摘" 要：以“探索黃金分割比”為例，從學(xué)習(xí)機(jī)制、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)目標(biāo)三個(gè)方面探索如何在具體課程中加強(qiáng)知識(shí)關(guān)系建構(gòu)教學(xué).

關(guān)鍵詞：知識(shí)關(guān)系；黃金分割；關(guān)聯(lián)；學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）04-0036-06

引用格式：葉春泉，祝敏芝. 基于知識(shí)關(guān)系建構(gòu)有意義學(xué)習(xí)：以“探索黃金分割比”為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：36-40，51.

知識(shí)關(guān)系建構(gòu)一直是有意義學(xué)習(xí)、建構(gòu)主義等眾多學(xué)習(xí)理論和教育心理學(xué)關(guān)注的關(guān)鍵問題. 奧蘇貝爾認(rèn)為，在有意義學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)材料本身應(yīng)具有邏輯意義，學(xué)習(xí)者的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該存在可用以同化新知識(shí)的適當(dāng)概念、命題或符號(hào)，學(xué)習(xí)者應(yīng)該具有聯(lián)系新知識(shí)和舊知識(shí)的主動(dòng)心向. 因此，通過探究并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、問題、方法和思想間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，可以增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力. 本文以“探索黃金分割比”為例，從沉浸式學(xué)習(xí)機(jī)制、理解性學(xué)習(xí)過程、層進(jìn)式學(xué)習(xí)目標(biāo)等三個(gè)方面，探索如何在具體課程中加強(qiáng)知識(shí)關(guān)系建構(gòu)教學(xué).

一、以數(shù)學(xué)文化背景引發(fā)沉浸式學(xué)習(xí)機(jī)制

課前準(zhǔn)備：關(guān)于斐波那契數(shù)列，我知道些什么？我如何定義？有哪些疑問？學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容后，會(huì)有什么不同？我能改變什么？通過思考這些問題，學(xué)生從出處、相關(guān)現(xiàn)象和關(guān)聯(lián)知識(shí)等方面自行探索、整理斐波那契數(shù)列的相關(guān)資料.

出處：1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契所著的《算盤書》中有一個(gè)有趣的兔子繁殖問題. 如果每對(duì)兔子（一雄一雌）每月能生殖一對(duì)小兔子（假設(shè)也是一雄一雌，下同），每對(duì)兔子第一個(gè)月沒有生殖能力，但從第二個(gè)月以后便能每月生殖一對(duì)小兔子. 假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，那么第一個(gè)月到第十二個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…. 后人為了紀(jì)念提出兔子繁殖問題的斐波那契，將這個(gè)數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列. 第0項(xiàng)為0，第1項(xiàng)為1，數(shù)列從第2項(xiàng)開始每個(gè)數(shù)字都是前兩項(xiàng)之和.

相關(guān)現(xiàn)象：在自然界中，似乎完全沒有秩序的植物彼此相隔的距離或葉子的生長(zhǎng)，都被斐波那契數(shù)列支持著. 例如，一株樹在第一年長(zhǎng)出一條新枝，新枝成長(zhǎng)一年后變?yōu)槔现Γ现γ磕甓奸L(zhǎng)出一條新枝，每條樹枝都按照這個(gè)規(guī)律成長(zhǎng)，則每年的樹枝總數(shù)正好構(gòu)成斐波那契數(shù)列. 又如，一朵花的花瓣數(shù)量通常也是斐波那契數(shù).

關(guān)聯(lián)知識(shí)：隨著數(shù)列數(shù)值的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來越接近黃金分割的數(shù)值0.618…. 因此，斐波那契數(shù)列也被稱為黃金分割數(shù)列.

沉浸式學(xué)習(xí)機(jī)制包括兩個(gè)方面：一是通過滲透數(shù)學(xué)文化知識(shí)激發(fā)富有情感意蘊(yùn)的學(xué)習(xí)興趣；二是深化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義認(rèn)知，將目標(biāo)定位在最能體現(xiàn)人類力量的思想與精神層面.

