他吳睿 劉潔 陳華 劉聰 張娟娟 高原文

摘? 要：非線性動力學課程抽象性強、內(nèi)容知識點多，教學效果很難保證。該文介紹“以研促教”教學模式，將科研探索融入教學實踐，在教學過程中遵循“了解現(xiàn)象—提出問題—調(diào)研進展—提出方法—驗證方法—解決問題”的科研閉環(huán)思路，打破單一“課程講授-被動灌輸”教學模式，在學生掌握課程知識的同時，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，探究和解決問題的能力，實現(xiàn)科研和教學互哺，為課程教學改革和創(chuàng)新型培養(yǎng)人才提供一條可借鑒的探索路徑。

關(guān)鍵詞：以研促教；科研閉環(huán)思路；探索式教學；教學改革；非線性動力學

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）35-0117-05

Abstract： Nonlinear Dynamic course is highly abstract and the content involves many knowledge points， which makes it difficult to guarantee the teaching effect. Therefore， a "promoting teaching by research" is introduced in this article， which follows the closed-loop of "phenomena-problem-method-verification-solving problem"， breaking the single teaching and passive instillation teaching mode. It breaks the single "course teaching-passive instillation" teaching model. The method enables students to master knowledge and have the ability to explore and solve problems， providing new path for curriculum teaching reform and the cultivation of innovative talents.

Keywords： promoting teaching by research; closed-loop thinking of scientific research; exploratory teaching; teaching reform; Nonlinear Dynamics

非線性動力學，特別是混沌運動的發(fā)現(xiàn)是20世紀后半葉自然科學的最重要成就之一，不僅推動了應用數(shù)學、力學和物理學等領(lǐng)域取得巨大進展，更影響了幾乎所有的自然科學、工程技術(shù)和社會科學領(lǐng)域，成為了一門跨多專業(yè)的、極其重要的學科[1-3]。近年來，許多高校在理工類本科高年級或研究生低年級開設(shè)非線性動力學或混沌動力學類課程，目的在于使學生對科學問題的認知從單一學科向交叉學科、線性向非線性、局部向系統(tǒng)、簡單向復雜轉(zhuǎn)變，同時使學生初步具備科學研究思維和思路，了解科學研究方法，為其后續(xù)繼續(xù)深造或工作中解決復雜問題奠定基礎(chǔ)。

非線性動力學課程的主要研究領(lǐng)域有混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自動機和復雜系統(tǒng)等[4-6]，內(nèi)容繁雜豐富，具有一定的深度和難度，對于初學者而言，理解起來有困難。此外，課程內(nèi)容之間并不是緊密環(huán)環(huán)相扣，教材中很多問題和習題涉及知識點多，需要類比和進一步的思維拓展去理解和解決。如果按照傳統(tǒng)的教學模式，以教師講授為主，學生被動接受，往往會造成學生對課程內(nèi)容理解不深入、浮于表層、無法深入思考融會貫通、無法學以致用解決問題的后果，這使得學生轉(zhuǎn)變思維、了解科學研究方法等教學目標難以實現(xiàn)。因此，如何對現(xiàn)有教學模式進行改革？如何使教師從單向灌輸轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑l(fā)、使學生從被動接受知識者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹剿髡?？這些問題值得我們關(guān)注。

當前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓄勢待發(fā)，對我國而言，抓住變革的“機會窗口”，創(chuàng)新教育和人才培養(yǎng)模式是關(guān)鍵[7]。在這樣的時代背景下，我們在非線性動力學課程的教學中嘗試進一步拓展思維，將科學研究中“了解現(xiàn)象—提出問題—調(diào)研進展—提出方法—驗證方法—解決問題”的閉環(huán)思路應用在教學中，實現(xiàn)教學與科研的良性互動，走出了一條“以研促教”教學模式改革之路。經(jīng)過三年的課程教學實踐證明，該課程教學質(zhì)量得到了有力提升。下文將對此模式具體展開論述。

