邊潔

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高要求.數(shù)軸是初中學(xué)生初次接觸到的將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合起來(lái)的數(shù)學(xué)圖形，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)核心概念.在實(shí)踐教學(xué)中，教師可以通過(guò)合適的例題，巧妙滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)軸；數(shù)形轉(zhuǎn)化

1 問(wèn)題背景

初中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想并不像概念、公式、定理等會(huì)明明白白地寫(xiě)在教科書(shū)上，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師以知識(shí)為載體，巧妙地滲透.數(shù)軸作為中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的第一個(gè)實(shí)例，它的出現(xiàn)不僅直觀地體現(xiàn)了“直線上的點(diǎn)”與“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，還揭示了“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系——可互相轉(zhuǎn)化，使“數(shù)”的諸多性質(zhì)（大小、正負(fù)等）與衍生概念（絕對(duì)值、相反數(shù)等）可以通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置關(guān)系得到生動(dòng)形象的說(shuō)明，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、類比在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)、嘗試表示空間中一個(gè)點(diǎn)的位置（平面直角坐標(biāo)系）等做好了鋪墊.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師不僅要引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)軸生成的前因后果，更要在運(yùn)用數(shù)軸的知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生完善自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)設(shè)情景，類比生成

（出示PPT）在數(shù)字還沒(méi)有產(chǎn)生之前，古代部落的人們會(huì)在一根長(zhǎng)繩上打上繩結(jié)用來(lái)記錄獵物的數(shù)量.他們會(huì)在長(zhǎng)繩上先系一根紅繩表示什么都沒(méi)有；部落里每捕獲一只獵物，就會(huì)在紅繩的一邊打一個(gè)結(jié)；部落里每吃掉一只獵物就會(huì)在紅繩的另一邊打一個(gè)結(jié).借助此繩，可以通過(guò)數(shù)繩結(jié)記錄一段時(shí)間內(nèi)該部落獵物的捕獲與消耗數(shù)量和速度．這便是“繩結(jié)計(jì)數(shù)法”.

師：在前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了用正負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量.在這個(gè)故事中，你看到具有相反意義的量了嗎？

生：捕獲獵物和吃掉獵物.

師：你能將其用正負(fù)數(shù)表示嗎？

生：捕獲獵物記為正，則吃掉獵物記為負(fù).

師：請(qǐng)你們幫助這個(gè)部落的人，利用我們已經(jīng)擁有的“數(shù)字”，完善他們的“繩結(jié)計(jì)數(shù)法”.

（引導(dǎo)學(xué)生在每個(gè)繩結(jié)下面標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)字）

師：同學(xué)們，如果你現(xiàn)在成為了這個(gè)部落里的“記錄員”，你可以將這個(gè)方法簡(jiǎn)潔化嗎？

生：畫(huà)一條直線表示長(zhǎng)繩；在繩上點(diǎn)一點(diǎn)表示“紅繩”，記作0；在這個(gè)點(diǎn)右邊表示捕獲，記作1，2，3，……，左邊表示吃掉，記作－1，－2，－3，……．

師：基于我們這位同學(xué)的研究成果，0稱為“原點(diǎn)”，表示什么都沒(méi)有；一般的，我們會(huì)規(guī)定向右為正，在直線的右端標(biāo)一個(gè)箭頭表示“正方向”；相鄰繩結(jié)之間，也就是相鄰兩個(gè)刻度之間的長(zhǎng)度稱為“單位長(zhǎng)度”，要保持一致.這樣一條，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線就稱為“數(shù)軸”.

設(shè)計(jì)意圖 在實(shí)際教學(xué)中，我們可以從更貼合學(xué)生已有的知識(shí)角度去為他們編造出一個(gè)更容易理解的“數(shù)軸的來(lái)源”，從而去為初二學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系埋下伏筆.結(jié)合前兩節(jié)課剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的，可以用正負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量，我為他們創(chuàng)設(shè)的情境是：繩結(jié)計(jì)數(shù)法，生動(dòng)有趣，有益于引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.課堂活動(dòng)的核心，就是讓學(xué)生參與教學(xué)，尤其是思維的參與.教師給出繩結(jié)計(jì)數(shù)的情境，學(xué)生類比生成數(shù)軸的概念，印象比教師直接給出概念來(lái)得更深刻.在概念的講解中教師要注意學(xué)生對(duì)數(shù)軸三要素“原點(diǎn)”“正方向”“單位長(zhǎng)度”的準(zhǔn)確理解.

