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        備戰(zhàn)高考之回歸教材實踐探索

        2024-01-01 00:00:00李忠良張培強
        關(guān)鍵詞:深度思維變式訓(xùn)練結(jié)構(gòu)化

        摘" 要:備戰(zhàn)高考回歸教材不同于首次學(xué)習(xí)新知,是在經(jīng)歷了使用教材上所學(xué)的概念、定理、公式和思想方法去解決具體問題等學(xué)習(xí)活動之后,對教材進行更深層次的二次認知. 在這一過程中,學(xué)生不僅積累了豐富的實踐經(jīng)驗,還遇到了新的挑戰(zhàn),這些實踐和問題成為了重新深度學(xué)習(xí)教材的契機. 深挖教材內(nèi)涵,從而實現(xiàn)高效、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)效果,不僅加深了學(xué)生對教材的深入理解,更顯著提高了學(xué)生的解題能力,為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識奠定了堅實的基礎(chǔ).

        關(guān)鍵詞:回歸教材;結(jié)構(gòu)化;變式訓(xùn)練;深度思維

        中圖分類號:G633.6" " "文獻標(biāo)識碼:A" " "文章編號:1673-8284(2024)04-0052-07

        引用格式:李忠良,張培強. 備戰(zhàn)高考之回歸教材實踐探索:以“概率與統(tǒng)計”為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(高中版),2024(4):52-58.

        一、問題提出的背景

        筆者所在地區(qū)使用的是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“蘇教版教材”). 在備戰(zhàn)高考的過程中,嘗試跳出自身使用的教材,故詳細翻閱人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“人教A版教材”). 在人教A版教材選擇性必修第三冊第139頁有一道題,筆者感覺與蘇教版教材上的題目的風(fēng)格略有差異,于是把人教A版教材中的這道題放置在一次測驗中.

        題目1" 根據(jù)分類變量[x]與[y]的成對樣本數(shù)據(jù),計算得到[χ2=2.974],依據(jù)[α=0.05]的獨立性檢驗,結(jié)論為(" ).

        (A)變量[x]與[y]不獨立

        (B)變量[x]與[y]不獨立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05

        (C)變量[x]與[y]獨立

        (D)變量[x]與[y]獨立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05

        該題答案選C. 閱卷結(jié)果令筆者大跌眼鏡,四個選項的選擇率分別為20%,36%,22%,22%. 這至少說明了兩個問題:一是學(xué)生對這道題目的問法感到陌生且無所適從;二是相對來說,學(xué)生傾向于選擇選項B,與教材之間的差異性有一定關(guān)系. 于是,筆者進一步比較分析了兩版教材在這個知識點上的描述,尋找存在的差異.

        人教A版教材選擇性必修第三冊第131頁的原文描述如下.

        表1給出了[χ2]獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

        例如,對于小概率值[α=0.05],我們有如下的具體檢驗規(guī)則:

        (1)當(dāng)[χ2≥x0.05=3.841]時,我們推斷[H0]不成立,即認為[X]和[Y]不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過0.05;

        (2)當(dāng)[χ2lt;x0.05=3.841]時,我們沒有充分證據(jù)推斷[H0]不成立,可以認為[X]和[Y]獨立.

        蘇教版教材選擇性必修第二冊第177頁的原文描述如下.

        (1)若[χ2gt;10.828],則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”;

        (2)若[χ2gt;6.635],則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”;

        (3)若[χ2gt;2.706],則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”;

        (4)若[χ2≤2.706],則認為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”,但也不能得出結(jié)論“[H0]成立”,即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系.

        對于獨立性檢驗的結(jié)論,兩個版本的教材的描述角度有明顯不同:蘇教版教材傾向于把結(jié)論描述為“根據(jù)檢驗結(jié)果,有多大把握拒絕零假設(shè)[H0]”,而人教A版教材則傾向于把結(jié)論描述為“基于[α=α0]的小概率值,是否接受零假設(shè)[H0],若不接受,犯錯概率有多大”.

