摘" 要：備戰(zhàn)高考回歸教材不同于首次學(xué)習(xí)新知，是在經(jīng)歷了使用教材上所學(xué)的概念、定理、公式和思想方法去解決具體問題等學(xué)習(xí)活動之后，對教材進(jìn)行更深層次的二次認(rèn)知. 在這一過程中，學(xué)生不僅積累了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，還遇到了新的挑戰(zhàn)，這些實(shí)踐和問題成為了重新深度學(xué)習(xí)教材的契機(jī). 深挖教材內(nèi)涵，從而實(shí)現(xiàn)高效、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)效果，不僅加深了學(xué)生對教材的深入理解，更顯著提高了學(xué)生的解題能力，為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：回歸教材；結(jié)構(gòu)化；變式訓(xùn)練；深度思維

中圖分類號：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0052-07

引用格式：李忠良，張培強(qiáng). 備戰(zhàn)高考之回歸教材實(shí)踐探索：以“概率與統(tǒng)計(jì)”為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：52-58.

一、問題提出的背景

筆者所在地區(qū)使用的是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“蘇教版教材”）. 在備戰(zhàn)高考的過程中，嘗試跳出自身使用的教材，故詳細(xì)翻閱人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）. 在人教A版教材選擇性必修第三冊第139頁有一道題，筆者感覺與蘇教版教材上的題目的風(fēng)格略有差異，于是把人教A版教材中的這道題放置在一次測驗(yàn)中.

題目1" 根據(jù)分類變量[x]與[y]的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到[χ2=2.974]，依據(jù)[α=0.05]的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（" ）.

（A）變量[x]與[y]不獨(dú)立

（B）變量[x]與[y]不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

（C）變量[x]與[y]獨(dú)立

（D）變量[x]與[y]獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05

該題答案選C. 閱卷結(jié)果令筆者大跌眼鏡，四個(gè)選項(xiàng)的選擇率分別為20%，36%，22%，22%. 這至少說明了兩個(gè)問題：一是學(xué)生對這道題目的問法感到陌生且無所適從；二是相對來說，學(xué)生傾向于選擇選項(xiàng)B，與教材之間的差異性有一定關(guān)系. 于是，筆者進(jìn)一步比較分析了兩版教材在這個(gè)知識點(diǎn)上的描述，尋找存在的差異.

人教A版教材選擇性必修第三冊第131頁的原文描述如下.

表1給出了[χ2]獨(dú)立性檢驗(yàn)中5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

例如，對于小概率值[α=0.05]，我們有如下的具體檢驗(yàn)規(guī)則：

（1）當(dāng)[χ2≥x0.05=3.841]時(shí)，我們推斷[H0]不成立，即認(rèn)為[X]和[Y]不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05；

（2）當(dāng)[χ2lt;x0.05=3.841]時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷[H0]不成立，可以認(rèn)為[X]和[Y]獨(dú)立.

蘇教版教材選擇性必修第二冊第177頁的原文描述如下.

（1）若[χ2gt;10.828]，則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；

（2）若[χ2gt;6.635]，則有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；

（3）若[χ2gt;2.706]，則有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；

（4）若[χ2≤2.706]，則認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能得出結(jié)論“[H0]成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系.

對于獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論，兩個(gè)版本的教材的描述角度有明顯不同：蘇教版教材傾向于把結(jié)論描述為“根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，有多大把握拒絕零假設(shè)[H0]”，而人教A版教材則傾向于把結(jié)論描述為“基于[α=α0]的小概率值，是否接受零假設(shè)[H0]，若不接受，犯錯(cuò)概率有多大”.

在一線教學(xué)中，很多教師會簡化甚至忽略教材中這部分內(nèi)容的推導(dǎo)過程，而選擇讓學(xué)生直接記住結(jié)論，即計(jì)算卡方值，對比[α0]，模仿教材模板下結(jié)論. 這樣做的弊端是：一旦出現(xiàn)背景的轉(zhuǎn)換或者提問角度的變化，學(xué)生就很容易無所適從，進(jìn)而出現(xiàn)理解誤區(qū)，導(dǎo)致出錯(cuò). 因?yàn)閷W(xué)生并沒有真正理解假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)涵. 要解決這個(gè)問題，就需要回歸教材，甚至對比學(xué)習(xí)不同版本的教材，研讀知識生成的詳細(xì)過程，深度理解其內(nèi)涵. 以該知識點(diǎn)為例，從教材中讀出[α0]的意義為一種決策出錯(cuò)的概率，即“[H0]為真卻被拒絕”，簡稱“棄真”的概率. 只有吃透教材，才能確保在不同背景下均不出現(xiàn)理解錯(cuò)誤.