二、以知識(shí)關(guān)系建構(gòu)理解性學(xué)習(xí)過程

1. 概念辨析

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)九年級(jí)教科書中，人教版、北師大版、華師大版、浙教版、蘇教版等都是通過比例中項(xiàng)來定義黃金分割數(shù)的. 其中，北師大版教科書從五角星中的線段比例出發(fā)定義線段的黃金分割與黃金分割點(diǎn)，并說明黃金比例在藝術(shù)、建筑和自然界中無處不在；人教版、北師大版教科書都指出華羅庚倡導(dǎo)的 0.618優(yōu)選法與黃金分割數(shù)緊密相關(guān).

2. 知識(shí)的縱橫聯(lián)系

（1）五角星形與黃金分割比.

五角星是一種充滿和諧之感的圖形，這種和諧美的核心在于其五條邊相互分割成黃金比例.

問題1：通過觀察如圖1所示的五角星的構(gòu)成，你能畫出五角星嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)五角星中含36°角的等腰三角形.）

問題2：根據(jù)圖1，能否求[FJAF， AJAB]的值？

解析：如圖2，容易證明[△DJF∽△AJD].

由[AF=FD=DJ]，得[FJAF=AFAJ=k].

從而[k2+k-1=0]. 解得[k=5-12 kgt;0].

按照這樣的思路，也可以求[AJAB]的值.

此外，要想求出[AJAB]的值，還可以通過[AJAB=][AF+FJAF+FJ+BJ=1+5-122+5-12=5+13+5=5-12]來實(shí)現(xiàn).

發(fā)現(xiàn)：圖3是一個(gè)含有36°角的等腰三角形，它的底與腰之比（或腰與底之比）為[5-12]，把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.

（2）黃金分割比的作法.

問題3：如何作出黃金分割比？有哪些方法？

① 利用含有36°角的等腰三角形構(gòu)造黃金分割比.（實(shí)質(zhì)上是因?yàn)閇sin18°=5-14].）

如圖4，在等腰三角形[ABC]中，[∠A=36°]，點(diǎn)[D，E]分別是線段[AC，AB]的黃金分割點(diǎn). 如圖5，在等腰三角形[ABC]中，[∠B=∠C=36°]，點(diǎn)[D]是線段[BC]的黃金分割點(diǎn).

② 利用勾股定理，通過代數(shù)計(jì)算作出[5-12].

如圖6，作[Rt△ABD]，使[∠B=90°]，[BD=12AB]. 由勾股定理，得[AD=52AB]. 截取[DE=DB]，計(jì)算得[AE=5-12AB]. 截取[AC=AE]，則[AC=5-12AB]，即[ACAB=5-12]. 所以點(diǎn)[C]是線段[AB]的黃金分割點(diǎn).

如圖7，點(diǎn)[E]是正方形[ABCD]的邊[AD]的中點(diǎn). 由勾股定理，得[EB=52AB]. 在[DA]的延長(zhǎng)線上截取[EF=EB]，計(jì)算得[AF=5-12AB]. 以[AF]為邊作正方形[AFGH]，可知[AH=5-12AB]，即[AHAB=5-12]. 所以點(diǎn)[H]是線段[AB]的黃金分割點(diǎn).

（3）黃金角.

問題4：將線段類比到圓周，圓周有黃金分割和黃金分割點(diǎn)嗎？你認(rèn)為應(yīng)該如何定義？

黃金角的構(gòu)造如下：把長(zhǎng)度為[c]的圓周分為兩部分，各部分的長(zhǎng)度分別為[a]和[b]，也就是說[c=a+b]，而它們的比例符合[ca=ab]，也就是將圓周長(zhǎng)按黃金比例分割成兩段，小弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角約為137.51°，稱為黃金角.

3. 形成結(jié)構(gòu)性理解

（1）自然現(xiàn)象與黃金分割緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)內(nèi)核.

植物的生長(zhǎng)模式中隱藏著斐波那契數(shù)列. 例如，觀察向日葵花冠的螺旋線（圖8），由內(nèi)向外看，逆時(shí)針方向的螺旋線有13條，順時(shí)針方向的螺旋線有21條，恰為裴波那契數(shù)列的相鄰兩項(xiàng). 又如，菠蘿和松球的鱗片的排列也呈現(xiàn)出類似的規(guī)律.