        在一線教學(xué)中,很多教師會簡化甚至忽略教材中這部分內(nèi)容的推導(dǎo)過程,而選擇讓學(xué)生直接記住結(jié)論,即計算卡方值,對比[α0],模仿教材模板下結(jié)論. 這樣做的弊端是:一旦出現(xiàn)背景的轉(zhuǎn)換或者提問角度的變化,學(xué)生就很容易無所適從,進而出現(xiàn)理解誤區(qū),導(dǎo)致出錯. 因為學(xué)生并沒有真正理解假設(shè)檢驗的內(nèi)涵. 要解決這個問題,就需要回歸教材,甚至對比學(xué)習(xí)不同版本的教材,研讀知識生成的詳細過程,深度理解其內(nèi)涵. 以該知識點為例,從教材中讀出[α0]的意義為一種決策出錯的概率,即“[H0]為真卻被拒絕”,簡稱“棄真”的概率. 只有吃透教材,才能確保在不同背景下均不出現(xiàn)理解錯誤.

        上面這道題目的嘗試雖然過程有點“尷尬”,但帶給我們的思考卻是深遠的.

        另有一個案例. 2021年筆者所在省份首次加入新高考,使用新高考Ⅰ卷. 在高三考前回歸教材時,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往借助生活常識來判斷事件是否相互獨立,忽略或者沒有真正理解教材所給公式的內(nèi)涵. 于是,筆者設(shè)計了如下一道題目,以加深學(xué)生對教材概念的理解.

        題目2" 投擲一枚骰子,向上點數(shù)共有1,2,3,4,5,6六種可能,每一種情況的發(fā)生是等可能的,則下列說法正確的是" " " " ".

        ① 事件“點數(shù)為1或2”和事件“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件;

        ② 事件“點數(shù)為1或2或3”和事件“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件.

        通過這道題目,學(xué)生體驗了“反常識”的結(jié)果,意識到了“現(xiàn)實生活中的獨立”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的獨立”的差別,加深了對教材中公式的理解,掌握了獨立性的內(nèi)涵,在當(dāng)年高考的第8題中取得了較好的效果. 這也印證了充分重視教材、挖掘教材的重要意義.

        二、備戰(zhàn)高考之回歸教材的意義

        1. 教材反映教育理念和目標(biāo)的變遷

        教材的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)是教育理念和目標(biāo)變化的直接反映. 隨著社會的發(fā)展、科技的進步和教育目標(biāo)的更新,教育理念也隨之發(fā)生變化,這些變化必然會體現(xiàn)在教材的編寫和更新上. 例如,從知識傳授向能力培養(yǎng)的轉(zhuǎn)變,從記憶和重復(fù)向批判性思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展等,教材的編寫是一個充滿思考和選擇的過程,涉及對教育價值、社會需求和學(xué)生發(fā)展的深度考量.

        2. 教材是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的支撐點

        教材是實現(xiàn)教育目標(biāo)、傳授知識技能的主要工具,在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中,教材通過內(nèi)容的選擇、組織和呈現(xiàn)方式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展所需的思維方式和行為模式,促進思維的發(fā)展,幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系,提高問題解決能力. 教材通過整合學(xué)科知識、生活實踐和社會需求,為學(xué)生提供一個學(xué)習(xí)和探索的平臺,從而促進他們的全面發(fā)展. 教材通過案例研究、實驗活動、項目學(xué)習(xí)等方法,將理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合,幫助學(xué)生將學(xué)到的知識運用到實際生活和未來的職業(yè)發(fā)展中. 教材通過提供豐富、多元、實踐性強的學(xué)習(xí)內(nèi)容和活動,幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時,發(fā)展綜合能力和人格品質(zhì).

        以數(shù)學(xué)教學(xué)為例,回歸數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì),回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本來面目,通過注重教學(xué)質(zhì)量,幫助學(xué)生在夯實“四基”、提升“四能”的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),在學(xué)懂、學(xué)通、學(xué)透數(shù)學(xué)的過程中提高數(shù)學(xué)水平.

