張麗珊

摘要：新數(shù)學(xué)課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教育要以有利于學(xué)生全面發(fā)展為中心，以提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)和倡導(dǎo)有意義的學(xué)習(xí)方式為基本點(diǎn).教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而使其能夠進(jìn)行獨(dú)立思考并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，找到通往深度學(xué)習(xí)的途徑.而復(fù)習(xí)課對(duì)學(xué)生而言，重要性不言而喻.如何上好期末復(fù)習(xí)課，選擇怎樣的課堂教學(xué)模式才能實(shí)現(xiàn)高效減負(fù)呢？以人教版第二十二章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)第一課時(shí)為例 ，按“課前診斷”“課堂探究”“課堂反饋”“課后作業(yè)”“中考鏈接”這幾個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)探究期末復(fù)習(xí)課堂教學(xué)模式.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)；深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

1 文本分析

二次函數(shù)屬于函數(shù)與方程，是初中代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)梳理成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，難點(diǎn)在于拓展遷移應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題.

2 學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了“方程”“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”，在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)梳理二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)方式，建構(gòu)知識(shí)體系，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的“新內(nèi)涵”，進(jìn)而獲得研究函數(shù)的通用方法，類(lèi)比歸納總結(jié)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)，提升深度學(xué)習(xí)能力［1］.

3 目標(biāo)解析

（1） 知識(shí)技能：二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì).

（2）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般、分類(lèi)思想、類(lèi)比歸納思想.

（3）數(shù)學(xué)素養(yǎng)：模型意識(shí)，研究函數(shù)的方法；結(jié)合圖象，發(fā)揮好幾何直觀的作用［2］.

4 教學(xué)實(shí)施

活動(dòng)一：課前診斷 （利用基礎(chǔ)題，了解學(xué)生對(duì)雙基的掌握情況）.

（Ⅰ）二次函數(shù)的定義

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

需要注意的是：函數(shù)解析式是整式；整理后自變量的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

（1）二次函數(shù)y=－x2+2x的二次項(xiàng)系數(shù)是[CD#3]，一次項(xiàng)系數(shù)是[CD#3]，常數(shù)項(xiàng)是[CD#3].

（2）已知函數(shù)y=（k2－9）x2+（k+3）x+17，

當(dāng)k為何值時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)？當(dāng)k為何值時(shí)，該函數(shù)為二次函數(shù)？

易錯(cuò)點(diǎn)：忽略二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

（Ⅱ）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（3）拋物線y=x2－4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是[CD#3].

（4）函數(shù)y=（x－1）2+2的最小值是[CD#3].

（5）二次函數(shù)y=－x2－2x的開(kāi)口[CD#3]，對(duì)稱(chēng)軸是[CD#3].

師生活動(dòng)：教師精心選擇內(nèi)容，回顧本章知識(shí)；學(xué)生5分鐘限時(shí)完成上述診斷題.

意圖說(shuō)明：通過(guò)課前診斷快速了解學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，精準(zhǔn)診斷便于有向有序地進(jìn)行復(fù)習(xí).

活動(dòng)二：課堂探究（借助典型例題及問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)）.

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3中的x，y滿足表1：

（1）求該二次函數(shù)的解析式（頂點(diǎn)式與一般式）.

（2）①開(kāi)口方向：[CD#4].

②對(duì)稱(chēng)軸：[CD#5].

③頂點(diǎn)坐標(biāo)：[CD#5].

④圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：[CD#5].

⑤圖象與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)：[CD#5].

⑥圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)：[CD#5].

⑦畫(huà)出函數(shù)的圖象.

⑧當(dāng)x=[CD#3]時(shí)，函數(shù)的最值為[CD#3].

⑨當(dāng)[CD#3]時(shí)，y=0；當(dāng)[CD#3]時(shí)，y>0；當(dāng)[CD#3]時(shí)，y<0.

B10圖象在x軸上截得的線段的長(zhǎng)為[CD#3].

B11三角形ABC的面積為[CD#3].

B12當(dāng)x[CD#3]時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x[CD#3]時(shí)，y隨x的增大而減小.

B13要得到拋物線y=x2，則如何平移二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象？

師生活動(dòng)：給予學(xué)生適當(dāng)時(shí)間自主探究，再與小組同伴進(jìn)行交流.還可以提出其他問(wèn)題，如“若點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P到x軸的距離為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)”.最后歸納總結(jié)：

（1）函數(shù)的三種表示形式：列表、圖象、解析式.

