李 萍 上海海事大學(xué)附屬北蔡高級(jí)中學(xué)

一、引言

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中強(qiáng)調(diào)，“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界、發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題（能力），積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神”。

近幾年來(lái)，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)、工程與經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入學(xué)校課堂已經(jīng)是大勢(shì)所趨。

二、數(shù)學(xué)建模的定義

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，指的是通過觀察現(xiàn)實(shí)生活中的問題之后將其進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)抽象，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，然后用數(shù)學(xué)思想方法建立模型來(lái)培養(yǎng)解決問題的素養(yǎng)。

在2020 年的“雙新”教改中，上教版新教材將數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容獨(dú)立出來(lái)，按必修和選擇性必修分別單獨(dú)成冊(cè)，這就要求一線教師需要認(rèn)真思考數(shù)學(xué)建模的意義，掌握數(shù)學(xué)要義，積極落實(shí)提高學(xué)生的核心素養(yǎng)這一教學(xué)目標(biāo)。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法：利用日常課進(jìn)行滲透

雖然“雙新”改革后，上教版教材已經(jīng)將數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)單獨(dú)成冊(cè)，但是教材上的內(nèi)容是以一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的形式出現(xiàn)的，然而，對(duì)于高一的學(xué)生而言，由于在知識(shí)儲(chǔ)備上的欠缺導(dǎo)致數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)該依據(jù)學(xué)情來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化。

因而，筆者嘗試如下教學(xué)方法：充分挖掘日常上課的素材，利用這些素材為學(xué)生搭建好數(shù)學(xué)建模的腳手架，在日常課中將數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行有效滲透，繼而為之后讓學(xué)生能完成一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)做好鋪墊。

四、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例實(shí)踐

（一）素材的選擇

在上教版新教材必修一的第二章“一元二次不等式的求解”這一節(jié)中，引例改編自《數(shù)學(xué)建模》一書中的剎車距離案例：

在交通事故中，交通管理部門往往通過測(cè)量肇事汽車的剎車距離來(lái)推斷該車輛實(shí)施剎車前的行駛速度，并作為斷定司機(jī)在肇事前是否有超速違章行為的重要參考依據(jù)。假設(shè)在某次交通事故中，測(cè)得肇事汽車的剎車距離大于20 米，試推斷該汽車在剎車前的車速是否超過該水泥道路上機(jī)動(dòng)車的限速規(guī)定30 km/h。在一般情況下，我們可以采用如下數(shù)學(xué)模型來(lái)描述該種型號(hào)的汽車在常規(guī)水泥路面上的剎車距離：d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關(guān)系：

d=0.208 5v+0.006 4v2

（二）將教材上的素材進(jìn)行改編

思考：汽車在常規(guī)水泥路面上的剎車距離d（單位：m）與剎車前的車速v（單位：km/h）之間的關(guān)系式是怎么得到的？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該引例使學(xué)生意識(shí)到生活中其實(shí)有很多問題，從而了解到數(shù)學(xué)建模的第一步是學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中的問題。

創(chuàng)設(shè)情境：由于慣性，汽車在剎車之后還要繼續(xù)前進(jìn)一段距離之后才會(huì)停下來(lái)，從司機(jī)踩下剎車到汽車完全停止的這段距離稱作為剎車距離。我們知道一般來(lái)說(shuō)車速越快，剎車距離越長(zhǎng)，由此，可以初步判斷剎車距離與車速有關(guān)，為了找到剎車距離與車速的關(guān)系，從而建立出這兩者之間的關(guān)系式，我們需要在不變的道路上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而且司機(jī)也得是同一個(gè)。通過實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 車速與剎車距離的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

問題1：該如何研究這些數(shù)據(jù)，才能正確建立剎車距離與車速的關(guān)系式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該問題使學(xué)生能了解到數(shù)學(xué)建模的第二步：學(xué)會(huì)提出問題。在學(xué)生的認(rèn)知中，建立關(guān)系式無(wú)非是等量關(guān)系或者是不等關(guān)系，而這些關(guān)系通常都是以函數(shù)關(guān)系的方式來(lái)得到，這就是學(xué)生非常熟悉的應(yīng)用題。以表格列出數(shù)據(jù)的方式來(lái)找函數(shù)關(guān)系對(duì)學(xué)生而言是既是新鮮的，也是充滿挑戰(zhàn)的。

問題2：經(jīng)過大家的思考，主要有以下兩種方法，那么選擇哪一種比較好呢？

方法一：直接猜測(cè)符合的函數(shù)模型，是一次函數(shù)還是二次函數(shù)？代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