        3. 教材是高考命題的落腳點

        高考命題改革已經(jīng)走向了“依標(biāo)命題”,所以課堂教學(xué)的重心須轉(zhuǎn)變到“依標(biāo)施教”上來. 具體而言就是要重視教材,不僅在新課教學(xué)中要用好教材,而且在復(fù)習(xí)備考中也要回歸教材. 教材不僅是學(xué)習(xí)的起點,也是復(fù)習(xí)的依據(jù),教材中覆蓋的知識點、理論和概念是高考題目設(shè)置的基礎(chǔ)和出發(fā)點,教材中的重點、難點很可能成為高考關(guān)注的焦點. 高考前的復(fù)習(xí),學(xué)生和教師要以教材為主線,圍繞教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容進行. 因此,教材在高考內(nèi)容的選擇、學(xué)生復(fù)習(xí)的指導(dǎo),以及教育評估和發(fā)展中發(fā)揮著核心作用,這不僅確保了考試內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)化和公平性,也保證了教育內(nèi)容與評價標(biāo)準(zhǔn)之間的一致性和連續(xù)性.

        三、回歸教材的實踐探索

        1. 吃透教材中的基本概念

        為了更好地陳述該觀點,筆者設(shè)計了一道概念辨析多選題.

        題目3" 下列說法中錯誤的有(" " ).

        (A)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)越大,說明其相關(guān)性越高

        (B)在獨立性檢驗中,卡方值的大小代表兩個變量的相關(guān)程度,卡方值越大,其相關(guān)性越高

        (C)事件A,B,C兩兩互斥,則[PA+B+C=PA+]

        [PB+PC]

        (D)事件A,B,C兩兩獨立,則[PABC=PA ·]

        [PBPC]

        該題的答案選ABD.

        關(guān)于選項A,這里涉及正相關(guān)和負相關(guān)的概念,教材有明確表述,辨析難度不大.

        關(guān)于選項B,卡方值只體現(xiàn)我們對假設(shè)的置信水平,并不是形容零假設(shè)的真假程度. 例如,在獨立性假設(shè)檢驗中,這一組分類變量相關(guān)性不高,但是由于根據(jù)數(shù)據(jù)算出來的卡方值很大,我們選擇拒絕零假設(shè),但是造成了錯誤決策,即“棄真”,也有可能其本身相關(guān)性很高,但是由于樣本的隨機性,我們算出來的卡方值比較小,于是選擇相信零假設(shè),這也是假設(shè)檢驗中有可能出現(xiàn)的另一種錯誤,即“取偽”. 我們只是根據(jù)檢驗結(jié)果結(jié)合顯著性水平[α]去選擇相信零假設(shè)[H0],或拒絕零假設(shè)[H0],即選擇相信備擇假設(shè). 我們使用“接受零假設(shè)”或“拒絕零假設(shè)”這樣的術(shù)語,并不意味著確信它是真的,只是意味著根據(jù)目前的數(shù)據(jù)計算結(jié)果,我愿意相信它或拒絕它,檢驗統(tǒng)計量只幫助我們做出相信和拒絕的決定,而不是形容被檢驗數(shù)據(jù)本身的關(guān)聯(lián)程度.

        關(guān)于選項C和選項D:蘇教版教材給出的多事件“相互獨立”的公式為[PA1A2…An=PA1PA2…PAn],

        但沒有辨析“相互獨立”和“兩兩獨立”概念的區(qū)別.人教A版教材必修第二冊第250頁正文中以方框的形式加以備注說明“三個事件兩兩互斥和兩兩獨立的區(qū)別”,留下了一個開放性問題,教師若能帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探究并嘗試舉出反例,學(xué)生會獲得更深刻的學(xué)習(xí)體驗和概念認知. 若不深究教材而“欲言又止”,這里很容易形成知識盲點.

        綜合來說,在高考前重新回歸教材,吃透教材中的基本概念,在鞏固基礎(chǔ)知識、提高思維系統(tǒng)性、拓展理解的深度和廣度、減少誤解和偏差、適應(yīng)高考命題趨勢、提高答題的準(zhǔn)確性和效率、建立信心和心理準(zhǔn)備等方面都有著重要意義.

        2. 對教材中的公式進行二次認知

        以人教A版教材為例,必修第二冊第243頁有性質(zhì)6:[PA?B=PA+PB-PAB](公式1). 首次學(xué)習(xí)時掌握這個公式難度不大,但在二次認知時對這個公式可以有更深度的理解. 這個公式描述的是“事件A,B至少有一個發(fā)生的概率”,那么很自然地就可以進一步想到:“事件A,B恰有一個發(fā)生的概率”的計算公式是什么呢?有了想法,結(jié)果就容易得到了,即[PAB+AB=PA+PB-2PAB](公式2).

