摘 要： 數(shù)學開放型作業(yè)具有內(nèi)容豐富、策略靈活、評價多元等優(yōu)勢，高度契合了“雙減”政策對作業(yè)減負增效的要求，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的重要載體。開放型作業(yè)分為條件開放型、結(jié)論開放型、策略開放型、綜合開放型和項目實踐型5 種類型?；诖耍恼鲁尸F(xiàn)了數(shù)學開放型作業(yè)設(shè)計的5 個案例。課例實踐證明，教師應(yīng)該在控量的原則下，設(shè)計數(shù)學開放型作業(yè)，進而真正實現(xiàn)“雙減”后的“增效”，更好地促進學生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：“ 雙減”；初中數(shù)學；開放型作業(yè)設(shè)計

2021 年7 月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳頒布了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），明確要求減輕義務(wù)教育階段學生的作業(yè)負擔，并提出要提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量，鼓勵布置分層、彈性和個性化作業(yè)，以促進學生全面發(fā)展，落實立德樹人的根本任務(wù)。作業(yè)作為教學過程的重要環(huán)節(jié)，是課堂教學的延伸和拓展，是促進學生理解和掌握數(shù)學知識的重要手段，是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體，也是優(yōu)化評價、改進教與學的重要依據(jù)。但是，傳統(tǒng)的數(shù)學作業(yè)往往都是封閉性的問題，題目的結(jié)構(gòu)、條件與結(jié)論呈現(xiàn)封閉的特征：條件正好，方法固定，答案確定。學生在解答時思維固化，方法機械重復，實踐能力和創(chuàng)新精神得不到有效發(fā)展。如何科學、合理設(shè)計數(shù)學作業(yè)，從而真正實現(xiàn)減負增效，這是一個需要廣大教師深入思考與研究的重要問題。

一、數(shù)學開放型作業(yè)的概念及設(shè)計原則

1. 數(shù)學開放型作業(yè)的概念

初中數(shù)學開放型作業(yè)是以富有實踐性、創(chuàng)造性的學生活動為主要形式，以學生積極探索、合作交流為主要特征，以培養(yǎng)能力、提升素養(yǎng)為目的的一種作業(yè)模式。學生可以在不同的條件組合下，探索問題形成的多種可能性；形成自己的思考方式和解題策略，擁有更大的選擇權(quán)；作業(yè)答案指向合理性要求，不規(guī)定標準答案，答案可以多樣化。戴再平等根據(jù)命題的要素，將開放型作業(yè)的問題類型分為以下四種：條件開放、結(jié)論開放、策略開放和綜合開放。筆者在此基礎(chǔ)上，增加了項目實踐型作業(yè)。

2. 數(shù)學開放型作業(yè)的設(shè)計原則

作業(yè)的設(shè)計原則是確保作業(yè)內(nèi)容科學、有效的重要保障。通過實踐，筆者認為在設(shè)計數(shù)學開放型作業(yè)時，應(yīng)遵循以下原則。

（1）主體性與目標性原則

學生是學習的主體。因此，“雙減”背景下的數(shù)學開放型作業(yè)，必須堅持以學生為主體的原則。教師應(yīng)綜合考慮學生的能力發(fā)展水平和學習規(guī)律的差異，設(shè)計分層次的作業(yè)供學生自主選擇。通過設(shè)計豐富的作業(yè)形式和內(nèi)容，給予學生多樣的學習體驗，從而滿足不同學生的發(fā)展需求。為了調(diào)動學生的積極性，開放型作業(yè)的評價方式應(yīng)該是多元化的，并且鼓勵學生之間互相評價，促進彼此交流與學習。作業(yè)目標是開展作業(yè)設(shè)計的基礎(chǔ)。設(shè)計開放型作業(yè)時，應(yīng)立足課程標準，以教材為依據(jù)，明確作業(yè)的教學目標，把握重點和難點，有針對性和實效性地幫助學生達成學習目標。