一? 科研探索式教學在非線性動力學課程中的運作模式

非線性動力學課程的特點是內(nèi)容涉及領(lǐng)域廣，不同內(nèi)容之間并不一定是層層深入的，不具有橫向或縱向思維上的連續(xù)性。其是關(guān)于不同領(lǐng)域的科學問題抽象成數(shù)學模型之后所具有共同的非線性特征的一門課程，重點是針對共性的非線性特征進行歸納、總結(jié)，得出一般規(guī)律。因此，課程本身具有很強的抽象性。如果學生對不同領(lǐng)域的科學背景不了解，對相應問題的數(shù)學建模過程不清楚，理解課程就會變得十分困難。基于本課程的以上特點，我們嘗試將科研思路和方法引入教學，將課堂轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)探索模式課堂，翻轉(zhuǎn)傳統(tǒng)課程的師生角色，教師作為引導者，學生作為探索者，以“了解現(xiàn)象—提出問題—調(diào)研進展—提出方法—驗證方法—解決問題”的科研閉環(huán)思路引導學生，讓學生遵循這些步驟親自嘗試解決問題，進而實現(xiàn)教學目標。

在具體的課程教學中，我們按照以下運作模式進行。

首先，依據(jù)課程內(nèi)容對學生進行分組。課程包括非線性振動初步、分叉與奇怪吸引子、走向混沌的道路、分形、孤立波五個章節(jié)，因此將學生分組，并告知學生在前半學期教師講解結(jié)束之后，每個小組會負責一個章節(jié)的具體科研問題。

然后，教師對每一章節(jié)的概念進行講解，要做到講透徹，讓學生明白每一章所提到的非線性現(xiàn)象是什么。在這個過程中，教師要走下講臺和學生近距離面對面互動，隨時按照不同分組進行課堂提問以及討論，充分調(diào)動課堂氛圍。

其次，在半學期講解結(jié)束之后，教師根據(jù)講課內(nèi)容，要在每一章提出一個科研訓練問題，囊括每一章節(jié)的知識點；接下來，按照分組，每一組分配一個具體的科研問題，引導學生遵循“了解現(xiàn)象—提出問題—調(diào)研進展—提出方法—驗證方法—解決問題”的科研閉環(huán)思路，通過小組內(nèi)部合作解決科研問題。最后，每個小組撰寫研究報告或論文，完成教學任務。

在整個教學過程中，科研思路各個環(huán)節(jié)的引入要做到以下幾點。

了解現(xiàn)象：教師結(jié)合自己的知識積累，在講授課程部分內(nèi)容時，將相關(guān)的非線性現(xiàn)象講述清楚，從自然界可見、學生相對熟悉和了解的現(xiàn)象入手，積極運用類比和想象，讓學生對概念或問題形成初步理解。

提出問題：教師講授過程中清楚地闡述現(xiàn)象背后的科學原理及尚未解決的科學問題，進而引導學生去思考，提出自己的解決思路，充分激發(fā)學生的求知欲和好奇心。

調(diào)研進展：引導學生針對所提出問題進行文獻調(diào)研，教會學生如何使用中文數(shù)據(jù)庫和英文數(shù)據(jù)庫檢索該領(lǐng)域最新文獻，了解目前針對該問題的研究進展，并進一步明確教材內(nèi)容和現(xiàn)有研究進展之間存在的差別。

提出方法：引導學生運用已經(jīng)學過的知識（力學基礎(chǔ)課、數(shù)學物理方程、力學建模等）提出對某問題的解決辦法（比如了解描述相關(guān)問題的微分方程，并與該問題進行對應，進而采取不同方法求解方程等）。

驗證方法：對所提出的方法進行驗證，可以是根據(jù)計算結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比，也可以是解決一個已知的問題，還可以是從方法角度進行驗證，對同一個問題采取不同方法求解，使學生在今后的學習和研究中養(yǎng)成對所提出方法進行驗證的思維和習慣。