        人教A版教材選擇性必修第三冊第45頁的條件概率公式為:[PBA=PABPA](公式3),緊接著第46頁又給出了該公式的變形[PAB=PBAPA](公式4). 這就給了我們一個重要啟示:對于由三個量組成的公式,基于“知二求一”的理念,對公式進行變形,是實現(xiàn)深度認知公式的必經(jīng)之路.

        人教A版教材必修第二冊第250頁出現(xiàn)這樣一個公式,[PA=][PAB+PAB](公式5). 因為事件[B]和[B]構(gòu)成了一個完備事件組,所以這個公式描述的是對事件[A]的分類,也是后面學(xué)習(xí)全概率公式的預(yù)備知識. 此時根據(jù)從公式3到公式4的啟示,基于“知二求一”的認知角度,公式5也可以變形為[PAB=PA-PAB](公式6). 筆者曾在課堂上同時展示過這兩個公式,從學(xué)生的第一反應(yīng)來看,明顯對公式6更感陌生,相對來說對公式5感覺更親切. 然而,這完全是同一組關(guān)系式基于“知二求一”作出的變形而已,若沒有經(jīng)過這種深刻的挖掘和認知,學(xué)生則很容易在解題中出現(xiàn)“卡殼”的現(xiàn)象.

        為了加深對公式1、公式3和公式4的理解,我們可以設(shè)計題目4.

        題目4" 事件A,B滿足[PA=14],[PBA=15],[PAB=12],求[PA?B].

        解析:由[PBA=PABPA=15],得[PAB=120].

        由[PAB=PABPB=12],得[PB=110].

        故[PA?B=PA+PB-PAB=14+110-120=310].

        為了加深對公式5和公式6的理解,我們可以設(shè)計題目5和題目6.

        題目5" [PAB=PAB]是事件[A,B]相互獨立的(" )條件.

        (A)充分不必要

        (B)必要不充分

        (C)充分必要

        (D)既不充分也不必要

        解析:由[PAB=PAB],得[PABPB=PABPB].

        所以[PABPB=PA-PAB1-PB],

        即[PAB=PAPB].

        故答案選C.

        題目6" 設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,且[PA=12],[PB=1124],[PAB+AB=724],則下列結(jié)論正確的是( " ).

        (A)[PAB=18] (B)[PA+B=56]

        (C)[PAB=911] (D)[PAB=PBA]

        該題答案選AB. 考慮到考試中的時間和壓力等因素,大多數(shù)學(xué)生想在幾分鐘之內(nèi)熟練計算完四個選項難度是很大的,甚至剛開始審題便感到陌生. 這道題目可以充分體現(xiàn)學(xué)生對教材中的公式及其變形的熟練掌握程度.

        解析:第一步:由公式2,得[PAB+AB=PA+]

        [PB-2PAB]. 所以[PAB=13].

        第二步:由公式6,得[PAB=PB-PAB=1124-]

        [13=18]. 所以選項A正確.

        第三步:由公式1,得[PA+B=PA+PB-PAB=]

        [12+1124-18=56]. 所以選項B正確.

        第四步:由公式3,得[PAB=PABPB=131124=811.]

        所以選項C錯誤.

        第五步:由公式3,得[PAB=PABPB=181124=311](或[PAB=1-PAB=311]).

        第六步:由公式3和公式6,得[PBA=PABPA=]

        [PA-PABPA=12-1312=13]. 所以選項D錯誤.

        如果把題目6所考查的知識看作一個整體結(jié)構(gòu),那么題目4和題目5都是這個結(jié)構(gòu)中不同方位的支撐點. 當(dāng)通過題目4和題目5把相應(yīng)知識模塊都構(gòu)建完成,題目6的結(jié)構(gòu)化構(gòu)建也就水到渠成了. 如此解題,對公式的使用有一種信手拈來的美感,同時在一定程度上建立了知識體系的結(jié)構(gòu)化.

