曹修齊,邵瀚雍

(北京大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,北京 100091)

在普通物理教學(xué)中,一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題是分析勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的各向同性線(xiàn)性磁介質(zhì)球體的磁化和磁感應(yīng)強(qiáng)度分布. 該問(wèn)題的求解一般需要對(duì)球體內(nèi)部磁化產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行微元積分,或更高階的電動(dòng)力學(xué)方法,存在一定教學(xué)難度.

該問(wèn)題被描述為一個(gè)均勻磁化強(qiáng)度為M、半徑為R的均勻介質(zhì)球體內(nèi)部磁化電流在球內(nèi)任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B. 在本文中將球心記為點(diǎn)O,需求解球中任一點(diǎn)A的磁感應(yīng)強(qiáng)度B. 在該問(wèn)題中,與磁化方向平行的球體中軸線(xiàn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度可以利用其旋轉(zhuǎn)不變的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)通過(guò)積分方法直接給出;但是對(duì)于其它位置的磁場(chǎng)強(qiáng)度則難以利用其對(duì)稱(chēng)性給出可解析求解的磁場(chǎng)強(qiáng)度積分表達(dá)式.

為此,較為常見(jiàn)的解法是在磁荷觀(guān)點(diǎn)的視角下處理該問(wèn)題,通過(guò)電荷分布對(duì)應(yīng)靜電場(chǎng)強(qiáng)度的已有結(jié)論和與之高度對(duì)稱(chēng)的假想磁荷,證明了球體內(nèi)部的磁場(chǎng)強(qiáng)度始終為定值,則可在根據(jù)先前求得的中軸線(xiàn)結(jié)論外推出整個(gè)球體的磁場(chǎng)分布,即B=μ0H+μ0M求出全部位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

但是在實(shí)際的物理圖像中,貢獻(xiàn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的并非磁荷而是磁化電流,因此完整的論證還應(yīng)該包括對(duì)磁荷觀(guān)點(diǎn)與電流元觀(guān)點(diǎn)等價(jià)性的證明,這在極大程度上增加了完整求解的復(fù)雜度. 在國(guó)內(nèi)外眾多電磁學(xué)教材的相關(guān)討論中均未嚴(yán)格討論用磁荷觀(guān)點(diǎn)代替電流元觀(guān)點(diǎn)的可行性[1,2]. 本文力求在不超過(guò)普通物理的知識(shí)范圍內(nèi)簡(jiǎn)化論證過(guò)程.

本文通過(guò)割補(bǔ)和等效替代等物理手段,在符合物理圖像的電流元觀(guān)點(diǎn)下給出了簡(jiǎn)明嚴(yán)謹(jǐn)、易于理解的處理方法,在避免復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提下實(shí)現(xiàn)了該問(wèn)題的求解. 具體而言,在形式上雖然該問(wèn)題與計(jì)算均勻極化球體內(nèi)部一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度十分類(lèi)似[3],但由于磁偶極子產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度與電偶極子產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度在偶極子所在位置是不同的,因而將球體分割成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的部分,再疊加分割后的各部分產(chǎn)生磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)該問(wèn)題的求解.

本文提出的等效替代求解方法嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)明的給出了類(lèi)似物理問(wèn)題求解新思路,對(duì)未來(lái)的普通物理教學(xué)有一定的參考價(jià)值和意義.

1 基于割補(bǔ)-替代思想的磁場(chǎng)求解

在本節(jié)中詳細(xì)闡述了本文提出的等效求解方法的求解步驟和思路,應(yīng)用較少的數(shù)學(xué)計(jì)算即可得到內(nèi)部磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布.

1.1 球體的分割

首先,如圖1所示,考慮將球體分為2個(gè)部分. 分割出的第1部分為一個(gè)圓柱體,其高度遠(yuǎn)大于底面半徑,中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好為磁場(chǎng)待求解的A點(diǎn),且圓柱的中軸線(xiàn)方向平行于磁化強(qiáng)度M的方向. 分割的另一部分為球體去掉該圓柱體的部分. 由于圓柱體的高遠(yuǎn)大于底面半徑,根據(jù)安培定理,無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度為定值,因此該部分的磁介質(zhì)在A(yíng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度容易直接給出. 隨后即可分別計(jì)算這兩個(gè)部分在A(yíng)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度,具體過(guò)程見(jiàn)本文1.2與1.3部分.