（2）可控性與系統(tǒng)性原則

“雙減”背景下的數(shù)學開放型作業(yè)設(shè)計必須滿足可控性原則，即作業(yè)量和作業(yè)難度的可控。教師需對各層次的學生完成作業(yè)的用時進行較為準確的預(yù)估，避免因作業(yè)量安排不合理而加重學生作業(yè)負擔。同時，還需根據(jù)學生的能力來衡量作業(yè)的難度，設(shè)計既有挑戰(zhàn)性又可達成的問題，避免設(shè)計“拔苗助長”的作業(yè)，導致學生產(chǎn)生“望題生畏”的情緒。另外，不同課時中的數(shù)學知識并不是獨立分散的，尤其是同一單元的數(shù)學知識，它們往往相互關(guān)聯(lián)、相輔相成。所以，在設(shè)計數(shù)學開放型作業(yè)時，應(yīng)重視對相關(guān)知識進行系統(tǒng)化整合，按照知識之間的邏輯順序和學生的認知順序，逐步遞進地進行設(shè)計，以便學生在完成作業(yè)的同時構(gòu)建起完整的知識體系。

（3）實踐性與科學性原則

“雙減”政策的減負增效僅體現(xiàn)在書面作業(yè)上是不夠的，為了培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，數(shù)學開放型作業(yè)的設(shè)計需與真實情境相結(jié)合，引導學生在真實生活中，運用所學數(shù)學知識解決實際問題，讓學生切實體會到數(shù)學在社會生活中的廣泛應(yīng)用。數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，因此，開放型作業(yè)所設(shè)計的內(nèi)容和情境必須真實、準確。

二、數(shù)學開放型作業(yè)的設(shè)計案例

1. 條件開放型作業(yè)，激活學生的逆向思維

條件開放型作業(yè)要求學生在已知問題結(jié)論的情況下，逆向探查原因，思考可能導致這個結(jié)論的條件。條件開放型作業(yè)往往起點較低，學生完成作業(yè)時容易獲得成就感，并能激活其逆向思維。教師可以依據(jù)作業(yè)目標，精選教材中的題目，隱去題目的條件，就可得到條件開放型作業(yè)。以下是筆者對教材中的題目重新設(shè)計而成的條件開放型作業(yè)。

案例1 已知：如圖1，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分線，過點D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F。請你再添加一個條件___________，使△DBE ≌ △DCF。

本題是根據(jù)教材八年級第一學期第114 頁的課后練習1 改編所得。這是一道考查角平分線定理和全等三角形判定方法的問題，屬于條件開放型作業(yè)。學生可以先利用角平分線定理，推導出DE=DF，∠DEB=∠DFC，再從邊或角的角度逆向考慮全等所需要的條件。

2. 結(jié)論開放型作業(yè)，開拓學生思維的廣度與深度

結(jié)論開放型作業(yè)的答案不唯一，讓學生在已知條件下探索多種可能的答案。這樣的作業(yè)既能提高學生的興趣，又能幫助學生多維度、更深入地掌握數(shù)學知識，領(lǐng)悟知識之間的關(guān)聯(lián)性，進而開拓思維的廣度與深度。教師可以弱化條件，使題目的結(jié)論多樣化。以下是筆者將教材中的一道封閉題的固定條件弱化為具有選擇性的條件，從而使題目的結(jié)論具有開放性。

案例2 已知：如圖2，點B、C 分別在∠EAF 的邊AE、AF 上，過B、C 兩點作BN ⊥ AC、CM ⊥ AB，垂足分別為N、M，BN 與CM 相交于點P，連結(jié)AP。

請從①AB=AC，②BP=CP，③PM=PN 中選取兩個為題設(shè)，第三個為結(jié)論，為真命題的有___種，請選取其中一個真命題加以證明。

案例2 是由教材改編的，筆者將命題、角平分線定理和逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點有效結(jié)合，屬于結(jié)論開放。學生需要運用分類討論的思想，得到3 種命題，隨后推理論證其真假，并用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表達論證的過程。本題突出了數(shù)學知識之間的聯(lián)系，引導學生善用數(shù)學思想方法，能夠?qū)⒛吧臄?shù)學問題轉(zhuǎn)化為已學的數(shù)學知識。