2.2 概念應(yīng)用，數(shù)形轉(zhuǎn)化

例1 如圖1，寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C、D表示的數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 課堂中學(xué)生的反應(yīng)不能作為絕對(duì)的學(xué)習(xí)效果反饋，所以教師在備課時(shí)除了教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)，還要關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn).在這個(gè)例題中點(diǎn)D表示的數(shù)如何分析得出，需要教師采取適當(dāng)?shù)淖穯?wèn)：為什么是一個(gè)負(fù)數(shù)？為什么是負(fù)的0.5而不是負(fù)的1.5？其中第二個(gè)問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，可以從整數(shù)點(diǎn)A輔助分析：－3，在原點(diǎn)左側(cè)，到原點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，即從與原點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系和到原點(diǎn)的距離兩個(gè)角度剖析，這樣學(xué)生也就能更為準(zhǔn)確地分析點(diǎn)D表示的數(shù)字.此時(shí)教師可以再隨機(jī)指一些點(diǎn)讓學(xué)生說(shuō)出其表示的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都代表一個(gè)數(shù)字，體會(huì)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.

例2 畫(huà)數(shù)軸，把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái).

0，－4，2，－1.5，43，－2，－213.

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)例題指向畫(huà)數(shù)軸和在數(shù)軸上表示有理數(shù).

（1）在很多的教學(xué)設(shè)計(jì)中會(huì)有單獨(dú)的一個(gè)例題：“下列數(shù)軸的畫(huà)法正確嗎？為什么？”在實(shí)際教學(xué)中，雖然學(xué)生能跟著大部隊(duì)說(shuō)出數(shù)軸畫(huà)法的錯(cuò)誤之處，但并不會(huì)以此為戒，因?yàn)樵跊](méi)犯錯(cuò)之前，每個(gè)人都會(huì)覺(jué)得自己不會(huì)犯錯(cuò).所以筆者舍棄了那個(gè)例題.在學(xué)生了解了數(shù)軸的基本概念和教師的板書(shū)畫(huà)法示范之后，親自動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)數(shù)軸，動(dòng)手體驗(yàn)，學(xué)以致用.在學(xué)生畫(huà)數(shù)軸的過(guò)程中，教師可以走到學(xué)生中去，觀察尋找錯(cuò)誤畫(huà)法的素材，投影展示，并讓其他同學(xué)糾錯(cuò).課堂上生成的問(wèn)題盡可能在課堂上解決，課堂活動(dòng)也在師生互動(dòng)的基礎(chǔ)上融入了生生互動(dòng)，效果要比憑空出現(xiàn)的案例好得多.

（2）在學(xué)生能夠準(zhǔn)確畫(huà)出數(shù)軸的情況下，再將所給的有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái).這個(gè)題目中涵蓋了各種不同形式的有理數(shù)：整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù).其中整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，學(xué)生上手很容易，但負(fù)分?jǐn)?shù)的準(zhǔn)確表示還需要教師輔以必要的引導(dǎo).在例1的鋪墊和講解下，在找表示－1.5的點(diǎn)時(shí)，可以拆成兩部分理解：“－”表示在原點(diǎn)的左側(cè)，“1.5”表示距離原點(diǎn)1.5個(gè)單位.－213也是一樣的方法.在這個(gè)過(guò)程中不僅要引導(dǎo)學(xué)生感悟每一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，體會(huì)由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化思想；同時(shí)通過(guò)細(xì)節(jié)分析，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，也為后面學(xué)習(xí)絕對(duì)值和相反數(shù)做鋪墊，起到承上啟下的作用.

2.3 合作探究，分類討論

合作探究 如圖2所示，將圓放置在原點(diǎn)處，從原點(diǎn)處剪開(kāi)，平鋪在數(shù)軸上.

問(wèn)題1 如圖3，若圓的周長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則剪開(kāi)的圓的另一端點(diǎn)落至何處？

設(shè)計(jì)意圖 將數(shù)軸與其他幾何圖形結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和幾何直觀素養(yǎng).學(xué)生很容易說(shuō)出1，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生注意題目并未說(shuō)明平鋪的方向，從而啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到有兩種情況：可能從原點(diǎn)向右平鋪，也可能向左平鋪，這便是分類討論思想.后面學(xué)習(xí)絕對(duì)值的代數(shù)意義也需要從正數(shù)、負(fù)數(shù)、0三個(gè)角度分類討論，在此處便可以讓學(xué)生提前感受分類討論思想的奇妙之處.