方法二：作出散點(diǎn)圖，看曲線的形狀判斷函數(shù)關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于成對(duì)的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上通常可以選擇用作出散點(diǎn)圖的方式來(lái)呈現(xiàn)成對(duì)數(shù)據(jù)是否具備函數(shù)關(guān)系或者相關(guān)關(guān)系，因此，啟發(fā)學(xué)生用方法二對(duì)于研究現(xiàn)實(shí)問題更適合。

問題3：利用Excel作出散點(diǎn)圖（圖1）如下，顯然發(fā)現(xiàn)剎車距離與車速不成一次函數(shù)的關(guān)系（見圖2），那么這兩者究竟是怎樣的關(guān)系呢？為此，我們需要進(jìn)一步的研究。

圖1

圖2

問題4：通過查閱資料，我們發(fā)現(xiàn)剎車距離由反應(yīng)距離和制動(dòng)距離兩部分組成。當(dāng)駕駛員意識(shí)到需要踩剎車到做出剎車動(dòng)作的這段時(shí)間，稱為反應(yīng)時(shí)間。在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)，汽車以原來(lái)的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)之后所行駛的距離叫做反應(yīng)距離。那么請(qǐng)問反應(yīng)距離與什么有關(guān)？制動(dòng)距離又與什么有關(guān)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過該問題使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)建模的第三步：學(xué)會(huì)分析問題，既然由散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)了剎車距離與車速不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，那就需要進(jìn)一步分析問題，找出該問題中另外一些關(guān)鍵的要素。

問題5：通過討論與查閱資料，我們可以總結(jié)出如下結(jié)論：反應(yīng)距離與司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間和汽車的車速有直接關(guān)聯(lián)，其中司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間又與個(gè)人的精神狀況和汽車的制動(dòng)系統(tǒng)的靈敏性有關(guān)系；而制動(dòng)距離與汽車的制動(dòng)器的作用力以及汽車行駛的速度以及行駛的時(shí)候道路的狀況有關(guān)，那么這么多因素我們?cè)撊绾芜M(jìn)行取舍？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)問題5 的深入思考，使學(xué)生們認(rèn)識(shí)到對(duì)于我們要探究的剎車距離與車速之間的關(guān)系式來(lái)說(shuō)，有很多因素是次要的，如果全部都要研究就太煩瑣了，因此為了使問題變簡(jiǎn)單，通常需要進(jìn)行一些合理的假設(shè)，這也是建立合適的數(shù)學(xué)模型之前一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。

問題6：基于問題5中的分析，作出以下假設(shè)：

（1）汽車的剎車距離d可以看作是反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2的和；

（2）司機(jī)的反應(yīng)距離d1與汽車的行駛速度v成正比，比例系數(shù)為司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間；

（3）在剎車時(shí)需要使用的制動(dòng)力記作F，而F做的功相當(dāng)于汽車動(dòng)能發(fā)生的變化，且F與汽車的重量m成正比。

基于以上假設(shè)是否能建立剎車距離d與車速v之間的關(guān)系式？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于問題6 的解答其實(shí)就是在完成數(shù)學(xué)建模的第四步也是最關(guān)鍵的一步——建立模型。

由假設(shè)1，得到d=d1+d2；由假設(shè)2，d1=c1v（其中c1為常數(shù)）；由假設(shè)3，F(xiàn)與汽車的重量m成正比，基于牛頓第二定律，得到F=mk（其中k為剎車時(shí)的減速度為常數(shù)），另外，由于在F的作用下行駛的距離d2所做的功Fd2使汽車的車速?gòu)膙變成了0，因此動(dòng)能的變化為，于是得到如下關(guān)系式：

從而可以將d2記作d2=c2v2（其中c2為常數(shù)），因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為：d=c1v=c2v2.

思考與拓展：如何將系數(shù)c1以及c2計(jì)算出來(lái)？

說(shuō)明：在這里可以給學(xué)有余力的學(xué)生拓展一下關(guān)于利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的知識(shí)。筆者利用Matlab軟件調(diào)用擬合函數(shù)進(jìn)行了系數(shù)的計(jì)算，相關(guān)操作步驟如下：

（1）編寫M文件linefit.m，下圖3為該文件代碼。

圖3

（2）在命令窗口執(zhí)行以下代碼（見圖4）。

圖4

在以上截圖中可以看到c1=0.181 2，c2=0.006 6，因此可以得到剎車距離d（單位：m）與車速v（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為：d=0.181 2v+0.006 6v2。若將表1 中的車速v代入該關(guān)系式得到的剎車距離列出一行（見如下表2 的第3 行，精確到小數(shù)點(diǎn)后一位），與下表中的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)該表達(dá)式擬合的還是很好的。

表2 車速與剎車距離的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)對(duì)比

（3）作出實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)的圖像，進(jìn)一步觀察擬合情況。

在圖5 中，圈圈代表的是實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線是擬合的二次函數(shù)圖像，從該圖中也可以進(jìn)一步了解到表達(dá)式d=0.181 2v+0.006 6v2比較準(zhǔn)確的表示了車速與剎車距離之間的關(guān)系。