        3. 重讀教材中的探究問題

        教材正文中有穿插的“思考”“探究”,有方框形式的“特別提醒”,課后習(xí)題中有“拓廣探究”,章末復(fù)習(xí)有“問題串梳理”,這些都是教材知識的總結(jié)或延伸,對這些問題的深入探討,對于培養(yǎng)學(xué)生的高級思維能力、增強學(xué)生的理解和記憶、提高學(xué)生解題的靈活性和廣度、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性、培養(yǎng)學(xué)生面對不確定性問題的解決能力及適應(yīng)高考命題趨勢等多個方面都有重要價值.

        以人教A版教材選擇性必修第三冊第136頁的“拓廣探究”為例:對例1列聯(lián)表8.3-2中的數(shù)據(jù),依據(jù)[α=0.1]的獨立性檢驗,我們已經(jīng)知道獨立性檢驗的結(jié)論是學(xué)校與成績無關(guān),如果8.3-2中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍,在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下,再用獨立性檢驗推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性,結(jié)論還一樣嗎?請你試著解釋其中的原因.

        解析:經(jīng)過計算會發(fā)現(xiàn),樣本增大時,若數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生改變,卡方值也會變大. 原例題計算出的[χ2≈0.837lt;2.706],結(jié)論為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異,但是樣本數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍后,計算得[χ2≈8.365],卡方值也擴大為原來的10倍. 因為[8.365gt;][2.706],同樣依據(jù)[α=0.1]的獨立性檢驗,結(jié)論為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異,樣本量的增大導(dǎo)致了結(jié)論發(fā)生變化.

        探究:教學(xué)參考書沒有再往下詳細說明,這時我們可以抓住契機繼續(xù)探究,做到學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟,引導(dǎo)教學(xué)講透課程重點內(nèi)容,從而在深刻理解的基礎(chǔ)上融會貫通.

        事實上,在假設(shè)檢驗中,由于樣本的隨機性,當(dāng)零假設(shè)[H0]為真時,檢驗統(tǒng)計量的觀察值也會落入拒絕域,致使我們做出拒絕[H0]的錯誤決策. 反之,當(dāng)零假設(shè)[H0]不真時,檢驗統(tǒng)計量的觀察值也會未落入拒絕域,致使我們做出接受[H0]的錯誤決策. 我們用[α,β]表示這兩類可能發(fā)生的錯誤,記[α=P](拒絕[H0H0]為真),[β=P](接受[H0H0]為不真),當(dāng)樣本容量[n]固定時,[α]越小,[β]就越大. 一般采用的原則是:固定[α],通過增加樣本容量[n]降低[β]. 也就是說,即便發(fā)生了決策的改變,也不是因為學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性本身變高或者變低,而只是基于控制決策犯錯的概率. 對這個問題的探究,恰恰深度認知了題目3中的選項B,如果對教材上的這個探究問題有過深刻的理解,那么在判斷題目3的選項B時就不會存在疑惑了.

        4. 指向深度思維的課后經(jīng)典習(xí)題變式訓(xùn)練

        根據(jù)教材上的經(jīng)典習(xí)題,設(shè)計指向深度思維的變式訓(xùn)練,不僅能夠幫助學(xué)生鞏固和深化知識,還能夠培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力、邏輯推理能力和解決問題的能力.

        例如,人教A版教材必修第二冊第253頁習(xí)題10.2第3題:若[PAgt;0],[PBgt;0],證明事件A,B相互獨立與A,B互斥不能同時成立.

        解析:若A,B相互獨立,

        則[PAB=PAPBgt;0].

        若A,B互斥,則[PAB=0].

        所以兩者不能同時成立.

        互斥和獨立都是概率學(xué)中的基礎(chǔ)概念,但將它們混合在一起進行考查時,對學(xué)生的基本功就有較高的要求了. 為了幫助學(xué)生從不同的角度理解同一個概念或原理,促進知識的遷移和應(yīng)用,我們可以設(shè)計如下兩道變式題.

        變式1:事件A,B互斥,事件A,C相互獨立,[PA=PB=PC=13]. 下列結(jié)論中正確的是( " ).

        (A)[PA?B=23] (B)[PA?C=59]

        (C)[PB?C=0] (D)[PB?CA?C=35]

        解析:對于選項A,[PA?B=PA+PB=23];對于選項B,[PA?C][=PA+PC-PAC=59];對于選項C,事件B,C關(guān)系不確定;對于選項D,[PB?CA?C=PCPA?C=35]. 故答案選ABD.

