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        再談圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系的綜合考查

        2023-12-30 15:43:43欒功顏?zhàn)先~肖玉霞
        關(guān)鍵詞:新高考

        欒功 顏?zhàn)先~ 肖玉霞

        [摘 要]文章通過(guò)對(duì)2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題的解法進(jìn)行探究,揭示了2023年新高考數(shù)學(xué)試題的一大新亮點(diǎn):圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系深度綜合,為2024年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考提供參考。

        [關(guān)鍵詞]圓錐曲線;函數(shù);不等關(guān)系;綜合考查;新高考

        [中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? A [文章編號(hào)] 1674-6058(2023)26-0001-03

        新時(shí)代背景下的教學(xué)改革與高考評(píng)價(jià)改革同向同行。隨著全國(guó)各省新一輪教材的使用,截至2023年7月,全國(guó)已有29個(gè)省份啟動(dòng)新高考改革。近4年新高考數(shù)學(xué)試題的命題在逐步趨于穩(wěn)定的同時(shí),突出了一些新的亮點(diǎn)。筆者在本刊2023年第20期的文章中以2023年全國(guó)甲卷理科第20題為例論述了2023年高考數(shù)學(xué)試題的一大亮點(diǎn):解析幾何與函數(shù)深度綜合。下面筆者以2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題為例,再談2023年高考數(shù)學(xué)試題的另一大新亮點(diǎn):圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系深度綜合。

        一、 試題呈現(xiàn)

        (1)求[W]的方程;

        分析 試題第(1)問(wèn)以考生熟悉的拋物線的定義為知識(shí)背景,考查拋物線的概念和求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本方法;第(2)問(wèn)將一個(gè)邊長(zhǎng)可變的矩形與拋物線結(jié)合,考查矩形周長(zhǎng)的最小化問(wèn)題,看似是考生熟悉的弦長(zhǎng)問(wèn)題,實(shí)則極具創(chuàng)新性,將圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題與絕對(duì)值函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)深度綜合,注重思維過(guò)程,突出考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),有助于拔尖創(chuàng)新人才的選拔。

        二、試題溯源

        題源1 (新人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第146頁(yè)“復(fù)習(xí)參考題3”第10題,圖略)已知直線與拋物線[y2=2pxp>0]交于[A],[B]兩點(diǎn),且[OA⊥OB],[OD⊥AB]交[AB]于點(diǎn)[D],點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[2,1],求[p]的值。

        題源2 (2002年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第13題,圖略)已知點(diǎn)[A0,2]和拋物線[y2=x+4]上兩點(diǎn)[B、C],使得[AB⊥BC],求點(diǎn)[C]的縱坐標(biāo)的取值范圍。

        題源3 (1998年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第三大題,圖略)已知在拋物線[y=x2]上有一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)[A]、[B]、[C],求這個(gè)正方形面積的最小值。

        題源1源于教材習(xí)題,與上述試題在幾何特征上有相同的本質(zhì),都是直角三角形與拋物線相結(jié)合,區(qū)別在于題源1是確定性問(wèn)題,而上述試題是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,源于教材而高于教材,起到引導(dǎo)教學(xué)、回歸教材的作用。題源2與題源1相比,由確定性問(wèn)題上升為動(dòng)態(tài)問(wèn)題。題源3與上述試題幾乎相同,歷年的競(jìng)賽試題往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,一線教師需引起重視。

        三、 解法探究

        對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題,考生可先從較為特殊的情況入手探尋思路。如圖1所示,本題最特殊的情況就是矩形有一個(gè)頂點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)重合,與題源1相同,考生自然清楚這是關(guān)于直線[BC]斜率[k]的函數(shù)問(wèn)題。由于本題中矩形與拋物線搭接形式的開(kāi)放性,我們需要順勢(shì)思考更為一般的情況。如圖2所示,矩形的四個(gè)頂點(diǎn)有三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,則這三個(gè)點(diǎn)不可能同時(shí)出現(xiàn)在[y]軸的同側(cè),結(jié)合拋物線的對(duì)稱性,從邏輯意義上我們不妨只考慮圖3的情況,記點(diǎn)[A、B、C]在拋物線上,且點(diǎn)[A]在[y]軸的左側(cè),點(diǎn)[B]、[C]依次出現(xiàn)在[y]軸的右側(cè)。下面從不同角度設(shè)參求解。

        評(píng)析:設(shè)線求解弦長(zhǎng)是解答這類問(wèn)題的通性通法,大部分考生都會(huì)想到這一步,解題困難主要在于矩形周長(zhǎng)取值范圍的求解。由于矩形邊長(zhǎng)的可變化性,致使矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式出現(xiàn)了雙變量,這讓絕大部分考生望而卻步。該解法選擇先固定主元再求解的思路,是解決雙變量問(wèn)題的常見(jiàn)方法。在具體的函數(shù)最值求解過(guò)程中,不論是去絕對(duì)值的分類討論,還是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性,都將函數(shù)與圓錐曲線的綜合體現(xiàn)得淋漓盡致。試題命制之新穎,解答之根本,都無(wú)不讓人贊嘆不已。

        評(píng)析:該解法建立在洞悉試題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)之上,通過(guò)兩個(gè)“不妨設(shè)”和代數(shù)代換,避免了解法1的分類討論,體現(xiàn)了“多想少算”的命題意圖,對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高。

        評(píng)析:該解法的本質(zhì)是借助直線的方向向量探尋矩形[ABCD]有三個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上的充要條件,對(duì)考生的動(dòng)態(tài)思維能力和化歸與轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力要求較高。

        四、 回顧反思

        回顧以上解法,解題思路皆源于對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解,進(jìn)一步探究,便有如下思考:

        我們可做如下嘗試:

        這里巧妙地借助[k]的范圍對(duì)表達(dá)式進(jìn)行初步放縮,從而接著利用三角不等式放縮消元,將二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題。試題巧妙地將解析幾何、函數(shù)、不等關(guān)系融合在一起,加大了對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查,為不同層次的考生發(fā)揮水平提供了空間。

        思考3 新時(shí)代下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的重心在哪里?從解題分析來(lái)看,試題的命制源于基礎(chǔ)性、本源性知識(shí),發(fā)展于各知識(shí)模塊之間的聯(lián)系。從新高考試題體現(xiàn)的這兩大亮點(diǎn)來(lái)思考,高三復(fù)習(xí)教學(xué)的重心應(yīng)落在基本概念、公式、原理等本源性知識(shí)的理解上,落在知識(shí)體系的構(gòu)建上,落在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上。當(dāng)然,高一、高二基礎(chǔ)年級(jí)的教學(xué)更應(yīng)如此。

        [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

        [1]? 2002年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽[J].中等數(shù)學(xué),2002(6):19-24.

        [2]? 李大元,劉鴻坤,熊斌,等.1998年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽[J].中等數(shù)學(xué),1999(3):28-29.

        [3]? 教育部教育考試院.高考試題分析:數(shù)學(xué):2024年版[M].北京:語(yǔ)文出版社,2023.

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