上面這道題目的嘗試雖然過程有點(diǎn)“尷尬”，但帶給我們的思考卻是深遠(yuǎn)的.

另有一個(gè)案例. 2021年筆者所在省份首次加入新高考，使用新高考Ⅰ卷. 在高三考前回歸教材時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往借助生活常識來判斷事件是否相互獨(dú)立，忽略或者沒有真正理解教材所給公式的內(nèi)涵. 于是，筆者設(shè)計(jì)了如下一道題目，以加深學(xué)生對教材概念的理解.

題目2" 投擲一枚骰子，向上點(diǎn)數(shù)共有1，2，3，4，5，6六種可能，每一種情況的發(fā)生是等可能的，則下列說法正確的是" " " " ".

① 事件“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”是相互獨(dú)立事件；

② 事件“點(diǎn)數(shù)為1或2或3”和事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”是相互獨(dú)立事件.

通過這道題目，學(xué)生體驗(yàn)了“反常識”的結(jié)果，意識到了“現(xiàn)實(shí)生活中的獨(dú)立”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的獨(dú)立”的差別，加深了對教材中公式的理解，掌握了獨(dú)立性的內(nèi)涵，在當(dāng)年高考的第8題中取得了較好的效果. 這也印證了充分重視教材、挖掘教材的重要意義.

二、備戰(zhàn)高考之回歸教材的意義

1. 教材反映教育理念和目標(biāo)的變遷

教材的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)是教育理念和目標(biāo)變化的直接反映. 隨著社會的發(fā)展、科技的進(jìn)步和教育目標(biāo)的更新，教育理念也隨之發(fā)生變化，這些變化必然會體現(xiàn)在教材的編寫和更新上. 例如，從知識傳授向能力培養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，從記憶和重復(fù)向批判性思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展等，教材的編寫是一個(gè)充滿思考和選擇的過程，涉及對教育價(jià)值、社會需求和學(xué)生發(fā)展的深度考量.

2. 教材是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的支撐點(diǎn)

教材是實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)、傳授知識技能的主要工具，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中，教材通過內(nèi)容的選擇、組織和呈現(xiàn)方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展所需的思維方式和行為模式，促進(jìn)思維的發(fā)展，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，提高問題解決能力. 教材通過整合學(xué)科知識、生活實(shí)踐和社會需求，為學(xué)生提供一個(gè)學(xué)習(xí)和探索的平臺，從而促進(jìn)他們的全面發(fā)展. 教材通過案例研究、實(shí)驗(yàn)活動、項(xiàng)目學(xué)習(xí)等方法，將理論知識與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，幫助學(xué)生將學(xué)到的知識運(yùn)用到實(shí)際生活和未來的職業(yè)發(fā)展中. 教材通過提供豐富、多元、實(shí)踐性強(qiáng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和活動，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，發(fā)展綜合能力和人格品質(zhì).

以數(shù)學(xué)教學(xué)為例，回歸數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本來面目，通過注重教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生在夯實(shí)“四基”、提升“四能”的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在學(xué)懂、學(xué)通、學(xué)透數(shù)學(xué)的過程中提高數(shù)學(xué)水平.

3. 教材是高考命題的落腳點(diǎn)

高考命題改革已經(jīng)走向了“依標(biāo)命題”，所以課堂教學(xué)的重心須轉(zhuǎn)變到“依標(biāo)施教”上來. 具體而言就是要重視教材，不僅在新課教學(xué)中要用好教材，而且在復(fù)習(xí)備考中也要回歸教材. 教材不僅是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是復(fù)習(xí)的依據(jù)，教材中覆蓋的知識點(diǎn)、理論和概念是高考題目設(shè)置的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，教材中的重點(diǎn)、難點(diǎn)很可能成為高考關(guān)注的焦點(diǎn). 高考前的復(fù)習(xí)，學(xué)生和教師要以教材為主線，圍繞教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容進(jìn)行. 因此，教材在高考內(nèi)容的選擇、學(xué)生復(fù)習(xí)的指導(dǎo)，以及教育評估和發(fā)展中發(fā)揮著核心作用，這不僅確保了考試內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)化和公平性，也保證了教育內(nèi)容與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之間的一致性和連續(xù)性.