問題1：植物生長(zhǎng)規(guī)律與黃金分割有怎樣的關(guān)聯(lián)？

植物在上述旋轉(zhuǎn)生長(zhǎng)中體現(xiàn)出一些共性：每個(gè)花蕾都從一個(gè)中心點(diǎn)開始生長(zhǎng)，新長(zhǎng)的種子會(huì)從相對(duì)有空隙的地方鉆出，而將原先的種子由內(nèi)向外推擠. 法國(guó)晶體學(xué)家奧古斯特和勃拉維測(cè)量出每個(gè)新種子和前一個(gè)種子之間的角度為137.51°，這個(gè)角度約為黃金角.

我們用計(jì)算機(jī)模擬了種子的生長(zhǎng)過程，讓每個(gè)新種子與前一個(gè)種子之間的角度在[38×2π]至[513×2π]（其中，3，5，8為斐波那契數(shù)）之間變化.

下面的圖9是角度為[135°]的情況，圖10是角度為[135.5°]的情況，圖11是角度為[137.5°]的情況，圖12是角度為[138.5°]的情況.

因?yàn)閇135°360°=38]，所以角度為[135°]時(shí)種子的位置每次轉(zhuǎn)過[38]個(gè)周角，循環(huán)出現(xiàn)在以中心為端點(diǎn)的8條射線上. 角度為135.5°時(shí)，135.5°比135°增加0.5°，因偏移產(chǎn)生螺旋，呈現(xiàn)有間隙螺旋. 角度為137.5°時(shí)，大致呈現(xiàn)均勻螺旋，因?yàn)?37.5°約等于黃金角，而黃金分割比是很難用固定的分?jǐn)?shù)來近似的無理數(shù)，所以種子不會(huì)在同一個(gè)方向循環(huán)出現(xiàn)，從而呈現(xiàn)均勻分布. 因?yàn)閇138.5°360°≈513]，所以角度為138.5°時(shí)，種子的位置每次大約轉(zhuǎn)過[513]個(gè)周角，近似循環(huán)出現(xiàn)在以中心為端點(diǎn)的13條射線上.

如果植物花蕾按照黃金角模式排列，那么所有種子都被壓縮得非常緊密，每個(gè)部分都有相同的結(jié)構(gòu)，可以使種子得到最佳的堆集效果，彼此的生長(zhǎng)空間相似，可以充分利用陽(yáng)光和空氣，有利于生長(zhǎng).

問題2：植物生長(zhǎng)規(guī)律與斐波那契數(shù)列有怎樣的關(guān)聯(lián)？

莫納什大學(xué)的Burkard Polster教授指出，仔細(xì)觀察會(huì)看到順時(shí)針螺旋線與逆時(shí)針螺旋線形成菱形的網(wǎng)格，第三種螺旋線穿過菱形網(wǎng)格的對(duì)角線，其條數(shù)恰為順時(shí)針螺旋線和逆時(shí)針螺旋線條數(shù)的和.

我們用計(jì)算機(jī)模擬了圖8的向日葵螺旋線，內(nèi)層有13條逆時(shí)針螺旋線，21條順時(shí)針螺旋線. 沿著順時(shí)針螺旋線與逆時(shí)針螺旋線的交點(diǎn)作一個(gè)閉環(huán)，分別用實(shí)圓點(diǎn)與實(shí)三角形表示逆時(shí)針螺旋線與順時(shí)針螺旋線，如圖13所示.

閉環(huán)中，在同一條逆時(shí)針螺旋線上的每個(gè)實(shí)三角形表示一條順時(shí)針螺旋線，在同一條順時(shí)針螺旋線上的每個(gè)實(shí)圓點(diǎn)表示一條逆時(shí)針螺旋線，所以實(shí)圓點(diǎn)和實(shí)三角形的個(gè)數(shù)正好與逆時(shí)針螺旋線和順時(shí)針螺旋線的條數(shù)一樣多. 同時(shí)，一個(gè)閉環(huán)上的總點(diǎn)數(shù)恰好是對(duì)角線螺旋線總數(shù)，所以穿過順時(shí)針螺旋線與逆時(shí)針螺旋線形成的菱形網(wǎng)格的對(duì)角線的條數(shù)正好是13與21的和34. 對(duì)角線螺旋線會(huì)成為外層的逆時(shí)針螺旋線，再到外層，21條順時(shí)針螺旋線與34條逆時(shí)針螺旋線又會(huì)形成55條菱形網(wǎng)格對(duì)角線. 因此，植物生長(zhǎng)的方式和斐波那契數(shù)列吻合.