圖1 球體分割示意圖

1.2 第1部分對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算

第1部分可以看作是無(wú)限長(zhǎng)且磁化強(qiáng)度矢量方向平行于中軸線(xiàn)方向的圓柱體在其軸線(xiàn)上產(chǎn)生磁場(chǎng)強(qiáng)度. 不妨假設(shè)在圓柱表面有均勻的磁化電流面密度i滿(mǎn)足i=M,因此可將該部分等效為一個(gè)近似無(wú)限長(zhǎng)均勻密繞直螺線(xiàn)管,通過(guò)安培環(huán)路定理可求出第1部分表面的磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1為

(1)

在本部分的計(jì)算過(guò)程中,直接采用了基于電流元-磁感應(yīng)強(qiáng)度的安培定理,這在普通物理的知識(shí)框架下也是易于理解的.

1.3 第2部分對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算

第2部分的計(jì)算主要包括2個(gè)步驟:1)對(duì)相同形狀模型電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算;2)利用數(shù)學(xué)形式相似性進(jìn)行等效的替代.

(2)

根據(jù)1.1中的分割假設(shè),r遠(yuǎn)小于h,因此該部分產(chǎn)生的電場(chǎng)可以忽略不計(jì). 我們只需考慮球體表面感應(yīng)電荷在A(yíng)點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng):此時(shí)球體表面存在著面密度為σ=Pcosθ的感應(yīng)電荷(其中θ為表面一點(diǎn)與極化強(qiáng)度矢量方向的夾角). 基于錯(cuò)位疊加法,不難推出式中的感應(yīng)電荷面密度可以等效為2個(gè)球心距離ΔL、半徑均為R的均勻帶電球體O1與O2產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,它們的電荷體密度分別為ρ與-ρ,且與距離滿(mǎn)足ρΔL=P,如圖2所示. 其中,O2O1方向?yàn)闃O化強(qiáng)度矢量的方向,O為O2O1中點(diǎn).

圖2 第2部分的等效替代示意圖

進(jìn)一步的,A點(diǎn)的電場(chǎng)即為2個(gè)球體各種產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和,由高斯定理知以O(shè)1、O2分別為球心的球體在A(yíng)點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度E1與E2分別為

(3)

因此,合場(chǎng)強(qiáng)E為

(4)

式中給出了電荷-電場(chǎng)模型下的電場(chǎng)強(qiáng)度與極化強(qiáng)度的關(guān)系. 為了將該結(jié)果推廣到電流元-磁感應(yīng)強(qiáng)度模型的結(jié)果,可以首先考慮兩種模型在數(shù)學(xué)形式的相似性.

自由空間中電偶極子p=ql產(chǎn)生的空間電場(chǎng)分布可以直接表達(dá)為

(5)

環(huán)形電流對(duì)應(yīng)的磁偶極矩m=iS在空間中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布也可以表示為

(6)

(7)

在均勻極化的情況下Q=0,因此式中第一項(xiàng)為零. 類(lèi)似的,磁矢勢(shì)在遠(yuǎn)場(chǎng)近似后類(lèi)似可以得出

(8)

與式(7)不同,因?yàn)椴淮嬖诖艈螛O子,因此式中自然不存在第1項(xiàng)的結(jié)果.

根據(jù)式(5)、(6)易知,在數(shù)值上相同大小的電偶極子或環(huán)形電流(磁偶極子)所產(chǎn)生的電場(chǎng)/磁場(chǎng)的空間分布服從相同的函數(shù). 而電極化強(qiáng)度矢量P的定義為單位體積的總電偶極矩,磁化強(qiáng)度矢量M的定義為單位體積的總磁偶極矩,因此P和M在物理意義上也可以做對(duì)稱(chēng)的變換.

(9)

在本部分的計(jì)算過(guò)程中,先利用已知的電荷-電場(chǎng)模型和錯(cuò)位疊加法求得了相似情況的電場(chǎng)強(qiáng)度,再直接由數(shù)學(xué)的相似替代法一步給出磁感應(yīng)強(qiáng)度,避免了磁荷觀(guān)點(diǎn)的論證.

值得補(bǔ)充的是,如果直接通過(guò)面磁化電流密度來(lái)處理圖2的情況也可以求得類(lèi)似的結(jié)果. 對(duì)于均勻極化P的介質(zhì)球,極化電荷面密度為σ=Pcosθ,而均勻磁化M的介質(zhì)球的面磁化電流密度j=Msinθ. 類(lèi)似1.3中的錯(cuò)位方法,只需將錯(cuò)開(kāi)的方向O1O2垂直于磁化強(qiáng)度M,即可將2個(gè)相同內(nèi)部也存在均勻磁化電流的球等效為一個(gè)面磁化電流分布為j=Msinθ的球. 進(jìn)一步利用電磁學(xué)中關(guān)于環(huán)形電流的中心垂直線(xiàn)磁場(chǎng)分布

(10)

或者通過(guò)對(duì)稱(chēng)的磁荷觀(guān)點(diǎn),也可以求出此時(shí)A點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

1.4 兩部分磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加

綜上所述,根據(jù)第1、2部分在A(yíng)點(diǎn)的磁場(chǎng)疊加原理,可得到球內(nèi)任一點(diǎn)A處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

(11)

上式即為問(wèn)題所求的各向同性線(xiàn)性磁介質(zhì)球體的磁化和磁感應(yīng)強(qiáng)度分布.