三、回歸教材的實(shí)踐探索

1. 吃透教材中的基本概念

為了更好地陳述該觀點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了一道概念辨析多選題.

題目3" 下列說法中錯(cuò)誤的有（" " ）.

（A）具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)越大，說明其相關(guān)性越高

（B）在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，卡方值的大小代表兩個(gè)變量的相關(guān)程度，卡方值越大，其相關(guān)性越高

（C）事件A，B，C兩兩互斥，則[PA+B+C=PA+]

[PB+PC]

（D）事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則[PABC=PA ·]

[PBPC]

該題的答案選ABD.

關(guān)于選項(xiàng)A，這里涉及正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的概念，教材有明確表述，辨析難度不大.

關(guān)于選項(xiàng)B，卡方值只體現(xiàn)我們對假設(shè)的置信水平，并不是形容零假設(shè)的真假程度. 例如，在獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)中，這一組分類變量相關(guān)性不高，但是由于根據(jù)數(shù)據(jù)算出來的卡方值很大，我們選擇拒絕零假設(shè)，但是造成了錯(cuò)誤決策，即“棄真”，也有可能其本身相關(guān)性很高，但是由于樣本的隨機(jī)性，我們算出來的卡方值比較小，于是選擇相信零假設(shè)，這也是假設(shè)檢驗(yàn)中有可能出現(xiàn)的另一種錯(cuò)誤，即“取偽”. 我們只是根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果結(jié)合顯著性水平[α]去選擇相信零假設(shè)[H0]，或拒絕零假設(shè)[H0]，即選擇相信備擇假設(shè). 我們使用“接受零假設(shè)”或“拒絕零假設(shè)”這樣的術(shù)語，并不意味著確信它是真的，只是意味著根據(jù)目前的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果，我愿意相信它或拒絕它，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量只幫助我們做出相信和拒絕的決定，而不是形容被檢驗(yàn)數(shù)據(jù)本身的關(guān)聯(lián)程度.

關(guān)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D：蘇教版教材給出的多事件“相互獨(dú)立”的公式為[PA1A2…An=PA1PA2…PAn]，

但沒有辨析“相互獨(dú)立”和“兩兩獨(dú)立”概念的區(qū)別.人教A版教材必修第二冊第250頁正文中以方框的形式加以備注說明“三個(gè)事件兩兩互斥和兩兩獨(dú)立的區(qū)別”，留下了一個(gè)開放性問題，教師若能帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探究并嘗試舉出反例，學(xué)生會獲得更深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和概念認(rèn)知. 若不深究教材而“欲言又止”，這里很容易形成知識盲點(diǎn).

綜合來說，在高考前重新回歸教材，吃透教材中的基本概念，在鞏固基礎(chǔ)知識、提高思維系統(tǒng)性、拓展理解的深度和廣度、減少誤解和偏差、適應(yīng)高考命題趨勢、提高答題的準(zhǔn)確性和效率、建立信心和心理準(zhǔn)備等方面都有著重要意義.

2. 對教材中的公式進(jìn)行二次認(rèn)知

以人教A版教材為例，必修第二冊第243頁有性質(zhì)6：[PA?B=PA+PB-PAB]（公式1）. 首次學(xué)習(xí)時(shí)掌握這個(gè)公式難度不大，但在二次認(rèn)知時(shí)對這個(gè)公式可以有更深度的理解. 這個(gè)公式描述的是“事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率”，那么很自然地就可以進(jìn)一步想到：“事件A，B恰有一個(gè)發(fā)生的概率”的計(jì)算公式是什么呢？有了想法，結(jié)果就容易得到了，即[PAB+AB=PA+PB-2PAB]（公式2）.