圖5

（4）如果將車速的單位轉(zhuǎn)換為m/s，得到的c1=0.652 2，c2=0.085 3，相關(guān)代碼如下圖6。

圖6

由此可以看到系數(shù)c1即駕駛員的反應(yīng)時(shí)間的確符合查閱的資料：“在通常情況下，駕駛員的反應(yīng)時(shí)間與其注意力集中程度、駕駛經(jīng)驗(yàn)和體力狀態(tài)有關(guān)，平均約為0.5s～1.5s。”

【設(shè)計(jì)意圖】以上利用Matlab 軟件求解系數(shù)c1以及c2的過程，是在完成數(shù)學(xué)建模的第五步即求解模型之后又通過將實(shí)際的車速代入擬合函數(shù)的過程中，完成了數(shù)學(xué)建模的第六步——回到實(shí)際情境驗(yàn)證答案。如果答案不合理則加以改進(jìn)。由于本模型最后經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是比較接近的，所以可以認(rèn)為模型是比較合理的。

以上通過將思考1中的問題進(jìn)行創(chuàng)設(shè)情境之后分解為問題1至問題6，并通過這些問題的解答經(jīng)歷了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模的過程，教師可以在解決問題的過程中給學(xué)生強(qiáng)調(diào)每一個(gè)問題背后所揭示的數(shù)學(xué)建模的步驟以及意義，最后請(qǐng)學(xué)生們一起總結(jié)數(shù)學(xué)建模的步驟（見圖7）。

圖7

五、關(guān)于本教學(xué)案例的反思

本教學(xué)案例的設(shè)計(jì)思路是從教材上的素材出發(fā)，通過將素材延伸或者改編進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，目標(biāo)是將數(shù)學(xué)建模的思想以及方法步驟在課堂上進(jìn)行滲透，從而為之后學(xué)習(xí)必修四并完成一次完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)做好鋪墊。

在本課例中，通過將必修一第2 章中關(guān)于汽車剎車距離的引例進(jìn)行改編，采用問題串的方式啟發(fā)學(xué)生思考，從而使學(xué)生了解何為數(shù)學(xué)建模以及如何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，在學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用課余時(shí)間查閱相關(guān)資料幫助解決問題。

本課例的教學(xué)目標(biāo)是通過具體實(shí)例使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模的含義，由于面對(duì)的是高一的學(xué)生，筆者認(rèn)為不宜太過拔高難度，因此在教學(xué)過程中采用的方法是先通過作出散點(diǎn)圖的方式來(lái)猜測(cè)可能的函數(shù)關(guān)系，這樣做符合學(xué)生在初中就熟知的描點(diǎn)法作圖得到函數(shù)圖像的方法，也是高中階段教材上探求未知函數(shù)圖像的一種重要方法，而由散點(diǎn)圖猜測(cè)函數(shù)關(guān)系式，我采用的并不是由二次函數(shù)直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)得到解析式的方式，理由是這樣缺乏理論支撐，因此，引導(dǎo)學(xué)生利用建模的思想方法進(jìn)行思考，順利進(jìn)入分析問題的步驟。之后在求解模型的過程中的缺憾是系數(shù)的確定，因?yàn)樾枰玫阶钚《朔?，因此我只能直接告知學(xué)生答案，對(duì)于有興趣的學(xué)生可以利用課余時(shí)間進(jìn)行進(jìn)一步的了解。

另外，在本課例的教學(xué)過程中，筆者還利用駕駛員酒后的反應(yīng)時(shí)間至少會(huì)增加2～3 倍來(lái)告誡學(xué)生安全駕駛的重要性。實(shí)際上，不管是酒駕還是疲勞駕駛都會(huì)導(dǎo)致人反應(yīng)遲鈍，從而使司機(jī)的反應(yīng)時(shí)間變長(zhǎng)，導(dǎo)致的后果是增加了反應(yīng)的距離，繼而增加了剎車距離，作為教師，可以趁此機(jī)會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行生命安全教育。

限于課時(shí)的安排，本課例只討論了正常道路情況下的剎車距離與車速的關(guān)系，在實(shí)際行駛過程中，可能還會(huì)碰到道路路面的不同情況，例如，結(jié)冰的路面、碎石路面等；上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎等不同的情形下剎車距離與車速的關(guān)系會(huì)有什么樣的變化，都是之后可以進(jìn)一步進(jìn)行研究的問題，因此，在課例最后需要強(qiáng)調(diào)在本節(jié)課中所建立的數(shù)學(xué)模型的局限性，還有很多值得思考和探討之處。