        再如,人教A版教材必修第二冊第253頁習(xí)題10.2的第5題:如圖1,一個正八面體,八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體,觀察它與地面接觸面上的數(shù)字,得到樣本空間[Ω=1,2,3,4,] [5,6,7,8],構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录嗀,B,C,使[PABC=][PAPBPC]成立,但不滿足A,B,C兩兩獨立.

        解析:記[A=1,2,3,4], [B=1,2,3,5], [C=]

        [1,6,7,8]. 此時[PA=PB=PC=12], [PABC=][18],滿足[PABC=PAPBPC],但是[PAB=38≠]

        [PAPB].

        這道題目恰恰解釋了題目3中選項D所辨析的知識點,而且此時出現(xiàn)了一個深化思維的最佳時機. 既然由[PABC=PAPBPC]不能推出A,B,C兩兩獨立,那么反向呢?由A,B,C兩兩獨立能否推出[PABC=PAPBPC]呢?

        變式2:構(gòu)造一個反例,使得事件A,B,C兩兩獨立,但不滿足[PABC=PAPBPC].

        解析:在概率學(xué)中,這正是經(jīng)典的“伯恩斯坦反例”. 一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色,分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下為事件A,B,C,則此時[PA=][PB=PC=12],且[PAB=PBC=PAC=14,] 滿足A,B,C兩兩獨立,但[PABC=14≠PAPBPC].

        通過正反兩個角度的變式訓(xùn)練,學(xué)生在構(gòu)造事件的過程中實現(xiàn)了從“知其然”到“知其所以然”的進階.

        變式3:已知事件A,B,C兩兩獨立,且[PA=]

        [12],[PB=13],[PC=14].

        (1)若[PCAB=13],求[PABC];

        (2)若[PABC=16],求證[A]與[BC]相互獨立;

        (3)若[PABC=16],求證[A]與[B?C]相互獨立.

        解析:(1)因為A,B獨立,

        所以[PAB=12×13=16].

        所以[PABC=PABPCAB=118].

        此處應(yīng)避免[PABC=PAPBPC]的錯誤做法.

        (2)因為[PABC=PCPABC=124],

        而[PBC=13×14=112], [PA=12],

        所以[PABC=][PAPBC].

        所以[A]與[BC]相互獨立.

        (3)因為[PB?C=13+14-112=12],

        [PAB?C=][PAB?AC]

        [=PAB+PAC-PABC=16+18-124=14,]

        所以[PAB?C=PAPB?C].

        所以[A]與[B?C]相互獨立.

        這種深度變式,可以作為優(yōu)等生個性化輔導(dǎo)的良好素材.

        隨著教育評價方式的變化,越來越多的考試和評估重視學(xué)生的深度思維和創(chuàng)新能力,通過變式習(xí)題的訓(xùn)練,可以幫助學(xué)生適應(yīng)這些變化,加深和擴展他們對教材知識的理解. 這種深入的理解能使學(xué)生在遇到類似問題時,靈活運用所學(xué)知識,而不僅僅是機械地記憶和應(yīng)用,這種訓(xùn)練有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,提高他們的綜合素質(zhì)和能力.

        四、教師拓展閱讀高等數(shù)學(xué)教材

        此任務(wù)專為教師設(shè)計,而非學(xué)生. 教師在研究概率與統(tǒng)計模塊的過程中,研讀高等數(shù)學(xué)教材,從更高的視角深入理解知識內(nèi)涵,不僅對教學(xué)本身有重要意義,還對學(xué)生的學(xué)習(xí)成效、教師的專業(yè)發(fā)展及教育方法的創(chuàng)新都有深遠的影響.

        以本文所涉假設(shè)檢驗知識為例,在統(tǒng)計學(xué)中,假設(shè)檢驗應(yīng)用范圍既包括高中所學(xué)的對分類變量獨立性的檢驗,也包括對隨機變量是否服從某一分布的檢驗,以及對正態(tài)分布中均值和方差的檢驗等,高等數(shù)學(xué)往往涵蓋更為詳細的推理過程. 若能把高等數(shù)學(xué)教材中的統(tǒng)計學(xué)內(nèi)容研讀一遍,教師會更容易理解檢驗假設(shè)方法的精髓和內(nèi)涵,便能夠在教學(xué)中更準(zhǔn)確、更深入地解釋相關(guān)概念,從而有能力引導(dǎo)學(xué)生獲得更深層次的數(shù)學(xué)知識和理解,增強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力.