人教A版教材選擇性必修第三冊第45頁的條件概率公式為：[PBA=PABPA]（公式3），緊接著第46頁又給出了該公式的變形[PAB=PBAPA]（公式4）. 這就給了我們一個(gè)重要啟示：對于由三個(gè)量組成的公式，基于“知二求一”的理念，對公式進(jìn)行變形，是實(shí)現(xiàn)深度認(rèn)知公式的必經(jīng)之路.

人教A版教材必修第二冊第250頁出現(xiàn)這樣一個(gè)公式，[PA=][PAB+PAB]（公式5）. 因?yàn)槭录B]和[B]構(gòu)成了一個(gè)完備事件組，所以這個(gè)公式描述的是對事件[A]的分類，也是后面學(xué)習(xí)全概率公式的預(yù)備知識. 此時(shí)根據(jù)從公式3到公式4的啟示，基于“知二求一”的認(rèn)知角度，公式5也可以變形為[PAB=PA-PAB]（公式6）. 筆者曾在課堂上同時(shí)展示過這兩個(gè)公式，從學(xué)生的第一反應(yīng)來看，明顯對公式6更感陌生，相對來說對公式5感覺更親切. 然而，這完全是同一組關(guān)系式基于“知二求一”作出的變形而已，若沒有經(jīng)過這種深刻的挖掘和認(rèn)知，學(xué)生則很容易在解題中出現(xiàn)“卡殼”的現(xiàn)象.

為了加深對公式1、公式3和公式4的理解，我們可以設(shè)計(jì)題目4.

題目4" 事件A，B滿足[PA=14]，[PBA=15]，[PAB=12]，求[PA?B].

解析：由[PBA=PABPA=15]，得[PAB=120].

由[PAB=PABPB=12]，得[PB=110].

故[PA?B=PA+PB-PAB=14+110-120=310].

為了加深對公式5和公式6的理解，我們可以設(shè)計(jì)題目5和題目6.

題目5" [PAB=PAB]是事件[A，B]相互獨(dú)立的（" ）條件.

（A）充分不必要

（B）必要不充分

（C）充分必要

（D）既不充分也不必要

解析：由[PAB=PAB]，得[PABPB=PABPB].

所以[PABPB=PA-PAB1-PB]，

即[PAB=PAPB].

故答案選C.

題目6" 設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且[PA=12]，[PB=1124]，[PAB+AB=724]，則下列結(jié)論正確的是（ " ）.

（A）[PAB=18] （B）[PA+B=56]

（C）[PAB=911] （D）[PAB=PBA]

該題答案選AB. 考慮到考試中的時(shí)間和壓力等因素，大多數(shù)學(xué)生想在幾分鐘之內(nèi)熟練計(jì)算完四個(gè)選項(xiàng)難度是很大的，甚至剛開始審題便感到陌生. 這道題目可以充分體現(xiàn)學(xué)生對教材中的公式及其變形的熟練掌握程度.

解析：第一步：由公式2，得[PAB+AB=PA+]

[PB-2PAB]. 所以[PAB=13].

第二步：由公式6，得[PAB=PB-PAB=1124-]

[13=18]. 所以選項(xiàng)A正確.

第三步：由公式1，得[PA+B=PA+PB-PAB=]

[12+1124-18=56]. 所以選項(xiàng)B正確.

第四步：由公式3，得[PAB=PABPB=131124=811.]

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

第五步：由公式3，得[PAB=PABPB=181124=311]（或[PAB=1-PAB=311]）.

第六步：由公式3和公式6，得[PBA=PABPA=]

[PA-PABPA=12-1312=13]. 所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

如果把題目6所考查的知識看作一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，那么題目4和題目5都是這個(gè)結(jié)構(gòu)中不同方位的支撐點(diǎn). 當(dāng)通過題目4和題目5把相應(yīng)知識模塊都構(gòu)建完成，題目6的結(jié)構(gòu)化構(gòu)建也就水到渠成了. 如此解題，對公式的使用有一種信手拈來的美感，同時(shí)在一定程度上建立了知識體系的結(jié)構(gòu)化.

