—內(nèi)化”的順序理解數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵，使學(xué)生掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法.為此，教師需要基于現(xiàn)實生活中的具體問題舉例說明，通過講解數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程強化學(xué)生的認(rèn)識，有效培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.以蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊“二元一次方程組”一課的教學(xué)為例，教師可以立足現(xiàn)實生活整理數(shù)學(xué)模型建構(gòu)案例，并根據(jù)七年級學(xué)生的學(xué)習(xí)特征組織語言，有序引導(dǎo)學(xué)生思考.七（2）班8名師生去某公園游玩，他們買門票共花了34元，每張成人票5元，每張學(xué)生票3元，分別有幾名教師、學(xué)生去了公園？我們可以假設(shè)去公園的教師有x人，學(xué)生有y人，根據(jù)師生總數(shù)量可以得到方程x+y=8，根據(jù)花費可以得到方程5x+3y=34.之后聯(lián)立方程組求解，可以得到x=5，y=3，即一共有5名教師、3名學(xué)生去了公園.在這一案例中，我們用到了假設(shè)法，將具體的參與人數(shù)假設(shè)為抽象的x，y等數(shù)學(xué)符號，再基于條件中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程組模型，最終完成問題求解.這一過程的本質(zhì)是將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，重點在于將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言.列舉現(xiàn)實案例可使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意義，了解數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的全過程，指導(dǎo)學(xué)生在解讀、分析案例的過程中明確假設(shè)法是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的有效方法，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，為學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決其他問題奠定良好基礎(chǔ).

（三）著眼學(xué)生發(fā)展，系列活動強化模型觀念

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念并非簡單地說明數(shù)學(xué)模型的含義及構(gòu)建方法，還需要引導(dǎo)學(xué)生了解構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想方法.要實現(xiàn)這一教學(xué)目的，教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，用互動型教學(xué)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的講授式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生在師生互動、生生互動的過程中感悟數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)意義，總結(jié)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)方法，逐步強化學(xué)生的模型觀念.以蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊“勾股定理”一課的教學(xué)為例.

1.創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)學(xué)模型

對于大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)模型具有一定的抽象性，在理解、應(yīng)用方面存在困難.為避免學(xué)生在探索數(shù)學(xué)模型的過程中產(chǎn)生畏難情緒，教師有必要貼近現(xiàn)實生活創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，借助有趣、生動的情境滲透建模思想.在此過程中，教師還可圍繞情境內(nèi)容與學(xué)生展開對話，通過對話的方式引導(dǎo)學(xué)生進一步探索數(shù)學(xué)模型.為促進學(xué)生與“勾股定理”一課中模型觀念培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容的深度交互，教師可利用多媒體創(chuàng)設(shè)生活情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.如教師播放幻燈片展示畢達哥拉斯家的瓷磚，同時創(chuàng)設(shè)情境：他們家的瓷磚美嗎？美在哪里？借助非數(shù)學(xué)性的問題驅(qū)動學(xué)生參與討論，引導(dǎo)學(xué)生說出瓷磚可構(gòu)成小正方形、大正方形、長方形等答案.這時，教師放大幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生將目光集中在某塊直角三角形瓷磚上，指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分別由直角三角形兩條直角邊、一條斜邊構(gòu)成的正方形，并提出問題：這三個正方形的面積有怎樣的關(guān)系？由此借助情境驅(qū)動學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜測，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識“畢達哥拉斯定理”這一概念模型.

2.布置任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生合作完成模型建構(gòu)

傳統(tǒng)的教學(xué)方式以“教師講授、學(xué)生聽講”為主要形式，這在一定程度上抹殺了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的天性.讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程當(dāng)中，才能夠真正強化學(xué)生的模型觀念.為此，教師可將任務(wù)教學(xué)法用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)模型探索熱情.實際教學(xué)中，教師可以先分析課程主題，挖掘其中蘊藏的模型觀念培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容，之后圍繞此類教學(xué)內(nèi)容布置學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生以小組為單位合作建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.對于“勾股定理”一課，教師可圍繞該課的教學(xué)主題布置學(xué)習(xí)任務(wù)，如利用手中的工具驗證畢達哥拉斯定理（勾股定理），并說說你的發(fā)現(xiàn)，由此驅(qū)動學(xué)生討論完成任務(wù)的方案，并運用直角三角板、量角器、刻度尺、計算器等工具繪制直角三角形、測量直角三角形三邊、計算直角三角形三邊的平方等，使學(xué)生在任務(wù)操作的過程中發(fā)現(xiàn)直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊平方.之后，教師要求學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言匯報任務(wù)結(jié)果，進一步驅(qū)動學(xué)生完成勾股定理計算模型的建構(gòu)，即a2+b2=c2.

（四）注重問題設(shè)計，科學(xué)練習(xí)升華模型觀念

培養(yǎng)學(xué)生模型觀念的重點在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生學(xué)會根據(jù)問題本質(zhì)建構(gòu)合適的數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.長期組織學(xué)生解決固定格式的數(shù)學(xué)問題，可能會使學(xué)生的思維僵化，不利于學(xué)生建模思維與創(chuàng)新思維的生成與發(fā)展.為此，教師有必要優(yōu)化問題設(shè)計方式，積極采取變式方法設(shè)計形式新穎、內(nèi)容豐富的練習(xí)題，要求學(xué)生應(yīng)用概念、公式、幾何模型解決問題，進一步升華學(xué)生的模型觀念.以蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊“用反比例函數(shù)解決問題”一課的教學(xué)為例.為了鍛煉學(xué)生應(yīng)用反比例函數(shù)模型解決問題的能力，升華學(xué)生的模型觀念，教師可設(shè)計如下習(xí)題.（1）某機床加工一批零件，如果每小時加工30個，那么12小時可以完成.如果要在一個工作日（8小時）內(nèi)完成，則每小時要比原來多加工多少個零件？（2）某學(xué)校要種植一塊面積為100平方米的長方形草坪，要求相鄰兩邊長均不小于5米，則草坪的一邊長y（單位：米）隨其鄰邊長x（單位：米）的變化而變化的圖像是怎樣的？

結(jié) 語

綜上所述，模型觀念是對數(shù)學(xué)模型用途用法的清晰認(rèn)識.培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力具有重要作用.教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到模型觀念培養(yǎng)教學(xué)的重要性，同時結(jié)合新課標(biāo)及其他教輔資料探索數(shù)學(xué)模型的含義，明確模型觀念培養(yǎng)教學(xué)內(nèi)容.同時，教師要考慮數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)系、學(xué)生的發(fā)展情況等，基于教學(xué)實際合理選取概念、性質(zhì)、習(xí)題等教學(xué)內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展特征組織情境、任務(wù)教學(xué)活動等，確保學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下逐漸探索數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)及構(gòu)建方法，逐漸強化學(xué)生的模型觀念.

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