（2）二次函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1.

（3）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)思想、特殊到一般等.

（4）研究函數(shù)的基本思路.

意圖說(shuō)明：通過(guò)對(duì)近年來(lái)涉及本章知識(shí)點(diǎn)的質(zhì)檢題或中考題的整理，以典型例題引領(lǐng)，利用問(wèn)題串重新建立知識(shí)關(guān)聯(lián)，從不同角度看待原有知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的深度理解，進(jìn)而形成高階思維能力.引導(dǎo)學(xué)生自主回顧知識(shí)，歸納總結(jié)并繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生構(gòu)建并內(nèi)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從邏輯推理角度將知識(shí)系統(tǒng)化，并形成可遷移能應(yīng)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，真正做到融會(huì)貫通，“溫故而知新”，進(jìn)而找到通向深度學(xué)習(xí)的有效途徑.重視滲透思想方法及積累復(fù)習(xí)課活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［3］.

活動(dòng)三：練一練（前后聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)的理解）.

（1）（2017-2018學(xué)年廈門(mén)）某二次函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值如表2所示.若x1＜x2＜x3＜x4＜x5，則該函數(shù)圖象的開(kāi)口方向是[CD#3].

生1：例1與練習(xí)（1）相似，都是以表格形式呈現(xiàn).

生2：可以令x1，x2，x3，x4，x5分別為1，2，3，4，5，畫(huà)出示意圖即可求解，即特殊值法和圖象法.

生3：我發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x1＜x2＜x3＜x4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x4＜x5時(shí)，y隨x的增大而減小”，可知函數(shù)圖象開(kāi)口向下，即函數(shù)性質(zhì)法.

師：幾位同學(xué)都說(shuō)得很好，還有補(bǔ)充的嗎？

生4：不管是特殊值結(jié)合圖象法還是函數(shù)性質(zhì)法都是解決函數(shù)問(wèn)題的常用方法.

生5：若是含參問(wèn)題，可先嘗試用特殊值法來(lái)理解題意，結(jié)合圖象直觀感悟，再用函數(shù)性質(zhì)法解題驗(yàn)證.

師：同學(xué)們能夠反思總結(jié)解題方法，運(yùn)用函數(shù)的本質(zhì)思考并形成解題策略，具有未來(lái)數(shù)學(xué)家的潛質(zhì).

意圖說(shuō)明：展示學(xué)生求解的思路，并邀請(qǐng)學(xué)有余力的學(xué)生嘗試析題，總結(jié)歸納方法，積累解題經(jīng)驗(yàn).此題雖是含參問(wèn)題，利用特殊值法，數(shù)形結(jié)合將其轉(zhuǎn)化為與例1相似的問(wèn)題，既鞏固基礎(chǔ)知識(shí)又考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想及知識(shí)遷移能力，讓學(xué)生在不斷思考的過(guò)程中感悟轉(zhuǎn)化、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.通過(guò)分享不同的解題方法，開(kāi)拓思維，培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方位思考的深度學(xué)習(xí)能力，提升核心素養(yǎng).

活動(dòng)四：拓展提升（不斷拓展，形成解題策略）.

例2 （2015年廈門(mén)中考第24題改編）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，當(dāng)1≤x≤2時(shí)， 函數(shù)y＝ax2（a≠0）的最大值與最小值之差是1，求a的值．

生1：好多參數(shù)啊！從何入手呢？

生2：先求a的值.可用含a的代數(shù)式表示b，即b＝a－1.

生3：將 b＝a－1代入a2－ab＋2＞0，得a>－2.這樣還是無(wú)法判斷a的符號(hào)，也就無(wú)法確定函數(shù)的增減性.

生4：雖然無(wú)法判斷a的符號(hào)，但可以分－2＜a＜0與a＞0兩種情況進(jìn)行討論.

師：同學(xué)們從一開(kāi)始的“不知所措”到“步步解套”，最后迎刃而解，能否再對(duì)其進(jìn)行反思總結(jié)？

生6：此函數(shù)問(wèn)題主要考查函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)與方程思想，結(jié)合數(shù)學(xué)分類(lèi)討論等解決問(wèn)題.

生7：認(rèn)真審題，推理能力、運(yùn)算能力是考查重點(diǎn).