3. 重讀教材中的探究問題

教材正文中有穿插的“思考”“探究”，有方框形式的“特別提醒”，課后習(xí)題中有“拓廣探究”，章末復(fù)習(xí)有“問題串梳理”，這些都是教材知識的總結(jié)或延伸，對這些問題的深入探討，對于培養(yǎng)學(xué)生的高級思維能力、增強(qiáng)學(xué)生的理解和記憶、提高學(xué)生解題的靈活性和廣度、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性、培養(yǎng)學(xué)生面對不確定性問題的解決能力及適應(yīng)高考命題趨勢等多個(gè)方面都有重要價(jià)值.

以人教A版教材選擇性必修第三冊第136頁的“拓廣探究”為例：對例1列聯(lián)表8.3-2中的數(shù)據(jù)，依據(jù)[α=0.1]的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們已經(jīng)知道獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是學(xué)校與成績無關(guān)，如果8.3-2中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因.

解析：經(jīng)過計(jì)算會發(fā)現(xiàn)，樣本增大時(shí)，若數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生改變，卡方值也會變大. 原例題計(jì)算出的[χ2≈0.837lt;2.706]，結(jié)論為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異，但是樣本數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍后，計(jì)算得[χ2≈8.365]，卡方值也擴(kuò)大為原來的10倍. 因?yàn)閇8.365gt;][2.706]，同樣依據(jù)[α=0.1]的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，樣本量的增大導(dǎo)致了結(jié)論發(fā)生變化.

探究：教學(xué)參考書沒有再往下詳細(xì)說明，這時(shí)我們可以抓住契機(jī)繼續(xù)探究，做到學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟，引導(dǎo)教學(xué)講透課程重點(diǎn)內(nèi)容，從而在深刻理解的基礎(chǔ)上融會貫通.

事實(shí)上，在假設(shè)檢驗(yàn)中，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)零假設(shè)[H0]為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值也會落入拒絕域，致使我們做出拒絕[H0]的錯(cuò)誤決策. 反之，當(dāng)零假設(shè)[H0]不真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值也會未落入拒絕域，致使我們做出接受[H0]的錯(cuò)誤決策. 我們用[α，β]表示這兩類可能發(fā)生的錯(cuò)誤，記[α=P]（拒絕[H0H0]為真），[β=P]（接受[H0H0]為不真），當(dāng)樣本容量[n]固定時(shí)，[α]越小，[β]就越大. 一般采用的原則是：固定[α]，通過增加樣本容量[n]降低[β]. 也就是說，即便發(fā)生了決策的改變，也不是因?yàn)閷W(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性本身變高或者變低，而只是基于控制決策犯錯(cuò)的概率. 對這個(gè)問題的探究，恰恰深度認(rèn)知了題目3中的選項(xiàng)B，如果對教材上的這個(gè)探究問題有過深刻的理解，那么在判斷題目3的選項(xiàng)B時(shí)就不會存在疑惑了.

4. 指向深度思維的課后經(jīng)典習(xí)題變式訓(xùn)練

根據(jù)教材上的經(jīng)典習(xí)題，設(shè)計(jì)指向深度思維的變式訓(xùn)練，不僅能夠幫助學(xué)生鞏固和深化知識，還能夠培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力、邏輯推理能力和解決問題的能力.

例如，人教A版教材必修第二冊第253頁習(xí)題10.2第3題：若[PAgt;0]，[PBgt;0]，證明事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥不能同時(shí)成立.

解析：若A，B相互獨(dú)立，

則[PAB=PAPBgt;0].

若A，B互斥，則[PAB=0].

所以兩者不能同時(shí)成立.

互斥和獨(dú)立都是概率學(xué)中的基礎(chǔ)概念，但將它們混合在一起進(jìn)行考查時(shí)，對學(xué)生的基本功就有較高的要求了. 為了幫助學(xué)生從不同的角度理解同一個(gè)概念或原理，促進(jìn)知識的遷移和應(yīng)用，我們可以設(shè)計(jì)如下兩道變式題.

變式1：事件A，B互斥，事件A，C相互獨(dú)立，[PA=PB=PC=13]. 下列結(jié)論中正確的是（ " ）.

（A）[PA?B=23] （B）[PA?C=59]

（C）[PB?C=0] （D）[PB?CA?C=35]

解析：對于選項(xiàng)A，[PA?B=PA+PB=23]；對于選項(xiàng)B，[PA?C][=PA+PC-PAC=59]；對于選項(xiàng)C，事件B，C關(guān)系不確定；對于選項(xiàng)D，[PB?CA?C=PCPA?C=35]. 故答案選ABD.