        以本文中的概率問題為例,高中所學(xué)的概率模型通常是概率學(xué)中經(jīng)典模型的退化版,如“伯恩斯坦反例”“波利亞罐模型”等. 作為教師,閱讀高等數(shù)學(xué)教材,了解知識全貌,理解更深層次的邏輯和推理過程,有助于構(gòu)建一個更加完整和連貫的數(shù)學(xué)知識框架.

        以全概率公式為例,掌握高等數(shù)學(xué)知識使教師能夠從更廣闊的視角理解高中數(shù)學(xué)知識,為了幫助學(xué)生深度理解全概率公式的精髓,即“化整為零”“各個擊破”“分而食之”,我們可以設(shè)計有不同劃分角度的問題模型. 例如,問題“送檢的兩批燈管在運輸中各打碎一支,若每批10支,而第一批中有1支次品,第二批中有2支次品,現(xiàn)從剩下的燈管中任取一支,問抽得次品的概率是多少?”可以按照所抽燈管來自第一批還是第二批兩種情況進行分類,也可以按照打碎的兩支燈管分別是正品還是次品的分布情況,即[正品,正品]、[正品,次品]、[次品,正品]、[次品,次品]四種情況來分類. 如此設(shè)計,能夠幫助學(xué)生建立更加扎實和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).

        了解高等數(shù)學(xué)的知識點和思維方式,教師可以設(shè)計出更具挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的教學(xué)活動和習(xí)題,有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維活力,促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)和主動探索. 這對于優(yōu)等生的培養(yǎng)或創(chuàng)新人才選拔,尤為重要.

        五、展望

        創(chuàng)新不是一蹴而就的,本文中用到的多道原創(chuàng)題,恰恰是建立在深入而系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材知識和經(jīng)驗積累的基礎(chǔ)上,基于對教材知識的深度思考、理解和再創(chuàng)造,使之轉(zhuǎn)化為自己的思維方式、解決問題的策略或創(chuàng)新思想. 創(chuàng)新需要長期、系統(tǒng)的準(zhǔn)備和努力.

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語言表達世界. 在當(dāng)代社會,數(shù)據(jù)的應(yīng)用日益廣泛,概率與統(tǒng)計學(xué)的重要性隨之提升,新課改中強化概率與統(tǒng)計的地位,旨在配合現(xiàn)代社會的需求,提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和未來競爭力. 相對于其他模塊,概率與統(tǒng)計模塊與生活中的各種情景與決策關(guān)聯(lián)度更高,概率與統(tǒng)計可以幫助我們理解和分析各種情況下事件發(fā)生的可能性,以及如何做出基于數(shù)據(jù)的決策. 對于這一模塊的學(xué)習(xí)和研究,我們更要緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,平衡好做題和系統(tǒng)學(xué)習(xí)教材的關(guān)系,確保對教材的內(nèi)容有深入的理解,這意味著不僅要讀懂每個章節(jié)的理論知識,還要理解知識點之間的聯(lián)系,以及它們在實際中的應(yīng)用.

        影響學(xué)生素養(yǎng)提升最根本的還是在于學(xué)生的數(shù)學(xué)功底. 良好的數(shù)學(xué)功底的含義:一是系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法,“知其然”且“知其所以然”;二是融會貫通,能靈活運用知識與方法解決問題. 做到始于教材、貫穿教材、回歸教材、融入教材,這對于學(xué)生來講,無論是提升其考試應(yīng)變能力,還是提升其綜合素養(yǎng)都具有重要意義.

        參考文獻:

        [1]章建躍. 高三復(fù)習(xí)備考如何回歸教材(之一)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2023(12):65.

        [2]盛驟,謝式千,潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計:第五版[M]. 北京:高等教育出版社,2019.

        [3]李賢平. 基礎(chǔ)概率論:第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2010.

        [4]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

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