解決問題：對所面臨的具體問題進行求解，并考慮多方面因素對結(jié)果的影響，揭示現(xiàn)象背后所包含的規(guī)律，并思考是否解決了提出的問題，以及該問題的解決有什么意義，使學生理解如何解決科學問題與解決科學問題的意義。

在這樣的教學模式下，既保證了教師對整個課程內(nèi)容的引入和講解（前半學期），也保證了學生對這一門課程的基本概念和認知，避免了完全“探索”的盲目性，又可以讓每個學生都參與到具體的問題中（后半學期、分小組），從問題出發(fā)去深入鉆研，思考某一復雜現(xiàn)象的發(fā)生根源，進而理解并學以致用。

二? 科研探索式教學在教學過程中的具體應用

以第四章分形為例，來具體闡述“以研促教”教學模式的具體應用。分形是非線性動力學課程中十分重要的一個部分，這部分教學內(nèi)容主要是針對自然界不規(guī)則形狀（山川、河流等）給予定量描述的一種方法。這一章教學的主要內(nèi)容有分形的概念、簡單分形維數(shù)及其計算，以及動力學和分形，難點是對自相似性的理解和動力學分形的分析。如何理解自相似性、動力學分形并對其進行分析是掌握這一章內(nèi)容的關(guān)鍵。教師在講解過程中遵循以下步驟進行講解。

從現(xiàn)象入手，講清楚分形的概念，即存在尺度不變性和自相似性的復雜幾何圖案。

講解簡單的豪斯道夫維數(shù)、盒子維數(shù)的計算方法。

介紹黏性指進和動力學分形現(xiàn)象。

在完成以上基本內(nèi)容的講解后，教師須基于自己的掌握知識，提出具體科研問題，引導學生進行探索性學習，以更深入地理解課程內(nèi)容。

因此，筆者在本章基于教材內(nèi)容和前期積累提出了“曼德布洛特集合收斂性研究”的問題。曼德布洛特集合（M集合）是具有典型分形特征的幾何圖案（如圖1所示），被稱之為“上帝的指紋”。在課本[1]的描述中，只是說明該集合具備分形的兩個基本性質(zhì)，即存在尺度不變性和自相似性，即無論在哪一個尺度，其圖案都是相似的。在第一階段教師講述分形概念時，通常以介紹該現(xiàn)象為主。而在提出科研訓練問題之后，教師要把現(xiàn)象數(shù)學化，明確告知學生分形背后的數(shù)學描述。對曼德布洛特集合的數(shù)學描述為

f（Z）=Z 2+c，? ? （1）

式中：Z和c是復數(shù)。M集合的定義是使得公式（1）迭代若干次后，不會收斂到無窮的c所組成的集合，即

，（2）

式中：C是復數(shù)集合，N是迭代次數(shù)。M集合的不同區(qū)域代表相應c值代入迭代公式（1）之后，經(jīng)過若干次迭代，得出Z收斂值的個數(shù)（如圖1所示，希臘字母對應相應收斂值個數(shù)）。這一過程符合科研閉環(huán)思路中的“了解現(xiàn)象”，但已經(jīng)從現(xiàn)象的直觀了解（定性）上升到了數(shù)學角度的了解（定量）。

在學生從數(shù)學角度了解了分形基本概念以后，教師進一步介紹存在的問題：目前M集合圖案的繪制都是基于對復數(shù)方程的求解，通過對解的數(shù)目統(tǒng)計繪制M集合圖案。然而，對于解數(shù)目（收斂值）較多的復數(shù)方程，理論求解還比較困難。在提出該問題后，讓學生查閱關(guān)于M集合收斂性研究論文，了解目前針對M集合收斂性的研究現(xiàn)狀。學生們通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有研究提出了M集合具有一些特殊收斂結(jié)構(gòu)，與教材中的結(jié)構(gòu)不同。但是，形成這種特殊結(jié)構(gòu)的原因并不清楚?；诖?，教師要引導學生可以采用計算力學所學牛頓迭代法求解復數(shù)方程，實現(xiàn)M集合的繪制，觀察是否也會出現(xiàn)一些新的現(xiàn)象。這一過程包含了“調(diào)研進展”和“提出方法”兩個環(huán)節(jié)。