3. 策略開放型作業(yè)，發(fā)展學生的邏輯推理能力

策略開放型作業(yè)是指思維策略和解題方法不唯一，鼓勵學生以適當?shù)姆绞竭M行探究，只要言之有理，所得到的結(jié)論和策略都能成立。以案例3 為例，學生可以更自由地構(gòu)建條件和關(guān)系，并從多角度、多途徑尋找解題思路，進一步完善知識結(jié)構(gòu)。鑒于該作業(yè)所涉及思維量的特點，時間上可設(shè)定為長期作業(yè)，難度應(yīng)符合學生的認知水平。筆者以教材中平行四邊形判定方法的研究為背景，設(shè)計以下作業(yè)：

案例3 關(guān)于平行四邊形的判定，其依據(jù)有平行四邊形的定義和四個判定定理，它們都是從邊、內(nèi)角、對角線三個視角揭示了平行四邊形的本質(zhì)屬性。小麗在學習完本章節(jié)內(nèi)容后，聯(lián)想到能否把邊、角、對角線的條件進行其他組合，推出這個四邊形是平行四邊形。于是，她猜想：“一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形?！?/p>

①請你判斷小麗的猜想是否正確？如果正確，請加以證明；如果不正確，請說明理由。

②你能模仿小麗，獲得其他猜想嗎？

③你能判斷所得猜想是否正確，并說明理由嗎？然后以小組為單位進行歸納與整理。

以上作業(yè)是定理的延伸和拓展，靈活銜接了課堂學習和課后作業(yè)，也能激發(fā)起學生的好奇心和探究欲。以小麗的猜想為例，每一小問都在為學生搭建起探究的“腳手架”，層層深入，引導學生經(jīng)歷猜想、論證、類比、歸納的過程，體會數(shù)學問題中“變”與“不變”的內(nèi)涵以及分類討論的思想，同時鼓勵學生進行數(shù)學表達，促進學生從不同角度，運用不同策略來解決問題，以推動知識的內(nèi)化與創(chuàng)新。

4. 綜合開放型作業(yè)，提升學生的遷移能力

綜合開放型作業(yè)至少應(yīng)具備兩個元素顯示出開放性的特征，能夠促進基本思想的形成、關(guān)鍵能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升。教師應(yīng)立足單元，合理組織作業(yè)內(nèi)容，科學設(shè)計具有典型性、漸進性、層次性的綜合開放型作業(yè)。如案例4，學生感悟公式的形成與發(fā)展，提升抽象能力和遷移能力。

案例4 在“圓的面積（1）”這一課時的學習中，我們通過把圓等分成若干份，再按圖3 中的方法拼起來，以此推導出圓的面積公式?？梢园l(fā)現(xiàn)，圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近于一個長方形，這個長方形的面積也越接近于圓的面積。

類比上述方法，接下來，我們一起動手試一試，剪下圖4 中的圓環(huán)，把圓環(huán)平均分成9 等份，嘗試把它們拼成我們已學過的圖形。

①在這一過程中，可以將這個圓環(huán)轉(zhuǎn)化為近似的________形。

②可以把圓環(huán)的面積近似看成________的面積。

③把圓環(huán)等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近于一個________，圓環(huán)的面積也就越接近于________的面積。

④設(shè)大圓和小圓的周長分別為C1、C2，環(huán)寬為d，那么我們可以猜想圓環(huán)的面積公式等于________。

⑤（選做題）閱讀材料∶

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方的差。

例如，（a + b）（a - b） = a2 - b2。

結(jié)合閱讀材料和圓面積的推導過程，思考你的猜想正確嗎？如果正確，請寫出推導過程；如果不正確，請說明理由。

綜合開放型作業(yè)是利用教材中圓面積公式的推導方法進行圓環(huán)面積公式的研究。以裁剪圓環(huán)的實踐活動得到猜想，再論證猜想，學生不僅實現(xiàn)了知識的遷移，還增強了知識生成過程的體驗感。另外，教師可以根據(jù)學生的需求設(shè)計分層作業(yè)，供學有余力的學生選做。

5. 項目實踐型作業(yè)，加強學生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識

項目實踐型作業(yè)為學生提供了運用數(shù)學知識解決實際問題的契機，同時讓學生感受到數(shù)學在實際生活中的價值。項目實踐型作業(yè)指完成時間不受課時約束，以探索規(guī)律、拓寬視野、實踐應(yīng)用等為主要目標的數(shù)學作業(yè)。它能夠給予學生更多的選擇權(quán)，進而開發(fā)學習潛能，拓寬視野，形成應(yīng)用與創(chuàng)新的意識。設(shè)計項目實踐型作業(yè)時，教師應(yīng)基于學情，預(yù)設(shè)實施要求，注重反饋學生在實踐過程中運用數(shù)學知識的表現(xiàn)，鼓勵學生采取小組合作的學習方式，引導學生分項目、分階段地完成作業(yè)，并適時給予建議和幫助。

