劉思寧 吳麗華

? 哈爾濱師范大學(xué)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)重點考查的內(nèi)容.這部分內(nèi)容對于學(xué)生來說比較吃力,故本文中以圓錐曲線的“定值、最值問題”為例,探析波利亞解題思想在圓錐曲線解題教學(xué)中的應(yīng)用.

1 波利亞的解題理論

“一個好的解法是如何想出來的?”這是大部分學(xué)生在完成數(shù)學(xué)作業(yè)中一直困惑的問題.波利亞[1]在《怎樣解題》中的每一個問題就像是解決問題思維過程的“慢鏡頭動作”,也像是我們解決問題時內(nèi)心的獨白.

第1步：理解題意[2].

理解問題的含義是波利亞“如何解決問題表”的第一步,即檢查問題.學(xué)生應(yīng)該熟悉問題,并回憶起相關(guān)的知識,以找到未知的數(shù)量、已知的數(shù)據(jù)和條件,并用數(shù)學(xué)符號表達條件給出的信息.

第2步：擬定方案.

擬定方案是問題解決的中心環(huán)節(jié),關(guān)鍵是要找到已知條件和所求問題之間的密切關(guān)聯(lián),從而形成一個可行的解題方案.學(xué)生要根據(jù)頭腦中原有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)找到與所求問題之間的橋梁.

第3步：執(zhí)行方案.

方案擬定完成,這個階段學(xué)生要做的是認真寫下解題過程,確保條件充分使用,在解決過程中準(zhǔn)確無誤,思路清晰.

第4步：回顧.

回顧是檢查問題解決活動的過程,也是問題解決活動中一個重要也很容易被忽視的環(huán)節(jié).我們得出的解決問題的方法,要經(jīng)得起“特殊”的檢驗,哪怕有特殊個體出現(xiàn)也適用才行,因為,我們找到的解決方法需要能重復(fù)使用,甚至能解決其他領(lǐng)域的問題.解答完后還需要復(fù)盤,找到可以改進的地方.

2 解題教學(xué)方法探析

筆者試圖將解題教學(xué)策略應(yīng)用在圓錐曲線的綜合問題中,以近年來圓錐曲線?？嫉膯栴},如軌跡方程,圓錐曲線有關(guān)的最值問題為例.

圖1

解題分析：

第1步：理解題目.

教師:未知是什么?

教師:已知是什么?

學(xué)生:焦點F(1,0);拋物線方程y2=4x;△ABC的重心G在x軸上;Q在點F的右側(cè).

教師:條件是什么?

學(xué)生:過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F的右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

教師:是否滿足條件?

學(xué)生:滿足條件.

①根據(jù)三角形重心性質(zhì)構(gòu)建三角形面積之比;

②通過相似三角形和三角形的性質(zhì)將面積比轉(zhuǎn)化為底邊之比;

③利用面積和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,借助基本不等式、最值求解方法、韋達定理,求得比值的最小值.

教師:要確定條件是否充分?是否多余?是否矛盾?

學(xué)生:條件應(yīng)該是充分的.

①已知點G為三角形的重心,可得△AFG和△CQG與△ABC面積比值.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),這里y1>0,將面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比,再由邊長之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比.

③根據(jù)最值知識點求解問題.

點評：題目當(dāng)中所蘊含的條件比較多,需要學(xué)生對其進行一一分析,體會條件與條件的關(guān)系.

第2步：制定計劃.

教師:本題與以前做過的題目相類似嗎?由此能聯(lián)想到什么?

學(xué)生:有過類似的題目.能聯(lián)想到三角形高線性質(zhì)、焦點弦、最值的求解問題等.

教師:解決此類問題有什么常用方法?

學(xué)生:有幾何問題代數(shù)化法,利用函數(shù)求最值等.

教師:能以其他方法敘述這道題目嗎?

點評：結(jié)合題目給出的條件,從已知推未知,梳理思路,建立聯(lián)系.

第3步：執(zhí)行計劃.

教師:上述解題思路是正確的嗎?

學(xué)生:是正確的.根據(jù)三角形重心,得出△AFG和△CQG與△ABC面積的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比;根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式,找出縱坐標(biāo)y1,y2,y3的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化;針對問題建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式,利用函數(shù)單調(diào)性或者求極值的方法求最值,并結(jié)合換元法來簡化計算.

教師:能否證明它是正確的?

點評：整個解題過程建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)之上,這個過程需要學(xué)生有一定的運算能力,通過最值問題的求解提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)和推理論證能力.

第4步：回顧.

教師:此題主要考查了哪些知識點?解決最值問題可以從哪些變量入手?

學(xué)生:三角形面積的比值的最小值問題,其中涉及了拋物線、直線方程、重心性質(zhì)、韋達定理等基礎(chǔ)知識,考查了運算求解與轉(zhuǎn)換化歸的思想.求函數(shù)最值常用配方法、單調(diào)性法、判別式法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法和換元法等搭配使用.

點評：本題所涉及的知識點較多,運用的方法也比較多元,計算量大,需要學(xué)生有很強的邏輯思維才能完成.通過此題的練習(xí),學(xué)生在解圓錐曲線最值問題的求解方面會有很大突破.

在解決問題的過程中,教師需要把握教學(xué)目標(biāo),鞏固學(xué)生對已學(xué)知識的認知結(jié)構(gòu),豐富學(xué)生對問題的認知體驗,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和興趣.以波利亞[1]的《怎樣解題》為依據(jù),教師也應(yīng)立足主題,充分發(fā)揮主題的價值,并運用到實際教學(xué)中.