在學生提出方法并實現(xiàn)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)了一個新的有趣現(xiàn)象，即數(shù)值求解M集合總是與教材中M集合的幾何特征不同，其展現(xiàn)出圖2所示的幾何特征（即并未嚴格按照理論收斂值數(shù)目分布）。將這種結(jié)構(gòu)按照不同收斂點個數(shù)進行分解，成為若干個子集（圖3），并改變迭代次數(shù)和精度，發(fā)現(xiàn)M集合在收斂過程中依然保持該結(jié)構(gòu)不變（圖4）。為了驗證這種新現(xiàn)象究竟是計算誤差引起的偶然現(xiàn)象還是確實是一種新的結(jié)構(gòu)，教師進一步引導學生對所提出方法進行驗證。學生通過添加收斂閾值的方法進一步驗證了所提出計算方法的正確性，進而明確該結(jié)構(gòu)確實是M集合收斂過程中的一種新的未被發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)。這個過程中包含了“方法驗證”的環(huán)節(jié)，務必使學生明白，只有所采用方法經(jīng)過了驗證，才能保證計算結(jié)果的正確和可靠性。

最后，要鼓勵學生去深入探索這種現(xiàn)象背后的機制。學生通過進一步的思考和計算會發(fā)現(xiàn)，在這些子集內(nèi)部，收斂值數(shù)目是穩(wěn)定的，而在子集邊界收斂點數(shù)目是劇烈變化的。正是這些點的精度敏感性形成了各子集穩(wěn)定的邊界，進而形成了M集合在迭代過程中的新結(jié)構(gòu)。該收斂機制說明，M集合在收斂過程中收斂值數(shù)目是以穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)分布的，且呈現(xiàn)出分形擴散特征。教材中所提出的M集合結(jié)構(gòu)只在復數(shù)方程存在理論解的時候存在，而通過數(shù)值求解是無法實現(xiàn)的，其是數(shù)值方法所獲取的收斂結(jié)構(gòu)在極限情形下的突變結(jié)構(gòu)。這個過程正是“解決問題”的過程。

在這部分內(nèi)容的教學過程中，通過教師講解，學生遵循科研閉環(huán)思路主動探索兩個環(huán)節(jié)的結(jié)合，出色地完成了本章教學學習任務。學生通過這一整個訓練過程，從數(shù)學角度理解了分形的自相似性，揭示了動力學分形的演化機制，真正理解了分形。在整個教學過程中所采取的分組討論方法，不僅充分調(diào)動了課堂的積極性，還提升了學生的合作能力和團隊意識。更重要的是，這種科研探索式的教學模式帶來了有價值的科研發(fā)現(xiàn)，推動了非線性動力學的發(fā)展，并為教材改進提供了建議，實現(xiàn)了教學和科研的相互促進。