案例5 環(huán)城河步道面積測算

嘉定環(huán)城河是上海保存完好且仍在發(fā)揮功能的古代護城河河道，通過統(tǒng)籌兩岸的步道、綠化、駁岸、燈光和配套設(shè)施等布局，借水造景、依水建綠，使城市生態(tài)環(huán)境和沿岸空間功能得到整體提升。貫通后的環(huán)城河步道內(nèi)圈工程總長度約6.5 公里，共串聯(lián)起嘉定的十余個公園綠地，古城墻、水關(guān)與環(huán)城綠帶連成一體，形成一個完整的閉環(huán)。

任務(wù)①測量：以環(huán)城河步道全局規(guī)劃圖為依據(jù)，以小組為單位，自主設(shè)計方案，選用適當工具測量環(huán)城河步道內(nèi)圈周長和外圈周長。簡要說明測量環(huán)城河步道內(nèi)圈、外圈周長的方法，完成一份測量活動報告（見表1）。建議嘗試不同的測量方法，在組內(nèi)交流并開展分析比較。

任務(wù)②計算：根據(jù)你學過的知識，試求環(huán)城河步道規(guī)劃區(qū)域的占地面積。

任務(wù)③展示：以小組為單位，設(shè)計一份PPT 電子簡報，選派代表為全班同學進行演示和講解。

學生在完成項目實踐型作業(yè)的過程中，結(jié)合嘉定區(qū)環(huán)城河步道建設(shè)規(guī)劃，綜合運用本單元所學知識，以小組為單位實地測量和計算環(huán)城河步道建設(shè)面積。內(nèi)容包含調(diào)查統(tǒng)計、實踐操作、分組合作、反思總結(jié)、交流展示等活動。本項作業(yè)可以從多維度進行評價，建議區(qū)分個人評價和團隊評價，分別設(shè)置個人和團隊獎項?？梢詮娜齻€方面進行評價：對每位學生提交的“測算活動報告”的內(nèi)容進行評價，小組成員進行組內(nèi)互評，班級全體學生對小組匯報進行評價。評價指標、評價要點及各項比重可參考表2。

開放型作業(yè)的評價不僅要關(guān)注學生學習的結(jié)果，還應(yīng)重視對學習過程的評價。為了更全面科學地實施過程性評價，教師可以設(shè)計有效可行的評價工具，如學習過程評價量表等。多元評價機制的建立，讓每一位學生都能獲得成就感，激發(fā)其全面發(fā)展。

三、體會與反思

“雙減”政策的目的并非簡單地減少學生的學業(yè)負擔，而是為了更好地促進學生的全面發(fā)展。因此，在“雙減”政策和新課程標準的背景下，教師需轉(zhuǎn)變對數(shù)學作業(yè)的傳統(tǒng)觀念，加強開放型作業(yè)的設(shè)計已成為應(yīng)然之舉。具體來說，教師應(yīng)充分了解數(shù)學開放型作業(yè)的類型與功能。條件開放型作業(yè)能夠激活學生的逆向思維；結(jié)論開放型作業(yè)能夠開拓學生思維的廣度與深度；策略開放型作業(yè)能夠發(fā)展學生的邏輯推理能力；綜合開放型作業(yè)能夠提升學生的知識遷移能力；項目實踐型作業(yè)能夠加強學生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識。此外，數(shù)學開放型作業(yè)設(shè)計也應(yīng)該是綜合性的作業(yè)設(shè)計，在控量的原則下，豐富開放型作業(yè)的形式和內(nèi)容，提高開放型作業(yè)設(shè)計的質(zhì)量。在開放型作業(yè)實施的過程中，筆者認識到，教師需要根據(jù)學生的反饋對作業(yè)進行調(diào)整和優(yōu)化，從而更加精準地支持學生的學習，真正做到減負增效。