2 方法分析與討論

本文提出了割補(bǔ)-替代的物理手段,在電流元觀(guān)點(diǎn)下簡(jiǎn)化了磁介質(zhì)球內(nèi)任一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的求解過(guò)程. 根據(jù)割補(bǔ)法的物理思想,先將球體分為2部分,由疊加原理分別計(jì)算2部分產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度. 計(jì)算過(guò)程中,將兩部分均轉(zhuǎn)化為已知的模型進(jìn)行處理,從而可以得到最終結(jié)果. 新方法相對(duì)于取微元再積分的方法體現(xiàn)了物理思維. 同時(shí)相對(duì)于教材上一般僅考慮中軸線(xiàn)的磁場(chǎng)情況更為全面與嚴(yán)謹(jǐn).

值得指出的是,如果根據(jù)磁荷和電荷的對(duì)稱(chēng)性,可以直接將式(4)中求得的均勻極化電介質(zhì)球內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度改寫(xiě)為均勻磁化磁介質(zhì)球內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度,但是這需要進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)證明磁荷觀(guān)點(diǎn)合理性. 而在本文中利用數(shù)學(xué)的形式替代手段改換變量,直接利用式(4)給出了對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,通過(guò)較為簡(jiǎn)單的處理方法避免了引入磁荷的觀(guān)點(diǎn).

如果要使用ε-δ的數(shù)學(xué)分析語(yǔ)言來(lái)闡釋這種方法也是容易推導(dǎo)的. 即對(duì)于任意的ε>0,可以取到適當(dāng)?shù)姆指?使得第一部分產(chǎn)生的磁場(chǎng)與文中計(jì)算出的值的差小于ε/2,同時(shí)式(3)對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)與文中計(jì)算的差小于ε/4. 然后取ΔL足夠小使得第2部分產(chǎn)生的磁場(chǎng)與第2部分的等效替代模型的差小于ε/4,從而可以證明磁場(chǎng)與B的差值小于ε.

值得特別指出的是,本方法的核心創(chuàng)新點(diǎn)在于球體的分割假設(shè),即一個(gè)r?h、中心在A(yíng)點(diǎn)、方向沿著磁化方向的圓柱體. 如果不滿(mǎn)足此假設(shè),比如取一個(gè)短而寬的圓柱、球體,或者A點(diǎn)不在圓柱的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn),那么1.3中的討論不再成立. 此時(shí)第2部分產(chǎn)生的磁場(chǎng)因?yàn)椴粷M(mǎn)足r?h的條件,式(2)不再成立,此時(shí)圓柱的頂、底面產(chǎn)生的磁場(chǎng)是有限量

而非零;同時(shí)第1部分產(chǎn)生的磁場(chǎng)也不滿(mǎn)足無(wú)限長(zhǎng)通電螺線(xiàn)管的中心假設(shè),式(1)也不再成立. 因此只有在滿(mǎn)足本方法假設(shè)的前提下才能同時(shí)處理式(1)、(2),這即為本文的核心方法. 該方法與靜電場(chǎng)類(lèi)似問(wèn)題的解法比較接近,均使用到了等效模型的轉(zhuǎn)化,但本方法使用了割補(bǔ)法和等效替代法,過(guò)程也更復(fù)雜. 因此該方法是對(duì)磁介質(zhì)教材的有益補(bǔ)充.

本文提出的方法可以在較少數(shù)學(xué)計(jì)算的情況下解決一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,可以作為對(duì)部分教材中相關(guān)問(wèn)題的有益補(bǔ)充. 同時(shí)結(jié)合了相關(guān)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)證明了均勻磁化球體的內(nèi)部磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng),可以說(shuō)明勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的均勻磁介質(zhì)球會(huì)均勻磁化的重要結(jié)論. 此外,本文處理物理問(wèn)題應(yīng)用的方法也可以用于教材上對(duì)學(xué)習(xí)者進(jìn)行物理思維訓(xùn)練.