問(wèn)題2 若圓的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則剪開(kāi)的圓的另一端點(diǎn)落至何處？

問(wèn)題3 所以無(wú)理數(shù)可以在數(shù)軸上表示嗎？

問(wèn)題4 那數(shù)軸上的點(diǎn)一定表示一個(gè)有理數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 有了問(wèn)題1的鋪墊，這個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)便迎刃而解了：圓的周長(zhǎng)；注意分類.“無(wú)理數(shù)”本身是很抽象的內(nèi)容，而π作為無(wú)理數(shù)的典型代表，可以借助圓在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出來(lái)，把抽象的無(wú)理數(shù)直觀地展現(xiàn)在數(shù)軸上，有利于學(xué)生更深刻地感知數(shù)、認(rèn)識(shí)數(shù)、理解數(shù)，建立良好的數(shù)感，從而理解無(wú)理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)，可能表示一個(gè)有理數(shù)，也可能表示一個(gè)無(wú)理數(shù).在這個(gè)環(huán)節(jié)中，注意讓學(xué)生充分觀察與思考、討論與探究，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，加深對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí).

問(wèn)題5 如圖4，若周長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓放置在數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)處，并將圓從此處剪開(kāi)平鋪在數(shù)軸上，則剪開(kāi)的圓的另一端點(diǎn)落至何處？

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識(shí).去除背景，這個(gè)問(wèn)題也就是：數(shù)軸上到表示數(shù)1的點(diǎn)距離1個(gè)單位長(zhǎng)度的數(shù)為？或者將數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，表示的數(shù)為？在學(xué)完絕對(duì)值后，將這個(gè)問(wèn)題符號(hào)化，也就是：若｜x－1｜＝1，求x的值……這些都是同一個(gè)問(wèn)題在不同情境下的不同呈現(xiàn)，學(xué)生的理解角度也會(huì)隨著知識(shí)的深入而變化.在此處學(xué)生可以借助圖形理解題意，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想意識(shí).爭(zhēng)取使學(xué)生做到胸中有圖、見(jiàn)數(shù)想圖，提高學(xué)生靈活借助幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題的能力.課堂中一些小小的變式往往會(huì)有點(diǎn)睛之筆的效果，更利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).

2.4 師生小結(jié)，深度生成

說(shuō)說(shuō)你對(duì)數(shù)軸的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生完善思維導(dǎo)圖，直觀地將本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)，不僅考察學(xué)生對(duì)本節(jié)課的掌握情況，更是對(duì)學(xué)生歸納概括能力的提升.

2.5 知識(shí)運(yùn)用，拓展延伸

如圖6，在數(shù)軸上A點(diǎn)所表示的數(shù)為π.

（1）若A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，那么點(diǎn)B所表示的數(shù)是多少？

（2）寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)之間的所有整數(shù).

（3）如果有一個(gè)點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為2，那么這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)是多少？

設(shè)計(jì)意圖 緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：會(huì)正確畫(huà)出數(shù)軸；會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，能說(shuō)出數(shù)軸上（表示有理數(shù)）的點(diǎn)所表示的數(shù)；知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的任意一點(diǎn)都表示一個(gè)有理數(shù)或無(wú)理數(shù).

3 結(jié)語(yǔ)

著名的數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏先生在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中明確提出：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，因離開(kāi)學(xué)校進(jìn)入社會(huì)沒(méi)有機(jī)會(huì)應(yīng)用，這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)通常出校門(mén)后不到一兩年就會(huì)忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方式、探究問(wèn)題的方式、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地地發(fā)揮著作用.雖然我們并不會(huì)真的借助方程、函數(shù)去買菜，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)給我們帶來(lái)的轉(zhuǎn)化思想——換位思考、分類思想——全面周全、數(shù)形結(jié)合——資源的充分利用，其實(shí)滲透在生活中的角角落落.生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)才來(lái)源于生活.為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？因?yàn)槲覀冇|手可及，因?yàn)閿?shù)學(xué)妙不可言.能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的背后，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得到更本質(zhì)的升華，是我們課堂教學(xué)的最高境界.

參考文獻(xiàn)：

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