再如，人教A版教材必修第二冊第253頁習(xí)題10.2的第5題：如圖1，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間[Ω=1，2，3，4，] [5，6，7，8]，構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录嗀，B，C，使[PABC=][PAPBPC]成立，但不滿足A，B，C兩兩獨(dú)立.

解析：記[A=1，2，3，4]， [B=1，2，3，5]， [C=]

[1，6，7，8]. 此時(shí)[PA=PB=PC=12]， [PABC=][18]，滿足[PABC=PAPBPC]，但是[PAB=38≠]

[PAPB].

這道題目恰恰解釋了題目3中選項(xiàng)D所辨析的知識點(diǎn)，而且此時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)深化思維的最佳時(shí)機(jī). 既然由[PABC=PAPBPC]不能推出A，B，C兩兩獨(dú)立，那么反向呢？由A，B，C兩兩獨(dú)立能否推出[PABC=PAPBPC]呢？

變式2：構(gòu)造一個(gè)反例，使得事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但不滿足[PABC=PAPBPC].

解析：在概率學(xué)中，這正是經(jīng)典的“伯恩斯坦反例”. 一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色，分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下為事件A，B，C，則此時(shí)[PA=][PB=PC=12]，且[PAB=PBC=PAC=14，] 滿足A，B，C兩兩獨(dú)立，但[PABC=14≠PAPBPC].

通過正反兩個(gè)角度的變式訓(xùn)練，學(xué)生在構(gòu)造事件的過程中實(shí)現(xiàn)了從“知其然”到“知其所以然”的進(jìn)階.

變式3：已知事件A，B，C兩兩獨(dú)立，且[PA=]

[12]，[PB=13]，[PC=14].

（1）若[PCAB=13]，求[PABC]；

（2）若[PABC=16]，求證[A]與[BC]相互獨(dú)立；

（3）若[PABC=16]，求證[A]與[B?C]相互獨(dú)立.

解析：（1）因?yàn)锳，B獨(dú)立，

所以[PAB=12×13=16].

所以[PABC=PABPCAB=118].

此處應(yīng)避免[PABC=PAPBPC]的錯(cuò)誤做法.

（2）因?yàn)閇PABC=PCPABC=124]，

而[PBC=13×14=112]， [PA=12]，

所以[PABC=][PAPBC].

所以[A]與[BC]相互獨(dú)立.

（3）因?yàn)閇PB?C=13+14-112=12]，

[PAB?C=][PAB?AC]

[=PAB+PAC-PABC=16+18-124=14，]

所以[PAB?C=PAPB?C].

所以[A]與[B?C]相互獨(dú)立.

這種深度變式，可以作為優(yōu)等生個(gè)性化輔導(dǎo)的良好素材.

隨著教育評價(jià)方式的變化，越來越多的考試和評估重視學(xué)生的深度思維和創(chuàng)新能力，通過變式習(xí)題的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生適應(yīng)這些變化，加深和擴(kuò)展他們對教材知識的理解. 這種深入的理解能使學(xué)生在遇到類似問題時(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，而不僅僅是機(jī)械地記憶和應(yīng)用，這種訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高他們的綜合素質(zhì)和能力.

四、教師拓展閱讀高等數(shù)學(xué)教材

此任務(wù)專為教師設(shè)計(jì)，而非學(xué)生. 教師在研究概率與統(tǒng)計(jì)模塊的過程中，研讀高等數(shù)學(xué)教材，從更高的視角深入理解知識內(nèi)涵，不僅對教學(xué)本身有重要意義，還對學(xué)生的學(xué)習(xí)成效、教師的專業(yè)發(fā)展及教育方法的創(chuàng)新都有深遠(yuǎn)的影響.