三? “以研促教”模式下非線性動力學課程改革成效

在2020—2022年的非線性動力學課程教學中，我們嚴格按照“以研促教”模式進行授課，按照分組學習討論方法管理，學生的出勤率、課堂參與率、互動頻率顯著提高。學生帶著問題進課堂，在課堂上和老師隨時互動，從根本上改變了以往學生“課前簽到、課后點名”的被動學習狀態(tài)。授課過程中，學生不僅對課程內(nèi)容深入學習探討，課后也主動查閱資料，彌補知識短板，擴大學習范圍，在教師的科學引導下，主動汲取知識，提高問題解決能力，形成了“趕學比拼”的良性競爭環(huán)境。課程考核中學生表現(xiàn)優(yōu)異，2018—2022年，考核方式均為提交小論文結(jié)合閉卷考試的方式，該課程不及格學生人數(shù)為0，2020—2022年成績統(tǒng)計最高分為滿分100分，最低分為66分，平均成績?yōu)?6.6分，高于該類專業(yè)課程平均得分。該課程試卷采用靈活方式命題，重點考查學生理解、探索、解決問題能力，整體難易程度適中，反映出學生對該門課程確實掌握較好。在對教師教學評教環(huán)節(jié)，教師得分最高分98.02，最低分90，平均分97.44，連續(xù)三年評教結(jié)果為優(yōu)秀。

不僅如此，該模式還培養(yǎng)了學生的科研思維，激發(fā)了學生的科研興趣。在教師的引導下，學生主動發(fā)現(xiàn)問題、研究問題，依托課程所學的研究方法開展科研訓練，50%的學生主動申報創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)等科研項目，積極參與導師科研項目，讓所學有所用，將知識轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力，解決科研難題和現(xiàn)實問題，體現(xiàn)個人價值。自2018—2019年，非線性動力學課程中所提出的科研訓練問題在學生的主動鉆研下，取得了一系列科研成果。其中，“曼德布洛特集合收斂性”和“隨機分形粗糙界面接觸特性”科研訓練問題被學生整理為論文，《A new stable internal structure of the mandelbrot set during the iteration process》[8]和《Volumetric contact theory to electrical contact between random rough surfaces》[9]分別發(fā)表在數(shù)學類分形幾何領(lǐng)域頂級期刊Fractals-Complex Geometry Patterns and Scaling in Nature and Society和摩擦學領(lǐng)域頂級期刊Tribology International。“隨機分形粗糙界面接觸特性”研究成果被蘭州大學官網(wǎng)主頁和科技中國網(wǎng)報道，論文作者在第十屆全國實驗力學大會（2021）上通過大會口頭報告向同行介紹。這極大提升了本科生的科研興趣，對低年級的學生起到了很好的引領(lǐng)示范作用。同時，經(jīng)過課程訓練的同學在進一步深造和就業(yè)中也體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢，在科研中能較早開展科研工作，在就業(yè)后針對企業(yè)發(fā)展中的問題能夠主動建言獻策，提供解決方案，受到用人單位的青睞。

四? 結(jié)束語

隨著國家創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略的實施，創(chuàng)新型人才培養(yǎng)成為高校的首要任務，如何通過教學改革實現(xiàn)人才培養(yǎng)質(zhì)量的提升，適應國家戰(zhàn)略發(fā)展需求和社會發(fā)展需要成為擺在高校教師面前的重要問題[10]。本文以非線性動力學課程改革為例，提出“以研促教”教學模式，將科研思維引入課堂教學，促進教學目標的達成，讓課堂知識的傳播通過科研探索獲得，讓科學問題的開展以課堂探索為起點開展，形成了教學-科研的良性循環(huán)，激發(fā)科研創(chuàng)新源動力，探索出了高校培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要路徑。

習近平總書記強調(diào)，國家發(fā)展同大學發(fā)展相輔相成。培養(yǎng)具有高度國家使命感和社會責任感，具有國際化水平和全球視野，能為創(chuàng)新型國家建設(shè)提供智力支撐和技術(shù)支撐的前端人才和領(lǐng)軍人才，是一流大學的歷史使命。高校教師應與時俱進，舉一反三，不斷創(chuàng)新，將科研思維、科研范式等引入課程教學，推動教學-科研良性互動，針對課程不同的授課內(nèi)容及特點積極探索，因材施教，創(chuàng)新課程教學模式，培養(yǎng)適應創(chuàng)新型國家建設(shè)需要的高水平創(chuàng)新人才，為建設(shè)中國特色、世界水平的一流高等教育作出應有貢獻。

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