大自然以其原始而樸素的表現(xiàn)形式完美地詮釋了黃金分割與斐波那契數(shù)列之間的聯(lián)系.

（2）黃金分割與斐波那契數(shù)列的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián).

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比逐漸趨向于黃金分割比[5-12]. 用弧度表示黃金角137.51°的精確值為[2πα2]，這里[α=5+12]. 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式[Fn=151+52n-1-52n].

（3）感知黃金分割比的實(shí)踐應(yīng)用.

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)0.618優(yōu)選法，在生產(chǎn)企業(yè)中推廣應(yīng)用，取得了成效. 華羅庚在其著作《優(yōu)選法平臺(tái)及其補(bǔ)充》的第一章中詳細(xì)介紹了用黃金比例分割取值區(qū)間來選擇數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法找單峰函數(shù)的極值，如圖14所示.

對(duì)于相對(duì)平滑的單峰函數(shù)[f]，設(shè)[x1]和[x2]對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為[f1]和[f2]. 取中間兩個(gè)點(diǎn)[x3，x4 x3lt;x4]，算出[f3，f4]. 對(duì)于單峰函數(shù)[f]，若[f4gt;f3]，則極小值點(diǎn)在區(qū)間[x1，x4]上；若[f4lt;f3]，則極小值點(diǎn)[x3，x2]上.

一般地，通過遞縮區(qū)間找極值點(diǎn)通常遵循以下規(guī)則：無論上一步的結(jié)果如何，下一步要測(cè)試的取值區(qū)間長(zhǎng)度都應(yīng)該相等；每一步兩次取值區(qū)間的長(zhǎng)度比例應(yīng)該相等. 據(jù)此可以得到[x4-x1=a+c=b=x2-x3]，且有[x2-x3x2-x1=ba+b=b-cb=x2-x4x2-x3]，所以[ba+b=ab]. 而[ab]正是黃金比，約等于0.618.

辨析1：三等分法與優(yōu)選法哪個(gè)更優(yōu)？

三等分法每次都需要新取兩個(gè)點(diǎn). 使用黃金分割法的時(shí)候，[x4]恰是區(qū)間[x3，x2]的黃金分割點(diǎn)，[x3]恰是區(qū)間[x1，x4]的黃金分割點(diǎn)，那么在區(qū)間[x1，x4]或[x3，x2]上再取兩個(gè)點(diǎn)，原先的[x3]或[x4]在下一次實(shí)驗(yàn)中可以重復(fù)使用，如圖15所示. 所以三等分法比黃金分割法的實(shí)驗(yàn)次數(shù)多1倍.

辨析2：能否用二分法？

對(duì)于單峰函數(shù)，無論二分點(diǎn)的取值如何，都無法確定極值點(diǎn)在左側(cè)還是右側(cè)，必須在中間取兩個(gè)點(diǎn)才能確定極值點(diǎn)所在的區(qū)間. 二分法適用于單調(diào)函數(shù)找零點(diǎn)，其收斂速度每次縮小0.5倍.

當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)中，大部分函數(shù)都不會(huì)只有一個(gè)極值，而且也不會(huì)像我們這里假設(shè)的函數(shù)那樣平滑. 要想在這些復(fù)雜的情況中找到最優(yōu)解的近似值，需要更復(fù)雜的計(jì)算和更多的步驟，但優(yōu)選法的思路還是不變的：通過在現(xiàn)有區(qū)間中找數(shù)據(jù)點(diǎn)來不斷縮小可能的取值區(qū)間，一直到足夠精確（看不出上次和本次區(qū)別）或者次數(shù)已滿，這時(shí)采集的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)中的最小值就是我們近似求出的最優(yōu)解.