以本文所涉假設(shè)檢驗(yàn)知識為例，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)用范圍既包括高中所學(xué)的對分類變量獨(dú)立性的檢驗(yàn)，也包括對隨機(jī)變量是否服從某一分布的檢驗(yàn)，以及對正態(tài)分布中均值和方差的檢驗(yàn)等，高等數(shù)學(xué)往往涵蓋更為詳細(xì)的推理過程. 若能把高等數(shù)學(xué)教材中的統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容研讀一遍，教師會更容易理解檢驗(yàn)假設(shè)方法的精髓和內(nèi)涵，便能夠在教學(xué)中更準(zhǔn)確、更深入地解釋相關(guān)概念，從而有能力引導(dǎo)學(xué)生獲得更深層次的數(shù)學(xué)知識和理解，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力.

以本文中的概率問題為例，高中所學(xué)的概率模型通常是概率學(xué)中經(jīng)典模型的退化版，如“伯恩斯坦反例”“波利亞罐模型”等. 作為教師，閱讀高等數(shù)學(xué)教材，了解知識全貌，理解更深層次的邏輯和推理過程，有助于構(gòu)建一個(gè)更加完整和連貫的數(shù)學(xué)知識框架.

以全概率公式為例，掌握高等數(shù)學(xué)知識使教師能夠從更廣闊的視角理解高中數(shù)學(xué)知識，為了幫助學(xué)生深度理解全概率公式的精髓，即“化整為零”“各個(gè)擊破”“分而食之”，我們可以設(shè)計(jì)有不同劃分角度的問題模型. 例如，問題“送檢的兩批燈管在運(yùn)輸中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批中有2支次品，現(xiàn)從剩下的燈管中任取一支，問抽得次品的概率是多少？”可以按照所抽燈管來自第一批還是第二批兩種情況進(jìn)行分類，也可以按照打碎的兩支燈管分別是正品還是次品的分布情況，即[正品，正品]、[正品，次品]、[次品，正品]、[次品，次品]四種情況來分類. 如此設(shè)計(jì)，能夠幫助學(xué)生建立更加扎實(shí)和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).

了解高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)和思維方式，教師可以設(shè)計(jì)出更具挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的教學(xué)活動和習(xí)題，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維活力，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和主動探索. 這對于優(yōu)等生的培養(yǎng)或創(chuàng)新人才選拔，尤為重要.

五、展望

創(chuàng)新不是一蹴而就的，本文中用到的多道原創(chuàng)題，恰恰是建立在深入而系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材知識和經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上，基于對教材知識的深度思考、理解和再創(chuàng)造，使之轉(zhuǎn)化為自己的思維方式、解決問題的策略或創(chuàng)新思想. 創(chuàng)新需要長期、系統(tǒng)的準(zhǔn)備和努力.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 在當(dāng)代社會，數(shù)據(jù)的應(yīng)用日益廣泛，概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要性隨之提升，新課改中強(qiáng)化概率與統(tǒng)計(jì)的地位，旨在配合現(xiàn)代社會的需求，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和未來競爭力. 相對于其他模塊，概率與統(tǒng)計(jì)模塊與生活中的各種情景與決策關(guān)聯(lián)度更高，概率與統(tǒng)計(jì)可以幫助我們理解和分析各種情況下事件發(fā)生的可能性，以及如何做出基于數(shù)據(jù)的決策. 對于這一模塊的學(xué)習(xí)和研究，我們更要緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，平衡好做題和系統(tǒng)學(xué)習(xí)教材的關(guān)系，確保對教材的內(nèi)容有深入的理解，這意味著不僅要讀懂每個(gè)章節(jié)的理論知識，還要理解知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，以及它們在實(shí)際中的應(yīng)用.

影響學(xué)生素養(yǎng)提升最根本的還是在于學(xué)生的數(shù)學(xué)功底. 良好的數(shù)學(xué)功底的含義：一是系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，“知其然”且“知其所以然”；二是融會貫通，能靈活運(yùn)用知識與方法解決問題. 做到始于教材、貫穿教材、回歸教材、融入教材，這對于學(xué)生來講，無論是提升其考試應(yīng)變能力，還是提升其綜合素養(yǎng)都具有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 高三復(fù)習(xí)備考如何回歸教材（之一）［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2023（12）：65.

［2］盛驟，謝式千，潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第五版［M］. 北京：高等教育出版社，2019.

［3］李賢平. 基礎(chǔ)概率論：第三版［M］. 北京：高等教育出版社，2010.

［4］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.