師：分析得太棒了，可以取代老師了！那能否幫老師改編題目呢？

變式 已知實(shí)數(shù)a，b滿足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)， 函數(shù)y＝ax2（a≠0）的最大值與最小值之差是1，求a的值．

教師追問(wèn)：還可以再改編嗎？例如將“函數(shù)y＝ax2（a≠0）” 變?yōu)椤昂瘮?shù)y＝a（x-1）2（a≠0）”，找出解題策略.

意圖說(shuō)明：將例2的條件“當(dāng)1≤x≤2時(shí)”改編為“當(dāng)－1≤x≤2時(shí)”，其他條件不變，此時(shí)由于自變量取值范圍的改變導(dǎo)致最大與最小值的變化進(jìn)而引起a值的改變.加深對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，深化對(duì)知識(shí)的遷移，進(jìn)而提升深度學(xué)習(xí)能力，積累經(jīng)驗(yàn)，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，提高核心素養(yǎng).

活動(dòng)五：課堂反饋 （有效反饋，精準(zhǔn)輔導(dǎo)）.

（1）將拋物線y=－3x2向上平移一個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后，得到的拋物線解析式是[CD#3]．

（3）（B層）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－1），且過(guò)點(diǎn)（2，0） ，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

（A層）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0）且對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)（3，1），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

意圖說(shuō)明：課堂反饋是教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).保證每節(jié)課有適當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間，及時(shí)運(yùn)用剛學(xué)到的知識(shí)解決問(wèn)題，靈活地“做”，不死記硬背.讓學(xué)生獨(dú)立限時(shí)完成，教師巡視.在雙減政策下，減輕學(xué)生過(guò)重的課外負(fù)擔(dān)，如第（3）題可以選擇做A層或B層，并且可用來(lái)檢驗(yàn)教學(xué)效果，精準(zhǔn)反饋學(xué)情，有利于教師課后有針對(duì)性地進(jìn)行輔導(dǎo)，布置拓展性的作業(yè)，使學(xué)生擁有高階思維能力，進(jìn)一步走向深度學(xué)習(xí).

活動(dòng)六：課后作業(yè)（鞏固教學(xué)內(nèi)容，中考鏈接，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力）.

（1）對(duì)于一元二次方程x2－2x＋1＝0，根的判別式b2－4ac中的b表示的數(shù)是（）.

A.－2

B.2

C.－1

D.1

（2）已知某二次函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，則該二次函數(shù)的解析式可以是（）.

A.y＝2（x＋1）2

B.y＝2（x－1）2

C.y＝－2（x＋1）2

D.y＝－2（x－1）2

（3）（2023年福建中考第24題）二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過(guò)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為

意圖說(shuō)明：結(jié)合近幾年質(zhì)檢題或中考題，讓學(xué)生感受中考?xì)夥?第（1）題與第（2）題考查方程與函數(shù)知識(shí)，都屬于“四基”內(nèi)容，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.第（4）題屬于二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)際生活問(wèn)題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型意識(shí)，感悟知識(shí)的遷移，獲取通向深度學(xué)習(xí)的途徑.

5 反思與感悟

在雙減背景下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂采用何種教學(xué)模式提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)給新時(shí)代數(shù)學(xué)教師帶來(lái)了挑戰(zhàn).由于是復(fù)習(xí)課，因此可以引導(dǎo)學(xué)生在課前閱讀教材并繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖，或以手抄報(bào)的形式關(guān)聯(lián)各知識(shí)點(diǎn)，以個(gè)體的視角呈現(xiàn)重難點(diǎn)及典型例題，并在課堂中與同學(xué)分享交流討論，再通過(guò)拓展題的解析與變式，發(fā)展學(xué)生思維素養(yǎng)，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)，構(gòu)建高效有趣的復(fù)習(xí)課堂.

以活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生思考、觀察、猜想、驗(yàn)證，合理運(yùn)用教材資源，讓復(fù)習(xí)課不再枯燥，這樣的深度學(xué)習(xí)才能拓寬學(xué)生視野，有利于學(xué)生提高認(rèn)知，積累有意義的活動(dòng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

總之，基于深度學(xué)習(xí)的期末復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)

關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等方面使學(xué)生達(dá)成課程目標(biāo)，獲得適應(yīng)社會(huì)生活和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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