三、以學(xué)科素養(yǎng)形成落實(shí)層進(jìn)式學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)旨向是指學(xué)習(xí)的方向和意義，也是學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)和反思. 通過學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，發(fā)展數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的積極情感. 以黃金分割比的學(xué)習(xí)為例，為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，通過知識(shí)關(guān)系建構(gòu)，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握黃金分割比的知識(shí)，體會(huì)和感受黃金分割比的美，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造黃金分割比的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力. 同時(shí)，要讓學(xué)生建立并加強(qiáng)黃金分割比與其他數(shù)學(xué)知識(shí)及跨學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和學(xué)習(xí)興趣.

1. 重視數(shù)學(xué)的核心概念和方法

通過學(xué)習(xí)黃金分割比的知識(shí)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心概念（如無理數(shù)、比例、分?jǐn)?shù)、根號(hào)、數(shù)列、極限等），發(fā)展數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力（如觀察、分析、歸納、推理、計(jì)算、作圖等），提高數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)（如準(zhǔn)確、規(guī)范、邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)龋?

例如，學(xué)習(xí)黃金分割比[5-12=0.618 033 988 74…，]

既要關(guān)注它的由來，還要嘗試求解，推導(dǎo)運(yùn)算，感受它的獨(dú)特.

設(shè)[φ=5-12]，可以得到[φ2+φ-1=0]，進(jìn)一步推導(dǎo)，還可以得到如下結(jié)論.

① 因?yàn)閇φ2+φ-1=0]，所以[1φ=φ+1]，即黃金分割比[5-12]的倒數(shù)等于它與1的和.

② 因?yàn)閇φ2+φ-1=0]，所以[φ=1-φ]. 由此可得[φ=1-1-1-1-…].

③ 因?yàn)閇φ2+φ-1=0]，所以[φ=11+φ]. 由此可得[φ=11+11+11+11+…].

2. 理解數(shù)學(xué)的核心價(jià)值和意義

黃金分割比在藝術(shù)、建筑、自然等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用和美學(xué)價(jià)值. 通過學(xué)習(xí)黃金分割比的應(yīng)用，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的核心價(jià)值和意義（如美、和諧、秩序、規(guī)律等），培養(yǎng)數(shù)學(xué)的積極情感（如興趣、好奇、欣賞、創(chuàng)造等），提高數(shù)學(xué)的高級(jí)素養(yǎng)（如跨學(xué)科、跨文化、跨時(shí)代等）. 例如，達(dá)·芬奇的作品《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》中都集黃金分割、透視于一身；莫扎特的《D大調(diào)奏鳴曲》有意識(shí)地運(yùn)用了黃金分割，數(shù)學(xué)上的比例之美通過樂聲得到了傳達(dá)；等等.

3. 建立與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系

通過學(xué)習(xí)黃金分割比，讓學(xué)生建立和加強(qiáng)黃金分割比與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系（如比例、分?jǐn)?shù)、根號(hào)、數(shù)列、極限等），建立和加強(qiáng)黃金分割比與跨學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系（如美學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等），建立和加強(qiáng)黃金分割比與教師、同伴、社會(huì)等主體的聯(lián)系，形成一個(gè)多元、跨界、互動(dòng)的知識(shí)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)知識(shí)的社會(huì)化和個(gè)性化.

例如，從斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F1 = 1，F(xiàn)2 = 1，F(xiàn)k + 1 = Fk + Fk - 1（k = 2，3，4，…）到與黃金分割比的關(guān)系[limk→∞FkFk+1=φ]，再到黃金分割比的自相似性與黃金矩形（圖16）及黃金螺線（圖17）.

知識(shí)的傳遞不再是教育的唯一目的. 通過深入研究知識(shí)間的關(guān)系，并以此為橋梁建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能使學(xué)生更好地理解知識(shí)背后的邏輯，從而達(dá)到靈活應(yīng)用知識(shí)的能力. 這一過程不僅注重知識(shí)的累積，更注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和綜合素質(zhì)的提升，使學(xué)生在主動(dòng)探索和問題解決的過程中構(gòu)建知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)真正意義上的有意義學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

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